k_r_№2
.pdfМетодические указания по выполнению контрольной работы № 2 Электрическая цепь синусоидального тока
Синусоидальный ток описывается выражением i = Imsin(ϖt + ϕi ) ,
где i - мгновенное значение тока, Im - амплитудное значение тока,
ϖ- угловая частота,
ϕi - начальная фаза тока,
(ϖt + ϕi )- фаза синусоидального колебания.
Кроме этого, синусоидальный ток характеризуется еще следующими значениями:
Действующим
T
I = T1 ò0 i2dt = Im2 = 0,707 × Im ,
средним
T
Iср = T1 ò0 idt = 0
средним за полпериода или средним выпрямленным значением
T/2
Iср.вып. = T2 ò0 idt = 2Iπm » 0,64Im .
Такими же значениями характеризуются синусоидальные напряжения.
Для расчета целей синусоидального тока пользуются методом комплексных амплитуд (символическим методом). При этом оперируют не с реальными гармоническими токами и напряжениями, а с их комплексными амплитудами
&Im = Imejϕi , U& m = Umejϕu ,
или с комплексами действующих значений
&I = Im2 e jϕi = Iejϕi , U& = U2m e jϕu = Uejϕu ,
где Im , Um - амплитуды тока и напряжения;
I, U - действующие значения тока и напряжения; ϕi ,ϕu - начальные фазы тока и напряжения.
Рассмотрим взаимосвязь между синусоидальными токами и напряжениями на основных элементах электрической цепи.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Синусоидальный ток в активном сопротивлении.
Мгновенные значения напряжения и тока на активном сопротивлении связаны выражением u = r × i . Если i = Imsin(ϖt + ϕi ) , то
u = rImsin(ϖt + ϕi ) = Umsin(ϖt + ϕu ) где Um = rIm , ϕu = ϕi . Таким образом, на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе.
Для комплексных амплитуд запишем
&Im = Imejϕi , U& m = r&Im .
Для комплексов действующих значений
&I = Ir jϕi , U& = r&I.
Синусоидальный ток в индуктивности.
Мгновенные значения напряжения и тока в индуктивности связаны выражением
u = L dtdi .
Если i = Imsin(ϖt + ϕi ) , то u =ϖLImsin(ϖt + ϕi + π2) = Umsin(ϖt + ϕu ) ,
где Um =ϖLIm , ϕu = ϕi + π2 . Отсюда следует, что напряжение на
индуктивности опережает ток на 90 градусов. Индуктивность в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением XL , величина
которого пропорциональна частоте XL =ϖL.
Комплексные амплитуды тока и напряжения на индуктивности запишутся следующим образом:
π
&Im = Imejϕi , U& m =ϖLej 2 &Im .
Для комплексов действующих значений
π
&I = Iejϕi , U& =ϖLej 2 &I .
Комплексное сопротивление индуктивности определяется выражением
j π
ZL =ϖLe 2 = jϖL = jXL
Синусоидальный ток в емкости.
Мгновенные значения напряжения и тока в емкости связаны выражением i = C dudt .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Если u = Umsin(ϖt + ϕu ) , то i =ϖCUmsin(ϖt + ϕu + π2) = Imsin(ϖt + ϕi ) где
Im =ϖCUm , ϕi = ϕu + π2 . Отсюда следует, что ток в емкости опережает
напряжение на 90 градусов. Емкость в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением XC величина которого обратно пропорциональна
частоте
XC = ϖ1C
Комплексные амплитуды тока и напряжения на емкости запишутся следующим образом:
π
U& m = Umejϕu , &Im =ϖCe j 2 U& m .
Для комплексов действующих значений
π
U& = Uejϕu , &I =ϖCe j 2 U&
Комплексное сопротивление емкости определяется выражением
|
|
|
1 |
− j |
π |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
= |
2 = −j |
= −jX |
|
|
||||||
X |
C |
|
|
e |
|
C |
. |
|||||
ϖC |
ϖC |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Комплексное сопротивление Z линейного пассивного двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости, равно
Z = r + jXL − jXC = r + jX = ze jϕ ,
где X = XL − XC - полное реактивное сопротивление,
z= r2 + (XL − XC )2 - модуль полного сопротивления,
ϕ= arctg xr - угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника.
Комплексная проводимость линейного пассивного двухполюсника, состоящего из параллельного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости, равна
Y = g + jbC = jbL = g + jb = yeiϕ ,
где g = 1r - активная проводимость,
bC = |
1 |
=ϖC- реактивная проводимость емкости, |
|
||
|
XC |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
bL = |
1 |
= |
|
1 |
- реактивная проводимость индуктивности, |
|
XL |
ϖL |
|||||
|
|
|
b = bC − bL полная реактивная проводимость,
y = g2 + (bC - bL )2 -модуль полной проводимости,
ϕ = arctg gb - угол сдвига фаз между током и напряжением двухполюсника.
Для расчета цепей синусоидального тока можно пользоваться любыми методами расчета цепей, рассмотренными в методических указаниях к выполнению контрольной работы № 1. Однако при этом обязательно используется символический метод.
В процессе расчета необходимо уметь переходить от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной и обратно.
A = a + jb = Aejϕ , a = Acosϕ , b = Asinϕ ,
A = a2 + b2 , ϕ = arctg ba .
Следует заметить, что при переходе от алгебраической формы записи
комплексного числа к показательной возможно неправильное определение фазы ϕ . Это возможно в тех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна. Избежать ошибки поможет изображение комплексного числа в алгебраической форме на плоскости.
Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока.
ПРИМЕР 1. Рассчитать комплексные входные сопротивление и проводимость цепи, определить их характер, изобразить последовательную и параллельную схемы замещения цепи. Ток и напряжение на входе цепи:
i = 7,07 ×10−3 × sin(103 t + 60o ) , A u =14,14 × sin(103 t + 90o ) , B
РЕШЕНИЕ. Для определения комплексного входного сопротивления Z = ze jϕ необходимо вычислить его модуль Z и сдвиг фаз ϕ
z = |
Um |
= |
14,14 |
= 2 ×103 Ом |
|
7,07 ×10−3 |
|||
|
Im |
|
ϕ = ψu - ψi = 90o - 60o = 30o Z = zejϕ = 2 ×103 × ej30o Ом.
Проводимость – величина обратная сопротивлению:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Y = Z1 = 0,5 ×10−3 × e− j30o .
Определяя алгебраическую форму записи z и Y , находим активные и реактивные сопротивления и проводимости.
Z = 2 ×103 × ej30o =1,73×103 + j1×103 ,Ом
Y = 0,5 ×10−3 × e− j30o = 0,43×10−3 - j0,25 ×10−3 , Cм
Следовательно:
R =1,73×103 Ом, X =1×103 Ом, g = 0,43 ×10−3 Cм, b = 0,25 ×10−3 Cм.
Знак “+” перед мнимой частью Z говорит об активно-индуктивном характере
нагрузки Последовательная и параллельная схемы замещения представлены
соответственно на рис.2.1 a) и б).
ПРИМЕР 2. Определить токи в схеме (рис.2.2-а), при:
U = 25 B, R = 5 Ом, XC = 5 Ом, XL = 2,5 Ом.
Составить баланс мощностей, построить топографическую диаграмму напряжений.
РЕШЕНИЕ. Используем метод эквивалентных преобразований. Заменяем параллельные ветви одной эквивалентной ветвью с сопротивлением ZAB
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ZAB = R(− jXC ) = 5(−5j) = 3,536e− j45o = 2,5 - 2,5jОм R - jXC 5 - 5j
Участки ca и cb соединены последовательно, поэтому входное полученное сопротивление цепи равно:
ZВХ = ZCA + ZAB = 2,5j + 2,5 − 2,5j = 2,5 Ом;
Поскольку входное сопротивление является активным, в цепи установился резонанс напряжений.
Находим токи:
U& ab = U& - U& ca = 25 - 25j = 35,36e− j45o B; &I3 = U& /Zbx = 25/2,5 =10 A;
U& ca = jXL&I3 = 25j = 25ej90o B; &I1 = U& ab/R = 5 - 5j = 7,071e− j45o A;
&I2 = U& ab/(-jXC ) = 5 + 5j = 7,071ej45o A.
Составим баланс мощностей. Активная мощность источника
PИСТ = U × I3 × cos(UI3 ) = 250 Вт.
Реактивная мощность источника
QИСТ = U × I3 × sin (UI3 ) = 25 × 7,071× sin0o = 0.
Активная мощность приёмников
PПР = I12 × R = 250 Вт.
Реактивная мощность приёмников
QПР = -I22 × XC + I32XL = 0
Баланс мощностей выполняется PИСТ = РПР , QИСТ = QПР, значит токи найдены правильно. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведены на рис.2.2-б. Масштабы: MI = 3,5A/Cм, MU = 7 B/Cм .
ПРИМЕР 3. Для схемы (рис.2.3) определить комплексы действующих значений токов в ветвях и напряжений на ее элементах. Составить баланс мощностей.
Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Параметры элементов цепи: E& = 2B, J& = 4мА,
R1 =1кОм,
R2 = 3кОм,
L = 2 мГн,
C= 3 нФ,
ϖ=106 c−1
РЕШЕНИЕ.
Определим сопротивления индуктивности и емкости:
XL = ωL =106 × 2 ×10−3 = 2 кОм,
XC =1/ω/ =1/(106 ×3×10−9 ) = 0,33кОм.
Для нахождения токов и напряжений выберем метод контурных токов.
&I11(R1 + R2 + jXL - jXC ) + &I22 (R2 - jXC ) = E& ;
где
&I22 = J& = 4ej0o = 4мА.
Вычислим контурный ток &I11
&I11(1+ 3 + j2 - j0,33)) + 4 × (3 - j0,33) = 2.
Откуда
&I11 = 2,28ej150,4o мА.
Токи ветвей:
&I1 = &I11 = 2,28ej150,4o мА,
&I2 = -&I11 - &I22 = 2,3ej209,2o мА.
Напряжения на элементах цепи:
U& L = &I1jXL = 2,28ej150,4o × 2ej90o = 4,56ej240,4o B; U& R1 = &I1R1 = 2,28ej150,4o B;
U& R2 = &I2R2 = 6,9ej209,4o B;
U& C = &I2 (-jXC ) = 2,3ej209,2o ×0,33e- j90o 0,76ej119,2o B;
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
U& J = -&I2 (R 2 - jXL ) = 6,94e j23,63o B.
Баланс мощностей
~ |
& |
* |
& |
* |
|
- j150,4o |
+ 6,94e |
j23,63 |
× 4 = 21,47 + j8,87 B × A; |
|
|
|
|
||||||||
SИСТ = E I1 |
+ UJ J = 2 × 2,28e |
|
|
|
||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SИСТ = PИСТ + jQИСТ = 21,47 + j8,87 B × A ; |
|
|
||||||||
~ |
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
+ j8,87 B × A; |
|
SПР = I1 R1 |
+ I2R2 |
+ j(I1 XL |
- I1 XC ) = 21,47 |
|||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SПР = PПР + jQПР = 21,47 + j8,87 B × A. |
|
|
|
Баланс мощностей выполняется.
Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлена на рис.2.4. Масштабы по току и напряжению:
MI =1мА/См, MU =1,5B/Cм .
ПРИМЕР 4. На рис.2.5 приведена схема электрической цепи с 2-мя источниками синусоидально изменяющихся ЭДС e1 = e2 =141sin(ω × t) В
Действующие значения:
X1 = 5 Ом, X2 = 20 Ом, R = 3 Ом.
Определить действующие значения токов в ветвей методом узловых напряжений. Записать уравнения мгновенных значений токов ветвей.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
|
141 |
|
|||||
РЕШЕНИЕ. Находим узловые напряжения цепи при E1 |
= E2 |
= |
|
|
|
|
|
=100 B. |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
& |
|
& |
|
|
1 |
|
×100 + |
1 |
|
×100 |
|
|
− j90o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5j |
20j |
|
25e |
|
|
− j53,130 |
|
||||||||||||||||||||
& |
Y1E1 |
+ Y2E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (36 - j48)B |
||||||||||||||
Uab = |
Y1 + Y2 |
+ Y |
= |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
= |
0,417e− j36,87 |
= 60e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j5 |
+ |
j20 |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Применяя закон Ома, находим комплексы действующих значений токов ветвей:
|
|
|
& |
|
|
|
|
60e |
- j53,13o |
j53,13o |
|
|
|
|
|
||||||||||
& |
|
Uab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I = |
R |
|
|
= |
|
|
|
3 |
|
|
= 20e |
|
|
|
A; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
100 - 36 + j48 |
|
|
|
- j53,13o |
|
||||||
& |
= |
|
E1 |
|
|
- Uab |
|
= |
=16e |
|
|||||||||||||||
I1 |
|
|
|
|
|
jx1 |
|
|
|
j5 |
|
|
|
|
A; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
& |
|
& |
|
|
|
|
100 - 36 + j48 |
|
|
|
- j53,13o |
|
|
||||||||
& |
= |
|
E |
- Uab |
|
= |
= 4e |
|
|
||||||||||||||||
I2 |
|
|
|
jx 2 |
|
|
|
|
|
j20 |
|
|
|
A. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действующие значения токов ветвей
I = 20 A, I1 =16 A, I2 = 4 A.
Уравнения мгновенных значений токов ветвей i = 202sin(ω × t - 53,13o ) A;
i1 =162sin(ω × t - 53,13o ) A; i2 = 42sin(ω × t - 53,13o ) A.
ПРИМЕР 5. Параметры цепи (рис.2.6):
C =159 мкФ, L = 31,8мГн, R1 =10 Ом,
×
R2 =10Ом, EM =100В, f = 50Гц.
Графо-аналитическим методом рассчитаем токи и напряжения на участках цепи. Графо-аналитический метод –
совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной
цепи токи пропорциональны напряжениям. Векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов. РЕШЕНИЕ. Построение начинаем с наиболее удаленной точки цепи, соответствующей отрицательной полярности источника ЭДС.
XC = |
1 |
= |
1 |
= 20Ом, |
|
2π × f × C |
6,28 × 50 ×159 ×10-6 |
||||
|
|
|
XL = 2π × f × L = 6,28 × 50 × 31,8 ×10-3 =10 Ом.
Принимаем масштабы:
MI = 0,2A/Cм , MU = 5 B/Cм
Задаемся действующим значением тока I'2 =1A (рис.2.7). вектор I'2 откладывается в заданном масштабе в горизонтальном направлении.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
U'cd = I′2R 2 =10 B
Вектор напряжения U& ′cd на участке с активным сопротивлением R2 , совпадает
.
по фазе с вектором тока I′2 . Действующие значение тока I3' находим по закону Ома:
I3' = Ucd = 10 =1[A]
XL 10
Ток на индуктивности отстает от напряжения на угол 900. Вектор тока I3'
.
строим из конца вектора I′2 .
По первому закону Кирхгофа в комплексной форме определяем &I1′ = &I1′ + &I1′ , что соответствует сложению векторов на комплексной плоскости.
Ток I1' =1,4 A (определен в масштабе диаграмме). Определяем и строим на диаграмме напряжения на участках б-с, а-б.
U'bс = I1′; XC = 28 B;
Вектор напряжения U& ′bc отстает от тока &I1′ на 900, строим этот вектор из точки c под углом 900 к току &I1′ в сторону отставания.
U'aб = I1' R1 =14B;
Напряжение U& ′ab совпадает по фазе с током &I1′ , вектор U& ′ab строим из точки b параллельно вектору тока &I1′ .
Теперь соединим начало координат (точку d) с точкой а, получим вектор приложенной к цепи ЭДС, равный 30В (в масштабе диаграммы): E'm = 302B;
Истинные значения токов и напряжений на участках цепи, обусловленных действием указанной в условии задачи ЭДС = 100В, определим умножением величин на коэффициент пересчета:
K = |
Em |
= |
100 |
|
= 2,35 |
|
|
|
|
|
|||
|
E'm |
30 2 |
|
|
Входная ЭДС имеет начальную фазу 00. С учетом этого построим систему координат, вещественная ось которой должна совпадать с вектором da. Относительно этой оси определим начальные фазы всех токов и напряжений. Комплексы действующих значений искомых токов и напряжений следующие:
&I2 = &I′2K = 2,35ej90o А, &I′3 = &I′3K = 2,35 А, &I1 = &I1′K = 3,29ej45o А,
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com