Tipovye_raschyoty_po_vyssh_matematike_Ch_1_Uch

5)расстояние и угол между прямыми AC1 и A1B;

6)точку A , симметричную точке A относительно BC;

7)угол между прямой AC1 и плоскостью AA1B1B.

Задание 5.

5.1. Составьте уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A( 1,0), B(0,1) и C(1,0) равна 3. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.2. Составьте уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F1( 2,0) и F2(2,0) равна 25. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.3. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точки

которой до точки F(2,0) к расстоянию от той же точки до прямой x 9 0 2

равно 2 . Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кри-

3

вой и постройте ее.

5.4. Составьте уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек F1( 3,1) и F2( 3, 5) равен 23. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.5. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точки

которой до точки F(2,0) к расстоянию от той же точки до прямой x 1 0 2

равно 2. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.6. Составьте уравнение кривой, каждая точка которой одинаково удалена от оси Ox и точки F(0, 2). Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.7. Составьте уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A( 2,0), B(0,2) и C(2,0) равна 12. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.8. Составьте уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F1( 1,2) и F2( 1,6) равна 27. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.9. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точки

которой до точки F(3,0) к расстоянию от той же точки до прямой x 16 0 3

11

равно 3 . Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кри-

4

вой и постройте ее.

5.10. Составьте уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек F1(5, 1) и F2(1, 1) равен 2. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.11. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точ-

ки которой до точки F( 5,0) к расстоянию от той же точки до прямой x 9 0 5

равно 5. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кри-

3

вой и постройте ее.

5.12. Составьте уравнение кривой, каждая точка которой одинаково удалена от прямой y 1 0 и точки F(2, 3). Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.13. Составьте уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A( 3,0), B(0,3) и C(3,0) равна 27. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.14. Составьте уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F1( 1,0) и F2(1,0) равна 23. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.15. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точ-

ки которой до точки F(0,3) к расстоянию от той же точки до прямой y 16 0 3

равно 3 . Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кри-

4

вой и постройте ее.

5.16. Составьте уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек F1(0, 3) и F2(0,3) равен 4. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.17. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точки которой до точки F(0, 5) к расстоянию от той же точки до прямой

y 16 0 равно 5 . Приведите это уравнение к каноническому виду, определи-

5 4

те тип кривой и постройте ее.

5.18. Составьте уравнение кривой, каждая точка которой одинаково удалена от прямой x 2 0 и точки F( 3,4). Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.19. Составьте уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A(3,0), B(0, 3) и C(0,3) равна 27. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

12

5.20. Составьте уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F1(5,1) и F2( 1,1) равна 8. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.21. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точ-

ки которой до точки F(0, 2) к расстоянию от той же точки до прямой y 9 0 2

равно 2 . Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кри-

3

вой и постройте ее.

5.22. Составьте уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек F1(0, 5) и F2(0,5) равен 6. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.23. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точ-

ки которой до точки F(0,2) к расстоянию от той же точки до прямой y 1 0 2

равно 2. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.24. Составьте уравнение кривой, каждая точка которой одинаково удалена от оси Oy и точки F(5,0). Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.25. Составьте уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A(1,0), B(0, 1) и C(0,1) равна 3. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.26. Составьте уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек F1(2,1) и F2(2, 3) равна 25. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.27. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точки которой до точки F( 3,0) к расстоянию от той же точки до прямой

x 25 0 равно 3. Приведите это уравнение к каноническому виду, определи-

3 5

те тип кривой и постройте ее.

5.28. Составьте уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек F1(0,2) и F2( 6,2) равен 4. Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

5.29. Составьте уравнение кривой, отношение расстояния от каждой точки которой до точки F( 7,0) к расстоянию от той же точки до прямой

x 25 0 равно 7 . Приведите это уравнение к каноническому виду, определи-

7 5

те тип кривой и постройте ее.

13

5.30. Составьте уравнение кривой, каждая точка которой одинаково удалена от прямой x 5 0и точки F( 1, 2). Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее.

Задание 6.

Даны уравнения второго порядка а) – г). Приведите их к каноническому виду. Учитывая, что уравнение второго порядка а) – в) от двух переменных на плоскости может определять некоторую кривую линию, а в трехмерном пространстве – цилиндрическую поверхность, в задачах а) – в) постройте соответствующую кривую, а в задачах а)–г)изобразите соответствующую поверхность.

6.1.а) x2 y2 2x 4y 1 0;

б) 9x2 16y2 6x 8y 144 0; в) 12x2 12x 32y 29 0;

г) 9y2 4z2 36x 36y 24z 108 0.

6.2.а) x2 4y2 4x 8y 8 0; б) 5x2 9y2 30x 18y 9 0;

в) y2 10x 2y 0;

г) 4x2 9y2 32x 54y 36z 17 0.

6.3.а) 5x2 4y2 10x 8y 11 0;

б) 16x2 25y2 32x 100y 84 0; в) y2 8x 16 0;

г) 5x2 2y2 4z2 10x 12y 16z 3 0.

6.4.а) y2 6x 14y 43 0;

б) 9x2 4y2 36x 24y 36 0; в) 2x2 4y2 5x 6y 1 0;

г) 4x2 9y2 z2 24x 18y 10z 88 0.

6.5.а) 3x2 4y2 12x 8y 20 0;

б) x2 2x 3 0;

в) x2 y2 4x 6y 1 0;

г) 3x2 4y2 2z2 12x 8y 12z 2 0.

6.6.а) 2x2 12x 3y 18 0;

б) 4x2 25y2 4x 10y 8 0; в) 9x2 16y2 54x 64y 127 0;

г) 3x2 4y2 6z2 6x 16y 36z 49 0.

14

6.7.а) 4x2 9y2 8x 36y 4 0; б) x2 6x 2y 11 0;

в) x2 4y2 14x 24y 9 0;

г) x2 y2 z2 6x 2y 10z 22 0.

6.8.а) y2 3x 4y 10 0;

б) x2 4y2 14x 24y 17 0; в) 36x2 36y2 36x 24y 23 0;

г) 4x2 y2 4z2 8x 4y 8z 4 0.

6.9.а) 4x2 y2 8x 2y 3 0; б) 9x2 4y2 6x 4y 2 0; в) 4y2 8y 2x 1 0;

г) 2x2 3y2 12x 12y 12z 42 0.

6.10.а) 16x2 25y2 32x 50y 359 0; б) 4x2 4x 2y 1 0;

в) 4x2 y2 8x 6y 4 0;

г) 2x2 3y2 6x 18y 12z 47 0.

6.11.а) 2x2 6x 3y 6 0;

б) 4x2 9y2 8x 18y 41 0; в) 4x2 9y2 40x 36y 100 0;

г) 2x2 3y2 4z2 4x 12y 8z 14 0.

6.12.а) 4x2 9y2 8x 18y 31 0; б) 4y2 4x 2y 1 0;

в) 4x2 25y2 16x 50y 59 0;

г) 5x2 2y2 4z2 10x 12y 16z 49 0.

6.13.а) 4x2 9y2 8x 18y 41 0;

б) 9x2 4y2 18x 16y 25 0; в) 2y2 3x 16y 17 0;

г) x2 2y2 4z2 6x 4y 32z 49 0. 6.14. а) 9x2 25y2 36x 50y 164 0;

б) 2y2 3x 20y 53 0;

в) 4x2 9y2 8x 18y 31 0;

г) 2x2 y2 z2 16x 2y 4z 17 0.

15

6.15. а) 3y2 7x 6y 4 0;

б) 4x2 7y2 16x 14y 5 0; в) x2 4y2 6x 8y 1 0;

г) x2 2y2 6x 18y 8z 49 0.

6.16.а) x2 4y2 6x 8y 9 0; б) y2 4y 4 0;

в) 4x2 y2 8x 14y 52 0; г) x2 2y2 6x 4y 8z 47 0.

6.17.а) 9x2 4y2 18x 40y 73 0; б) x2 4y2 6x 40y 95 0; в) 2y2 3x 4y 13 0;

г) x2 y2 z2 2x 35 0.

6.18.а) y2 3x 4y 19 0;

б) x2 y2 6x 10y 9 0; в) x2 4y2 6x 40y 87 0;

г) 4x2 9y2 36z2 8x 18y 72z 13 0.

6.19.а) 4x2 36y2 100x 72y 8 0; б) 2y2 3x 20y 47 0;

в) 25x2 4y2 100x 56y 4 0;

г) x2 y2 z2 2x 2y 2z 2 0.

6.20.а) 2y2 3x 16y 47 0;

б) 4x2 y2 40x 2y 101 0;

в) 25x2 4y2 100x 56y 196 0; г) 3x2 9y2 4z2 6x 36y 8z 1 0.

6.21.а) 49x2 4y2 98x 64y 403 0; б) x2 2x 2y 5 0;

в) 4x2 4y2 16x 24y 51 0;

г) 49x2 4y2 98x 24y 196z 111 0.

6.22.а) x2 y2 5x 2y 1 0;

б) x2 2x 2y 7 0;

в) 9x2 4y2 108x 16y 344 0; г) 9x2 z2 18x 18y 6z 0.

16

6.23. а) x2 2x 2y 9 0;

б) 9x2 4y2 108x 16y 272 0; в) x2 y2 6x 2y 40 0;

г) x2 y2 z2 2y 2z 0.

6.24.а) x2 4y2 4x 24y 32 0; б) x2 y2 3x 7y 25 0; в) x2 2x 2y 7 0;

г) 4x2 9y2 36z2 8x 36y 72z 40 0.

6.25.а) 4x2 25y2 100x 50y 25 0;

б) 2x2 12x 5y 53 0;

в) 4x2 9y2 40x 36y 100 0;

г) x2 y2 z2 4x 2z 11 0.

6.26.а) 3x2 108y2 6x 216y 84 0; б) 5x2 20x 3y 44 0;

в) 36x2 9y2 72x 18y 351 0;

г) 4x2 y2 z2 24x 4y 2z 35 0.

6.27.а) 5x2 20x 3y 4 0;

б) 36x2 9y2 72x 18y 297 0; в) 4x2 5y2 8x 10y 11 0;

г) x2 y2 6x 6y 4z 18 0. 6.28. а) 4x2 y2 56x 10y 175 0;

б) 25x2 16y2 50x 32y 359 0;

в) x2 5x 6 0;

г) x2 y2 4x 8y 2z 0.

6.29.а) 4x2 y2 56x 10y 167 0; б) 4x2 56x 3y 193 0;

в) 9x2 4y2 18x 72y 297 0;

г) x2 y2 z2 2x 4y 2z 4 0.

6.30.а) 2x2 12x 5y 17 0;

б) 9x2 4y2 36x 40y 100 0; в) 25x2 4y2 100x 56y 196 0;

г) x2 y2 z2 2x 4y 2z 4 0.

17

Линейная алгебра

Задание 1.

Выясните, образуют ли линейное векторное пространство следующие множества с естественными операциями сложения и умножения на действительные числа.

1.1. а) Множество всех целых чисел;

в) множество всех четных функций f (x), заданных на ;

г) множество всех плоских векторов, исходящих из начала координат

ипринадлежащих первой четверти.

1.2.а) Множество всех действительных чисел, больших 9;

в) множество всех функций f (x), заданных на и удовлетворяющих условию: f (0) 0.

г) множество всех плоских сонаправленных векторов.

1.3. а) Множество всех действительных чисел, по модулю больших 1;

г) множество всех плоских векторов, коллинеарных данной прямой. 1.5. а) Множество всех действительных положительных чисел;

18

в) множество всех функций f (x), заданных на и удовлетворяющих условию: f (0) 1;

г) множество всех плоских векторов, длина которых равна 7. 1.6. а) Множество всех рациональных чисел;

в) множество всех функций f (x) с областью определения и обла-

стью значений [ 4; 10]; г) множество всех плоских векторов, вторая координата которых рав-

на 2.

1.7. а) Множество всех чисел, кратных 3;

в) множество всех функций f (x), областью определения которых является множество неотрицательных чисел;

г) множество всех плоских векторов, исходящих из начала координат

ипринадлежащих второй четверти.

1.8.а) Множество всех действительных неположительных чисел;

в) множество всех функций f (x), заданных на , с областью значе-

ний [ 100; 100];

г) множество всех плоских векторов, образующих острый угол с данной прямой.

1.9. а) Множество всех четных чисел;

19

г) множество всех плоских векторов, сумма координат которых является отрицательным числом.

1.10. а) Множество всех правильных рациональных дробей;

в) множество всех функций f (x), заданных на и удовлетворяющих условию: f (1) 1;

г) множество всех плоских векторов, лежащих на оси Oy. 1.11. а) Множество всех действительных чисел;

в) множество всех невозрастающих функций f (x), заданных на ; г) множество всех плоских векторов, исходящих из начала коорди-

нат и принадлежащих третьей четверти.

1.12. а) Множество всех нечетных чисел, больших 11;

в) множество всех функций f (x), заданных на и удовлетворяющих условию: f ( 1) 3;

г) множество всех плоских векторов, длина которых равна 4. 1.13. а) Множество всех делителей числа 198;

в) множествовсехфункций f (x) сзаданнымпериодомT ,заданныхна ; г) множество всех плоских векторов, ортогональныхданной прямой.

20