Конспект ТЭС 1 сем

33

8.2 Случайное событие

Случайное событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры: попадание в цель при выстреле; появление герба при бросании монеты; передача текста без ошибок; превышение помехой заданного уровня. Случайные события обозначаются начальными прописными буквами латинского алфавита (А,

В, С).

Чтобы сравнивать между собой события по степени их возможности используются числовые характеристики:

-частота появления события;

-вероятность события.

Частота появления события v – отношение числа опытов m , в которых появилось событие A , к общему числу опытов n :

v = m / n .

Вероятность события P(A) – частота его появления при неограниченном увеличении числа независимых однородных опытов:

P( A ) = lim v = lim m / n .

n→∞ n→∞

Если число опытов, в которых появилось событие, больше двадцати, то можно считать, что частота случайного события численно совпадает с его вероятностью.

8.3 Случайная величина

Случайная величина – величина, значение которой меняется от опыта к опыту случайным образом.

Примеры: число попадание при трех выстрелах; число ошибок в тексте; уровень помехи в канале. Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а значения, которые они принимают, - строчными буквами

(x, y, z).

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретные принимают только отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.

Пример: число попаданий при трех выстрелах (может быть 0, 1, 2, 3). Непрерывные принимают значения, которые непрерывно заполняют некоторый промежуток.

34

Пример: абсцисса точки попадания при выстреле (может быть любой в интервале [0, r], где r – радиус мишени).

Для математического описания случайных величин вводятся статистические характеристики:

-функция распределения вероятности;

-плотность распределения вероятности;

-математическое ожидание;

-дисперсия.

Функция распределения вероятности F(x) – функция, которая показывает веро-

ятность того, что все значения случайной величины не превышают некоторого заданного значения x :

F(x) = P(X ≤ x) .

Рисунок 8.1 – Графики F(x) для дискретной и непрерывной случайных величин.

Плотность распределения вероятности p(x) представляет собой производную от функции распределения:

p(x) = dF(x) / dx .

Она характеризует частоту появления разных значений случайной величины при многократных наблюдениях. Чем большее значение имеет функция p(x1 ) , тем чаще появляются значения случайной величины X , близкие к x1 .

Она существует только для непрерывных случайных величин. Взаимосвязь между p(x) и F(x) определяется выражением:

F(x) = ∫x p(x)dx .

−∞

случайной величины X в бесконечно малый интервал dx в окрестности точки x : p(x)dx = P(x − dx / 2 ≤ X ≤ x + dx / 2) .

Основные свойства p(x) :

-является неотрицательной ( p(x) ≥ 0 );

-площадь под кривой p(x) всегда равна единице ( ∞∫p(x)dx =1);

р(x)

0 x

Рисунок 8.2 – График p(x) .

Для дискретной случайной величины вместо плотности распределения вероятности вводится понятие распределение вероятности, которое показывает вероятности появления всех разрешенных значений случайной величины.

р

Рисунок 8.3 – Графическое изображение распределения вероятности дискретной случайной величины.

Математическое ожидание M (X ) или mX представляет собой среднее значение случайной величины. Если X – случайное напряжение (ток), то M (X ) - среднее значение, или постоянная составляющая, напряжения (тока).

Если X - дискретная случайная величина, то при вычислении математического ожидания применяется суммирование:

n

M (X ) = ∑xi P(xi ) ,

i=1

где xi - значения случайной величины; P(xi ) - вероятности этих значений.

Если X - непрерывная случайная величина, то при вычислении математического ожидания применяется интегрирование:

36

M (X ) = ∞∫xp(x)dx .

−∞

Дисперсия D(X ) или σ 2 X характеризует степень разброса результатов отдельных опытов относительно среднего значения. Если X – случайное напряжение (ток), то D(X ) - мощность переменной составляющей напряжения (тока).

D(X ) вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от ее среднего значения. Для дискретной и непрерывной случайных величин справедливы соотношения:

Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратическим отклонени-

ем:

σX = D(X ) .

Вэлектротехнике σ X - действующее (эффективное) значение случайного напряже-

ния или тока на единичном сопротивлении.

8.4 Нормальный закон распределения

Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин очень удобен для анализа и часто встречается на практике, особенно он характерен для помех канала связи.

Плотность распределения нормальной случайной величины определяется выражением:

где mX и σ X2 - соответственно математическое ожидание и дисперсия гауссовской случайной величины.

График p(x) имеет симметричный холмообразный вид. Центром симметрии является параметр mX . Если изменять mX , кривая распределения будет смещаться вдоль горизонтальной оси, не меняя своей формы. Параметр σ X характеризует форму кривой распределения. При уменьшении σ X максимум p(x) увеличивается и кривая все более локализуется в окрестности точки x = mX .

Рисунок 8.4 – Графики p(x) случайных величин с нормальным распределением. График F(x) имеет вид монотонной возрастающей от нуля до единицы кривой.

σX1<σX2

F(x)

1

0,5

mX1=0 mX2 x

Рисунок 8.5 - Графики F(x) случайных величин с нормальным распределением.

9 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ КАК СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

9.1 Основные понятия

Реальные сигналы и помехи являются случайными процессами.

Случайный процесс (СП) – это случайная функция времени, т.е. такая функция времени, значение которой в любой момент времени является случайной величиной. Обозначение: .

Примеры: напряжение шума на выходе линии связи, температура воздуха, ток на выходе микрофона.

Интервал наблюдения – интервал времени, на котором рассматривается СП. Обозначение: [0,Tн ] , где Tн - длительность интервала наблюдения.

Реализация СП– конкретный вид случайной функции времени, полученный в результате одного наблюдения над СП. Она является уже детерминированной функцией времени. Обозначение: , где k - индекс, который указывает на номер наблюдения.

Рисунок 9.1 – Реализации СП.

Ансамбль реализаций СП – совокупность всех возможных реализаций данного СП. Обозначение: {xk (t)}. Случайность процесса проявляется в том, что до проведения наблюдения нельзя предсказать, какая именно реализация из ансамбля появится в данном испытании.

Примеры: набор сигналов, наблюдаемых одновременно на выходах многоканальной системы связи; группа сигналов, наблюдаемых одновременно на выходах идентичных генераторов шумового напряжения.

Совокупность значений всех реализаций ансамбля в произвольный момент времени t1 представляет собой случайную величину, называемую сечением СП. Обозначение: X (t1 ) .

Для описания случайного процесса применяются следующие статистические характеристики:

- функция распределения вероятности; - плотность распределения вероятности; - математическое ожидание; - дисперсия; - функция корреляции;

- спектральная плотность мощности.

9.2 Статистические характеристики СП

Функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности дают полное вероятностное описание СП лишь для одного фиксированного момента времени t = t1 .

Функция распределения вероятности F(x,t1 ) определяется как вероятность того, что в момент времени t1 значение СП не превосходит некоторого заданного значения x :

39

F(x,t1 ) = P(X (t1 ) ≤ x) .

Плотность распределения вероятности f (x,t1 ) представляет собой производную от функции распределения вероятности:

p(x,t1 ) = dF(x,t1 ) / dx .

Произведение p(x,t1 )dx представляет собой вероятность попадания значения СП в бесконечно малый интервал dx в окрестности точки x .

Математическое ожидание – среднее значение СП в текущий момент времени, полученное усреднением по всему ансамблю реализаций:

M (X (t)) = mX (t) = ∞∫xp(x,t)dx .

−∞

Дисперсия характеризует среднюю мощность отклонений СП от его среднего значения:

∞

D(X (t)) = DX (t) =σ X2 (t) = ∫(x − mX (t))2 p(x,t)dx .

−∞

Среднеквадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии и служит амплитудной мерой разброса значений СП в текущий момент времени относительно математического ожидания:

σ X (t) = DX (t) .

Функция корреляция K X (t1 ,t2 ) представляет собой меру связи (корреляции) между сечениями СП, взятыми в произвольные моменты времени t1 и t2 :

K X (t1 ,t2 ) = ∞∫ ∞∫(x(t1 ) − mX (t1 ))(x(t2 ) − mX (t2 )) p(x1 , x2 ;t1 ,t2 )dx1dx2 ,

−∞−∞

где p(x1 , x2 ;t1 ,t2 ) - двумерная плотность распределения вероятности, которая описывает двумерную случайную величину {X (t1 ), X (t2 )}, образованную совокупностью двух сечений СП в различные моменты времени t1 и t2 ;

p(x1 , x2 ;t1 ,t2 )dx1dx2 - вероятность того, что реализация СП в момент времени t1 попадет в бесконечно малый интервал шириной dx1 в окрестности точки x1 , а в м омент времени t2 - в бесконечно малый интервал шириной dx2 в окрестности точки x2 .

При t1 = t2 = t выражение соответствует определению дисперсии СП.

Чем медленнее убывает функция K X (t1 ,t2 ) с ростом интервала между моментами времени t1 и t2 , тем больше промежуток, в течение которого наблюдается стати-

40

стическая связь между мгновенными значениями СП, и тем медленнее, плавне изменяются во времени его реализации.

Стационарными называют СП, статистические характеристики которых одинаковы во всех временных сечениях. Для стационарного СП функция распределения вероятности, плотность распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени, а от интервала между ними τ = t2 −t1 . По этой причине при записи статистических параметров стационарного СП можно опускать обозначения фиксированных моментов времени: F(x), p(x), mX , DX , K X (τ) .

Стационарный СП называется эргодическим, если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквивалентно усреднению по времени одной, теоретически бесконечно длинной, реализации. Другими словами, если изучаемый процесс является эргодическим, то его реализация достаточной длины является «типичным» представителем статистического ансамбля, и по этой единственной реализации можно определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию СП:

где Tн - время наблюдения реализации x(t) .

Принято моделировать реальные сигналы эргодическим и стационарным СП.

Спектральная плотность мощности GX (ω) представляет собой среднюю мощ-

ность СП, приходящуюся на 1 Гц в окрестности заданной частоты ω . В общем случае спектральную плотность мощности необходимо усреднить по множеству реализаций, т.е. она находится как среднее значение отношения квадрата спектральной плотности к длительности интервала наблюдения. Если ограничиться рассмотрением эргодических процессов, можно считать, что найденная по одной реализации (путем усреднения во времени) спектральная плотность мощности рассматриваемой реализации характеризует весь процесс в целом:

где X (ω) - спектральная плотность рассматриваемой реализации СП x(t) , длительность которой ограничена конечным интервалом Tн . Находится с помощью прямого преобразования Фурье.

9.3 Вероятностные модели реальных сигналов

В качестве математической модели любого недетерминированного сигнала используется СП с подходящим образом выбранными вероятностными характеристиками.

Телефонный сигнал нельзя считать гауссовским СП, т.к. наличие пауз при разговоре приводит к заметному увеличению вероятности появления значений процесса, близких к нулю (рисунок 9.2).

f(u)

0 u

Рисунок 9.2 – График плотности распределения вероятности телефонного сигнала.

Значение математического ожидания телефонного сигнала можно считать равным нулю. Дисперсия телефонного сигнала тем больше, чем громче говорит абонент. Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле:

σu = 20lg(u / u0 ) ,

где u0 = 0,775 B .

Мощность телефонного сигнала распределяется в полосе частот от 300 до 3400 Гц (рисунок 9.3).

Gu(f),

дБ

40

20

0 200 300 500 1000 2000 3000 f, Гц

-20

Рисунок 9.3 – Спектральная плотность мощности телефонного сигнала.

42

Вероятностные характеристики вещательного сигнала, если он ра ссматривается как СП, в значительной мере идентичны соответствующим характеристикам телефонного сигнала.

Сигнал изображения нельзя рассматривать как гауссовский СП, т.к. последний может принимать любые значения из бесконечного интервала от −∞ до + ∞ , а мгновенные значения сигнала изображения должны находиться внутри диапазона от уровня белого до уровня черного (значения вне этого диапазона не воспроизводятся на экране ТВ приемника). Математическое ожидание отлично от нуля и используется при характеризации качества изображения на экране. Дисперсия применяется сравнительно редко при описании ТВ сигналов. Спектр ТВ сигнала занимает значительную полосу частот до 6 МГц; для него характерна значительная неравномерность по частоте: мощность спектральных составляющих с повышением их частоты быстро уменьшается (рисунок 9.4).

lgG u (f)8

-4

Рисунок 9.4 – Спектральная плотность мощности ТВ сигнала. Телеграфный сигнал нельзя рассматривать как гауссовский СП, т.к. для каждого

фиксированного момента времени этот сигнал может принимать лишь два значения: +U mи и −U mи . Как правило, возможные значения он принимает с равными вероятностями (рисунок 9.4).

р

0,5

u -Umи 0 +Um

Рисунок 9.5 – Распределение вероятностей телеграфного сигнала. Математическое ожидание телеграфного сигнала равно нулю, дисперсия – квадрату амплитуды (σu2 =U m2и ). Ширина спектра телеграфного сигнала зависит от длительности элементарной телеграфной посылки (∆F =1/τ ) (рисунок 9.6).