Задача №10

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ;

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости ;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Выборка:

( -4.29; -8.91) ( 3.82; 8.03) ( 5.03; 2.49) ( -0.85; -4.30) ( -1.43; -1.55) ( 4.52; 1.81) ( -3.92; -0.12) ( -1.29; -9.42)

( 1.03; -1.47) ( 1.20; 4.89) ( -5.90; -5.19) ( -2.17; -8.73) ( 2.42; 1.43) ( 0.15; -0.92) ( 1.25; -0.77) ( -0.14; -1.51)

( 0.83; -1.32) ( 7.80; 2.57) ( 0.20; 3.94) ( -1.41; -1.36) ( 1.78; 0.41) ( 3.26; 1.85) ( 3.91; 0.83) ( 0.55; -3.59)

( -3.99; -7.06) ( -6.54; -5.77) ( -0.80; -2.27) ( -1.05; -9.00) ( 0.94; -1.63) ( 2.20; 2.30) ( -1.03; -2.78) ( -1.01; -1.78)

( 0.39; -4.63) ( 2.76; 2.23) ( 8.55; 2.81) ( 3.56; -0.49) ( -5.81; -4.34) ( 4.73; -0.61) ( 3.96; 5.46) ( 1.19; -2.35)

( 2.30; -1.38) ( -2.87; -3.22) ( 5.66; 2.60) ( -0.25; 4.23) ( -5.84; -0.47) ( -1.46; -0.85) ( 4.34; -2.20) ( 2.08; 3.82)

( 0.23; -3.32) ( 0.30; 1.21)

Решение

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 7, Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 7 – Результаты промежуточных вычислений

	x	y	x2	y2­	x*y
	-4,290	-8,910	18,404	79,388	38,224
	3,820	8,030	14,592	64,481	30,675
	5,030	2,490	25,301	6,200	12,525
	-0,850	-4,300	0,723	18,490	3,655
	-1,430	-1,550	2,045	2,403	2,217
	4,520	1,810	20,430	3,276	8,181
	-3,920	-0,120	15,366	0,014	0,470
	-1,290	-9,420	1,664	88,736	12,152
	1,030	-1,470	1,061	2,161	-1,514
	1,200	4,890	1,440	23,912	5,868
	-5,900	-5,190	34,810	26,936	30,621
	-2,170	-8,730	4,709	76,213	18,944
	2,420	1,430	5,856	2,045	3,461
	0,150	-0,920	0,023	0,846	-0,138
	1,250	-0,770	1,563	0,593	-0,963
	-0,140	-1,510	0,020	2,280	0,211
	0,830	-1,320	0,689	1,742	-1,096
	7,800	2,570	60,840	6,605	20,046
	0,200	3,940	0,040	15,524	0,788
	-1,410	-1,360	1,988	1,850	1,918
	1,780	0,410	3,168	0,168	0,730
	3,260	1,850	10,628	3,423	6,031
	3,910	0,830	15,288	0,689	3,245
	0,550	-3,590	0,303	12,888	-1,975
	-3,990	-7,060	15,920	49,844	28,169
	-6,540	-5,770	42,772	33,293	37,736
	-0,800	-2,270	0,640	5,153	1,816
	-1,050	-9,000	1,103	81,000	9,450
	0,940	-1,630	0,884	2,657	-1,532
	2,200	2,300	4,840	5,290	5,060
	-1,030	-2,780	1,061	7,728	2,863
	-1,010	-1,780	1,020	3,168	1,798
	0,390	-4,630	0,152	21,437	-1,806
	2,760	2,230	7,618	4,973	6,155
	8,550	2,810	73,103	7,896	24,026
	3,560	-0,490	12,674	0,240	-1,744
	-5,810	-4,340	33,756	18,836	25,215
	4,730	-0,610	22,373	0,372	-2,885
	3,960	5,460	15,682	29,812	21,622
	1,190	-2,350	1,416	5,523	-2,797
	2,300	-1,380	5,290	1,904	-3,174
	-2,870	-3,220	8,237	10,368	9,241
	5,660	2,600	32,036	6,760	14,716
	-0,250	4,230	0,063	17,893	-1,058
	-5,840	-0,470	34,106	0,221	2,745
	-1,460	-0,850	2,132	0,723	1,241
	4,340	-2,200	18,836	4,840	-9,548
	2,080	3,820	4,326	14,592	7,946
	0,230	-3,320	0,053	11,022	-0,764
	0,300	1,210	0,090	1,464	0,363
Сумма:	28,890	-50,400	581,1285	787,872	369,131

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью , По таблице функции Лапласа [1, стр, 61] :

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблице функции Лапласа .

Так как , то гипотеза отклоняется, т.е, величины и коррелированны.

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии (рисунок 9):

Список литературы

1. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, А, В,Аксенчик, Теория вероятностей и математическая статистика: метод, указания по типовому расчету ,– Минск БГУИР, 2009, – 65 с,: ил,

2. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студ, всех спец, и форм обучения,– Минск БГУИР, 2003, – 84 л,