26. Метод квадратичной аппроксимации

Метод квадратичной аппроксимации относится к семейству методов полиномиальной аппроксимации. Идея метода полиномиальной аппроксимации состоит в том, что в некоторой окрестности минимума функции Ф(х) она аппроксимируется полиномом достаточно высокого порядка и в качестве точки минимума функции Ф(х) (или в качестве очередного приближения к этой точке) принимается точка минимума аппроксимирующего полинома. В силу того, что аппроксимирующая функция является полиномом, этот минимум находится легко.

В качестве аппроксимирующих полиномов чаще всего используются полиномы второго и третьего порядков, т.е. квадратичная и кубическая аппроксимации.

Квадратичная аппроксимация.

Рассмотрим квадратичную аппроксимацию (см. рис. 1). Пусть в процессе решения задачи поиска минимума функции Ф(х) тем или иным образом получены попарно не совпадающие точки х1,х2,х3, принадлежащие области допустимых значений D (не обязательно упорядоченные слева направо!).

Построим квадратичную функцию

(1)

проходящую через точки , , где .

Коэффициенты ,α,β ,γ функции (1) удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(2)

Определитель СЛАУ (2) является определителем Вандермонда, который отличен от нуля, если величины ,х1,х2,х3, попарно различны.

Таким образом, в сделанных предположениях СЛАУ (2) имеет решение и, притом единственное. Поскольку определитель СЛАУ (2) равен , это решение имеет вид

где ,,.

Подставим найденные значения коэффициентов ,α,β,γ, в необходимое условие =0 минимума квадратичной функции (1), получим стационарную точку этой функции

(3)

где

Рассмотрим следующую задачу условной оптимизации: найти минимум одномерной унимодальной функции Ф(х), определенной в замкнутой области допустимых значений D=[а,b],

(4)

Метод квадратичной аппроксимации относится к классу методов сокращения текущего интервала неопределенности. Пусть при решении задачи (4) каким-либо методом получены три точки , принадлежащие области допустимых значений, такие, что.

Схема метода квадратичной аппроксимации:

1. Выполняем присваивания r=1, ,,,.

2. Вычисляем значения , функции Ф(х) в точках, соответственно.

3. По формуле (3) вычисляем величину и находим значение функции Ф(х) в этой точке.

4. Находим следующие три точки:

случай (а) – если [,], то=,=,=.(см. рис. 2);

случай (б) – если [,], то=,=,=(см. рис. 3).

5. В качестве следующего текущего интервала неопределенности принимаем

6. Если , то заканчиваем вычисления. Иначе - выполняем присваиваниеr=r+1 и переходим на п.2. Здесь – требуемая точность решения.

Рис. 2. К методу квадратичной аппроксимации (случай а).

Рис. 3. К методу квадратичной аппроксимации (случай б).

В качестве приближенного значения точки минимума с равными основаниями может быть принята любая точка последнего текущего интервала неопределенности.

Замечание. В силу условий ,точкавсегда принадлежит текущему интервалу неопределенности ТИНr=[,].

27. Метод кубической аппроксимации

 

Функция  аппроксимируется полиномом третьего порядка. Находится стационарная точка  этого полинома. Эта точка заключается в интервал  такой, производные в 

 имеют разные знаки.

Построим полином

 находятся так, чтобы значения функции и значения производной были:  и , и совпадали бы с  и  соответственно в точках  и .

Формула для  обеспечивает надлежащий выбор одного из двух корней квадратного уравнения.

Для значений , заключённых в интервале от 0 до 1 формула для  гарантирует, что  всегда будет между  и .

Алгоритм

1.       Задать  – начальное приближение,  - шаг поиска и  погрешности по функции и аргументу.

2.       Вычислить  в . Если , то  и , иначе  и какая-нибудь своя формула для вычисления . 

3.       Вычислять  до тех пор, пока не получим  в которой .Вычислить  .

4.       Вычислить  (см. выше).

5.       Если , то перейти к п. 6 иначе  и так вычислять, пока не выполнится условие .

6.       Проверка на окончание  и  . Если выполняется, то конец вычислений, иначе если ,то  или, если ,то  и перейти к п. 4.