- •Министерство образования Республики Беларусь
- •Содержание
- •З а д а н и е 1. Численное решение алгебраических уравнений
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Метод простой итерации
- •В данном алгоритме число проделанных итераций подсчитывает параметр к, а правая часть выражения 1..4 обозначено как «fi». Точность решения – eps. Число итераций лучше ограничить.
- •2. Метод Ньютона
- •3. Метод секущих
- •5. Метод деления отрезка пополам
- •Варианты заданий
- •Контрольные вопросы
- •Задание 2. Аппроксимация функций
- •Краткие теоретические сведения
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Тогда после нескольких преобразований получим:
- •Варианты заданий
- •Контрольные вопросы
- •Задание 3. Алгоритмы численного интегрирования
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Формула прямоугольников.
- •2. Формула трапеций.
- •3. Формула Симпсона или формула парабол.
- •Контрольные вопросы
- •Индивидуальные задания
- •Алгоритмы сортировки выбором Простой линейный выбор
- •Сортировка обменом
- •Быстрая сортировка
- •Словесный рекурсивный алгоритм Хоара
- •3. Начало цикла 1: выполнять (циклdo)
- •Метод Шелла
- •Двоичный поиск
- •Теперь программа должна обратиться к функции сортировки sort() передав ей сформированный массив и его размер (предусмотреть подсчет числа перестановок).
- •Функция sort() после завершения работы возвратит отсортированный массив чисел (алгоритмы сортировки получить у преподавателя).
- •И в заключение вызывается функция бинарного поиска значения х, вводимого с клавиатуры.
- •Контрольные вопросы
- •Задание 5. «полиз»
- •1. Деревья (нелинейные структуры данных)
- •2. Построение обратной польской записи
- •Задания по вариантам
- •Учебно-методические материалы по дисциплине Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Перечень методических материалов
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Институт информационных технологий
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
(практикум)
Алгоритмы вычислительной математики
для слушателей курсов
по переподготовке и повышению квалификации
Минск 2009
УДК 621.3.6
А.Г.Корбит, Т.М.Кривоносова. . Практикум по курсу “Алгоритмы вычислительной математики”: Методическое пособие для слушателей курсов по переподготовке и повышению квалификации
. - Мн.: ИИТ БГУИР, 2009.- 35 с.
Общий курс “Вычислительная математика” содержит ряд разделов. Данное пособие посвящено изучению раздела курса “Основы численных методов”. В нём студентам предлагается выполнить пять индивидуальных заданий, охватывающих основные, хорошо изученные задачи. Предполагается также получить навыки программной реализации методов сортировки и ознакомиться с современными алгоритмами обработки нелинейных структур данных.
Составители: Корбит А.Г., Кривоносова Т.М.
ИИТ БГУИР, 2009
Содержание
ЗАДАНИЕ 1 Численное решение алгебраических уравнений |
|
ЗАДАНИЕ 2. Аппроксимация функций |
|
ЗАДАНИЕ 3. Алгоритмы численного интегрирования |
|
ЗАДАНИЕ 4. Сортировка данных и поиск |
|
ЗАДАНИЕ 5. «ПОЛИЗ» |
|
ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
З а д а н и е 1. Численное решение алгебраических уравнений
Цель работы: изучить численные методы решения алгебраических уравнений при помощи итерационных методов. Научиться программировать итерационные алгоритмы решения алгебраических уравнений с заданной точностью.
Краткие теоретические сведения
Пусть дана некоторая функциональная зависимость y=f(x) на заданном отрезке [a,b]. Решение уравнения y=f(x) заключается в поиске таких значений x*, при которых функция f(x) обращается в ноль, т.е. решение уравнения:
f(x*)=0. (1.1)
Но точное решение удается получить только в исключительных случаях, и обычно для нахождения корней уравнения применяются численные методы.
Решение уравнения (1.1) при этом осуществляется в два этапа:
1. Приближенное определение местоположения корней - этап отделения корней (нахождение грубых корней).
2. Вычисление выбранного корня с заданной точностью . Это, как правило, итерационные методы.
Первая задача чаще всего решается графическим методом: на заданном отрезке [a, b] вычисляется таблица значений функции с некоторым шагом h, строится ее график и определяются интервалы длинойh, на которых находятся корни.
Вычисление значения простого корня с заданной точностью осуществляется одним из итерационных методов.
1. Метод простой итерации
Уравнение (2.1) записывают в виде разрешенном, относительно x:
. (1.2)
Заметим, что переход от записи уравнения (1.1) к эквивалентной записи (1.2) можно сделать многими способами, например, положив
, (1.3)
где - произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция. Часто достаточно выбрать функциюкак константу=const из диапазона ±0.1 - 0.9 .
В этом случае корни уравнения (1.2) являются также корнями (1.1), и наоборот.
Исходя из записи (1.2) члены рекуррентной последовательности в методе простой итерации вычисляются по закону
. (1.4)
Метод является одношаговым, так как последовательность x0, x1, …, xк имеет первый порядок (m=1) и для начала вычислений достаточно знать одно начальное приближение илиили.
Условием сходимости метода простой итерации: если дифференцируема и выполнение неравенства для любого . (1.5)
Максимальный интервал (, ), для которого выполняется неравенство (1.5), называется областью сходимости.
Рис. 1.1.
Схема алгоритма метода простой итерации представлена на рис. 1.1.