ртцис
.pdf
|
252 |
|
i(t) |
U& |
(t) |
0,9U m |
|
|
|
|
|
|
2τ |
|
|
|
t уст |
tз |
|
а) |
|
в) |
U(t) |
U(t) |
|
|
|
|
||
|
Um |
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
б) |
г) |
|
Рисунок 11.8 – Прохождение фазоманипулированного сигнала через избирательную цепь: а) сигнал на входе цепи; б) реакция избирательной цепи на сигнал с коммутацией фазы на 900; в) комплексная огибающая выходного сигнала с коммутацией фазы на 1800; г) реакция избирательной цепи на сигнал с коммутацией фазы на 1800
Если ϕ |
2 |
=ϕ |
1 |
+π |
2 |
, то e jϕ2 |
|
= je jϕ1 ; e jϕ1 − e jϕ2 = e jϕ1 (1 − j)= |
2e |
j(ϕ |
1 |
−π |
4 |
) |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ume jϕ1 (1 −e−αt ), |
|
0 ≤ t <τи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e j(ϕ1 +π 2)+U |
|
|
2e j(ϕ1 −π 4)e−α(t −τu ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U&(t)= |
U |
m |
m |
|
τ |
u |
≤ t < 2τ |
u |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ϕ1 +π |
) −α(t −2τ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ume |
j |
u |
,2τu ≤ t |
< ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um (1 −e−αt ), |
0 ≤ t <τи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U&(t) |
|
= Um 1 + 2e−2α(t −τu ) − 2e−α(t −τu ), τu ≤ t < 2τu |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ume−α(t −τu ),2τu ≤ t < ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
253
Найдем модуль и фазу комплексной огибающей, полагая ϕ2 =ϕ1 + ∆ϕ .
Рассмотрим интервал времени τu ≤ t < 2τu
U&(t)= U&(t)e jψ (t),
U&(t)=Ume jϕ1 [e j∆ϕ + (1 − e j∆ϕ )e−α(t −τu )].
Пусть t −τu = x , причем 0 ≤ x <τu
U&(x) =Um [e−αx + (1 −e−αx )cos(∆ϕ)]2 +[(1 −e−αx )sin(∆ϕ)]2 = =Um (1 −e−αx )2 + e−2αx + 2 cos(∆ϕ)(1 −e−αx ),
ψ(x)=ϕ1 + arctg |
(1−e−αx )sin(∆ϕ) |
|
. |
|
e−αx + (1−e−αx )cos(∆ϕ) |
||||
|
|
11.7 Выводы
1.Частотно-избирательные цепи характеризуются тем, что полоса пропускания много меньше некоторой центральной частоты.
Любой широкополосный сигнал в результате прохождения через избирательную цепь становится узкополосным.
Дельта-функция, характеризующаяся бесконечной полосой, преобразуется избирательной цепью в узкополосную импульсную характеристику.
Комплексная огибающая является низкочастотным эквивалентом импульсной характеристики избирательной цепи.
2.При точном решении задачи о прохождении сигнала через цепь устанавливается взаимодействие узкополосного сигнала с импульсной характеристикой избирательной цепи.
При приближенном решении задачи о прохождении узкополосного сигнала через избирательную цепь определяется взаимодействие комплексной огибающей входного сигнала с комплексной огибающей импульсной характеристики.
3.Низкочастотный эквивалент избирательной цепи – воображаемая система, частотный коэффициент передачи которой получен путем переноса частотной характеристики исходной цепи в окрестность нулевой частоты.
254
Спектральная плотность комплексной огибающей с точностью до постоянного множителя 12 совпадает с комплексным коэффициентом передачи
низкочастотного эквивалента.
4. При прохождении радиоимпульса через расстроенный контур на выходе имеют место «биения» огибающей, зависящие от величины расстройки.
При прохождении радиоимпульса через настроенный контур огибающая плавно нарастает, достигая уровня 0.9 от стационарного значения за вре-
мя |
t |
|
|
= ln10 |
α |
. |
||
|
|
УСТ |
|
|
|
|||
1800, |
С помощью избирательной цепи можно обнаружить переброс фазы на |
|||||||
так как |
огибающая сигнала на выходе падает до нуля за время |
|||||||
t |
3 |
= ln 2 |
α |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
5. Приближенный операторный и приближенный временной методы дают одни и те же результаты.
255
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Книги по радиотехнике
1.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.-М.: Высшая школа,1988.-448с.
2.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.-М.: Радио и связь,1986.-512с.
3.Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов / Под ред. К.А.Самойло.- М.: Радио и связь,1982.-528с.
Задачники по радиотехнике
4.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач.-М.: Высшая школа,1987.-208с.
5.Задачник по курсу “Радиотехнические цепи и сигналы”/ В.П.Жуков, В.Г.Карташев, А.М.Николаев.-М.: Высшая школа,1986.-192с.
6.Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи: Учебное пособие для вузов./Под ред. И.С.Гоноровского.-М.: Радио и связь,1989.-248с.
Книги зарубежных авторов
7.Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х
томах. Пер.с франц.-М.: Мир,1983.-Т.1.-312с.,Т.2. 256с.
8.Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: в 2-х частях./Пер. c англ.-М.: Мир,1988.- 4.1.336с., 4.2.360с.
9.Френкс Л. Теория сигналов: /Пер.с англ.-М.: Советское радио, 1974.-344с.
Книги по математике
10.Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров: /Пер. с франц.-М.:
Наука,1965.-778с.
11.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник для инженеров и учащихся ВТУзов.-М.:
Наука,1986.-544с.
12.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление: -М.: Наука,1974.-542с.
Специальная литература
13. Continuous and Discrete Signal and Sistem Analysis edited by C.D. McGillem and G.R.Cooper, Holt, Rineh art and Winston, Inc., Orlando, 1990.-494.
14. Огибающие узкополосных сигналов. С.О.Райс. ТИИЭР:Пер.с англ.,1982,т.70,№7,с.5-13.
256
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица П.1 – Комплексные функции и действия над ними
Формы представления комплексных функций:
Алгебраическая Показательная Тригонометрическая
Z& = c + jd |
Z& = |
|
Z |
|
e jϕ |
Z& = |
|
Z |
|
cosϕ + j |
|
Z |
|
sinϕ |
|
|
|
|
|
|
Связь между ними:
Z - модуль Z&
|
|
Z = |
|
c2 +d 2 ; c = |
|
|
|
Z |
|
|
|
cosϕ ; |
d = |
|
Z |
|
sinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ϕ = arg(Z ) |
- аргумент Z& ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
arctg d |
c |
, |
c > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ϕ = arg(Z )= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, c < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
π +arctg d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексно-сопряженные функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
& |
* |
= c − jd |
|
&* |
= |
|
Z |
|
e |
− jϕ |
|
|
|
& |
* |
= |
|
Z |
|
cosϕ − j |
|
Z |
|
sinϕ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операции над комплексными функциями:
Z& = Z&1 + Z&2 = (c1 + jd1 )+(c2 + jd2 )= (c1 + c2 )+ j(d1 +d2 )
Z& = Z&1 Z&2 = Z1 Z1 e j(ϕ1 +ϕ2 ) = (c12 +d12 )(c22 + d22 )e j(ϕ1 +ϕ2 ) = = с1с2 −d1d1 + j(с2d1 +с1d2 )
Z& + Z&* = (c + jd )+(c − jd )= 2c
Z& Z&* = (c + jd ) (c − jd )= c2 + d 2 = Z 2
|
Z = |
Z&1 |
= |
|
Z1 |
|
|
|
e |
j(ϕ −ϕ |
|
) |
= |
|
|
c12 +d12 |
e |
j(ϕ −ϕ ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 +d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
= |
|
Z& |
|
= |
|
Z& Z&* |
|
= |
(c + |
jd )(c − jd |
|
|
) |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
* |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 + d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
Z2 |
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
(c1c2 + d1d2 )+ j(c2d1 − c1d2 ) |
= c1c2 + d1d2 + j c2d1 − c1d2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c22 + d22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c22 + d22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c22 + d22 |
||||||||||||
= ( |
Z&K = (c + jd )K = ( c2 |
+d 2 )K e jKϕ = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c2 +d 2 )K cos(Kϕ)+ j( |
|
c2 +d 2 )K sin(Kϕ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( c2 +d 2 )K e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Z&K = (c + jd ) |
|
|
K |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
2K |
c |
2 |
+ d |
2 |
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
+ |
j |
2K |
c |
2 |
+d |
2 |
|
|
|
ϕ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
K |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
257
Таблица П.2 – Тригонометрические функции и их преобразования
sin( A ± B) = sin A cos B ±cos A sin B
cos( A ± B) = cos A cos B msin A sin B
|
cos A cos B = |
1 |
[cos( A + B) +cos( A − B)] |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin A sin B = |
1 |
[cos( A − B) −cos( A + B)] |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin A cos B = |
1 [sin( A + B) +sin( A − B)] |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin A +sin B = 2 sin |
1 |
( A + B) cos |
1 |
(A − B) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
sin A −sin B = 2 sin |
1 |
( A − B) cos |
1 |
( A + B) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
cos A +cos B = 2 cos 1 ( A + B) cos |
1 |
( A − B) |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
cos A −cos B = −2 sin 1 |
( A + B) sin |
1 |
( A − B) |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
sin 2A = 2 sin A cos A |
|
|
|
|
|||||
cos 2A = 2 cos2 A −1 =1 −2 sin2 A = cos2 A −sin2 A |
|||||||||||
sin 1 |
A = |
1 (1 −cos A) |
|
|
|
cos 1 A = |
|
1 (1 +cos A) |
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
sin2 A = |
1 (1 −cos 2A) |
|
|
|
cos2 A = |
1 (1 +cos 2A) |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sin x = e jx −e− jx |
cos x = e jx +e− jx |
e jx = cos x + j sin x |
||
2 j |
|
2 |
|
|
A cos(ωt +ψ1) + B cos(ωt +ψ2 ) = C cos(ωt +ψ3), |
||||
C = |
A2 + B2 +2 A B cos(ψ1 −ψ2 ) |
|||
|
|
A sinψ1 |
|
|
ψ3 = arctg |
+ B sinψ2 |
|||
|
|
A cosψ1 |
+ B cosψ2 |
sin(ωt +ψ) = cos(ωt +ψ −π2 )
arctgx = arcsin |
x |
= arccos |
1 |
|
1+ x2 |
|
1+ x2 |
258
Таблица П.3 – Дифференцирование функций
Функция |
|
Производная |
Функция |
Производная |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C (сonst) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
u ν |
u′ ν +u ν′ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
cos x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xn |
|
|
n xn−1 |
|
|
|
cos x |
|
−sin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
cos x2 |
|||||||||||
1 |
|
|
|
− |
|
n |
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
1 |
|
|
|
||||
|
xn |
|
|
|
|
xn+1 |
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
||||||||
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
arccos x |
− |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
n n xn−1 |
|
|
1 + x2 |
|
|
||||||||||||||
|
ex |
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
shx |
|
|
chx |
|||||||
|
a x |
|
|
a x ln x |
|
|
|
chx |
|
|
shx |
||||||||||
ln x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
thx |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
ch2 x |
|
|||||||||
loga x |
1 |
loga e = |
|
|
|
1 |
|
Arshx |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|||||||||||||||
x |
|
x |
ln a |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lg x |
|
1 |
lge |
|
|
|
Archx |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|||||||||||||
u |
|
|
u′ v −u v′ |
Arthx |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|||||
v |
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
259
Таблица П.4 – Определенные интегралы
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
∫xn e−axdx = |
|
|
|
|
|
||||||||
|
a |
n+1 |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
π |
|||
|
∫e−r |
x |
dx |
= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2r |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
∫x e−r2 x2 dx = |
|
||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x2 e−r2 x2 dx = π3 |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
, a > 0 |
||||||
∞ |
sin ax |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
= |
|
0, a = 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
, a < 0 |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
− |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞∫sinx2 x dx =π2
0
|
|
∞ |
|
|
||||||
|
|
∫ |
sin2 ax |
dx = |
|
a |
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
π |
π |
|
π |
π |
π2 |
|||||
∫sin2 mxdx =∫sin2 xdx = ∫cos2 mxdx = ∫cos2 xdx = |
||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
ππ
∫sin mx sin nxdx = ∫cos mx cos nxdx = 0, |
m ≠ n, m, n −целые |
|||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
2m |
, |
m, n −четные |
|
|
|
||
|
|
|||
∫sin mx cos nxdx = m2 −n2 |
|
|
||
0 |
|
0, m, n −нечетные |
||
|
260
Таблица П.5 – Неопределенные интегралы
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫sin axdx = − a cos ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫cos axdx = a sin ax |
||||||||
|
|
∫sin2 axdx = |
|
|
|
x |
|
− |
sin 2ax |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫x sin axdx = |
|
1 |
(sin ax −ax cosax) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫x2 sin axdx = |
1 |
(2 ax sin ax +2 cosax −a2 x2 cosax) |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫cos2 axdx = |
|
|
|
x |
+ |
sin 2ax |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫x cos x axdx = |
1 |
(cosax +ax sin ax) |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x2 cosaxdx = |
1 |
(2 ax cosax −2 sin ax +a2 x2 sin ax) |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫sin ax sin bxdx = |
sin(a −b)x |
− |
sin(a +b)x |
,a2 ≠ b2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2(a −b) |
|
|
|
2(a +b) |
|||||||||||||||||||||||
∫sin ax cosbxdx = − |
cos(a −b)x |
− |
cos(a +b)x |
,a2 ≠ b2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2(a −b) |
|
|
|
2(a +b) |
|
|||||||||||||||||||||
∫cosax cosbxdx = |
sin(a −b)x |
+ |
sin(a +b)x |
,a2 ≠ b2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2(a −b) |
|
|
2(a +b) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∫eaxdx = a |
eax |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫x eaxdx = e 2 (ax −1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫x2 eaxdx = e 3 (a2 x2 −2 ax +2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫eax sin bxdx = |
|
|
|
eax |
(a sin bx −b cosbx) |
||||||||||||||||||||||||
|
a |
2 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫eax cosbxdx = |
|
|
|
eax |
|
|
|
|
(a cosbx +b sin bx) |
||||||||||||||||||||
a |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||
∫ax2 +b |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ab |
arctg x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|