Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1269 вузов, 4660 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

ртцис

.pdf
Скачиваний:
165
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
5.51 Mб
Скачать
☆

221

которая, в свою очередь, определяет физическую огибающую A(t) и фазовый угол ϕ(t).

На рисунке 10.1 изображены условные модели рассматриваемых спектральных плотностей.

A&(ω)

а)

0

ω

б)

S&(ω)

 

−ωo

0

ωo

ω

Ф[A&(t )e jωot ]

в)

0

ωo

ω

 

 

Рисунок 10.1 − Спектральные плотности: а) комплексной огибающей; б) вещественного радиосигнала; в) комплексного радиосигнала

Пример 10.1

Расчет комплексной огибающей радиосигнала, изображение которого

описывается функцией S(p)= (p +α)cosϕo −ωo sinϕo .

(p +α)2 +ωo2

1) Приравнивая знаменатель нулю, определяем полюса:

(p +α)2 +ωo2 =0;

p2 + 2 pα +α2 +ωo2 =0;

p1,2 = −α ± jωo.

2) Представим S(p) суммой простых дробей

222

 

 

 

 

S(p)=

H1(p)

=

 

 

 

H1(p)

 

 

 

 

 

=

 

A1(p1)

 

+

A2 (p2 )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(p

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

2

(p)

 

− p

 

)(p − p

2

 

 

(p − p

 

)

 

(p − p

2

)

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1(p1 )

 

 

 

= ωo (j cosϕo −sinϕo )

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e jϕo

 

A (p

)=

 

 

 

 

=

(cosϕ

o

+ j sinϕ

o

)=

;

 

 

 

)

2

1 1

 

(p

− p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 jω

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (p

2

)=

 

H1(p2 )

 

 

 

= ωo (j cosϕo + sinϕo )

=

1

(cosϕ

o

− j sinϕ

o

)=

1 e− jϕo .

 

 

 

 

 

 

2

2

 

(p

2

− p )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 jω

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jω ,

3)

Заменяя комплексную частоту

 

 

на действительную частоту

получим спектральную плотность радиосигнала в виде (10.12):

 

 

 

 

 

 

 

 

S&(ω)=

 

1

e jϕo

 

 

 

 

 

1

 

 

+

1

e− jϕo

 

 

 

 

1

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

2

α + j(ω −ωo )

2

α + j(ω +ωo )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

A&(ω −ωo )+

1

 

A&*(ω +ωo );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A&(ω −ωo )= e jϕo

 

 

 

1

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α + j(ω −ωo )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Выполняя замену переменных ω = Ω +ωo , найдем спектральную плотность комплексной огибающей

 

A&(Ω)= e jϕo

1

.

 

5)

α + jΩ

 

Применяя обратное

преобразование

Фурье

(или Лапласа, при

jΩ = p ), определим комплексную огибающую радиосигнала

 

 

 

1

 

 

 

 

 

A&(t )= L− e jϕo

 

= e jϕo

e−α tσ

(t ).

 

 

6)

 

 

α + p

 

 

 

Восстановим радиосигнал

 

 

 

 

 

s(t )= Re[A&(t)e jωot ]= e−α t cos(ωot +ϕo )σ(t).

Квадратурные составляющие комплексной огибающей радиосигнала можно выделить из состава радиосигнала аппаратурным способом с помощью генератора опорного сигнала cos(ωot), перемножителей и фильтров

нижних частот (ФНЧ), изображенных на рисунке 10.2.

Сигнал на выходе каждого из перемножителей представляет собой сумму “медленной” и быстроосциллирующей (высокочастотной) составляющих

s

вых

 

(t)=

1 A

(t)+ 1 A(t)cos[2ω

o

t +ϕ(t)].

(10.13)

 

 

 

 

2

c

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

вых2

(t)= −1

A

(t)+ 1

A(t)sin[2ω

o

t +ϕ(t)].

(10.14)

 

 

 

2

 

s

2

 

 

 

 

223

s(t)= A(t)cos[ωot +ϕ(t)]

sвых1 (t) sвых2 (t)

cosωot

Гωo

sinωot

π2

ФНЧ

 

ФНЧ

 

 

t)

 

s (t)

Aс(

− A

Рисунок 10.2 − Структурная схема выделения квадратурных составляющих радиосигнала

Приведенный убедительный математический аппарат и рассмотренная структурная схема дают возможность однозначно определить закон изменения огибающей A(t) и фазового угла ϕ(t) только в том случае, если известна

центральная частота радиосигнала ωo .

При приеме радиосигнала либо центральная частота известна с погрешностью ∆ω , либо опорный генератор вырабатывает синхронные колебания с

погрешностью, т.е.

 

 

 

 

s(t)= A(t)cos[(ωo + ∆ω)t +ϕ(t)]=

 

 

= A(t)cos[∆ω t +ϕ(t)]cos(ωot)− A(t)sin[∆ω t +ϕ(t)]sin(ωot),

(10.15)

s(t)= Re A(t)e jϕ(t )e j∆ω t e jωot ,

 

(10.16)

 

A&∆ (t)= A&(t)e j∆ω t ,

 

(10.17)

A∆(t)=

A(t)cos[∆ω t +ϕ(t)]

 

 

c

 

 

 

(10.18)

∆

 

.

 

 

 

 

 

As (t)=

 

 

 

A(t)sin[∆ω t +ϕ(t)]

 

 

Обработка квадратурных составляющих A∆(t) и A∆(t) позволяет опре-

 

 

 

c

s

 

делить закон изменения огибающей

 

 

A(t)=

[Ac∆(t)]2 + [As∆(t)]2 .

 

(10.19)

В закон изменения фазового угла входит линейно нарастающая ошибка

 

sin[∆ω t +ϕ(t )]

 

 

Ψ (t )= arctg

 

=ϕ(t )+ ∆ωt .

 

(10.20)

cos[∆ω t +ϕ(t )]

 

Извлечение информации становится невозможным.

224

10.3 Применение преобразования Гильберта для определения огибающей и фазового угла узкополосного сигнала

Чтобы исключить зависимость определения огибающей A(t) и фазового угла Ψ(t) от центральной частоты ωo , запишем модель сигнала в более

общем по сравнению с (10.1) виде

 

s(t)= A(t)cos Ψ(t).

(10.21)

Поставим задачу однозначного определения параметров A(t)

и обоб-

щенного фазового угла Ψ(t). Полагая, что выражение (10.17) аналитически

описывает проекцию вектора A(t) на ось абсцисс, составим дополнительное

уравнение как проекцию вектора A(t) на ось ординат (рисунок 10.3 б).

 

υ(t)= A(t)sin Ψ(t).

(10.22)

Получившееся колебание υ(t) называют сопряженным сигналом в отличие от физического сигнала s(t).

Y

 

Y

 

Ao

 

A(t)

 

υo (t)

 

υ(t)

 

ωot +ϕo

 

Ψ(t)

 

so (t)

X

s(t)

X

а)

 

б)

 

Рисунок 10.3 − Представление узкополосного сигнала в виде двух проекций в декартовой системе координат: а) несущее колебание; б) модулированное колебание

Решение системы уравнений (10.21) и (10.22) относительно A(t) и Ψ(t)

дает:

A(t)= s2 (t)+υ2 (t);

(10.23)

Ψ(t)= arctg

υ(t)

.

(10.24)

 

 

s(t)

 

Дифференцирование Ψ(t) по времени позволяет определить закон из-

менения мгновенной частоты

ω(t)=υ′(t)s((t))− s′(t()υ)(t). (10.25)

s2 t +υ2 t

Однако, ни аналитическим, ни аппаратурным путем не удается произвольному физическому сигналу (10.21) поставить в соответствие сопряжен-

s(t)= AΣ(t)cos ΨΣ(t).

225

ный сигнал (10.22). Такую задачу можно решить либо для одного гармонического колебания, либо для суммы гармонических колебаний, иными словами, для сигналов с ограниченным спектром.

Пусть узкополосный сигнал представляет собой сумму гармонических колебаний общего вида.

N

N

 

s(t )= ∑Ai cos Ψi (t)= ∑Ai cos(ωit +ϕi ).

(10.26)

i=1

i=1

 

Произведя сложение векторов, представим сигнал (10.26) в форме квазигармонического колебания с параметрами AΣ(t) и ΨΣ(t)(рисунок 10.4).

(10.27)

Для определения результирующих параметров AΣ(t) и ΨΣ(t) введем сопряженный сигнал υ(t) как проекцию суммы слагаемых на ось ординат.

N

 

υ(t)= ∑Ai sin Ψi (t)= AΣ(t) sin ΨΣ(t ).

(10.28)

i=1

Решая систему из двух уравнений (10.27) и (10.28) относительно результирующих параметров AΣ(t) и ΨΣ(t), найдем:

A (t)=

 

N

cos Ψ

2

 

N

sin Ψ

2

;

(10.29)

 

A

(t)

+

A

(t)

Σ

∑ i

i

 

∑ i

i

 

 

 

 

i=1

 

 

i=1

 

 

 

 

 

N

 

Ψ (t)= arctg

∑Ai sin Ψi (t)

 

i=1

 

.

 

Σ

N

 

 

∑Ai cos Ψi (t)

 

i=1

Сравним между собой физический s(t) и сопряженный

(10.30)

υ(t) сигнал (в

рамках гармонической модели):

[e j(ωot +ϕo ) + e− j(ωot +ϕo )];

 

so (t)= Ao cos(ωot +ϕo )=

Ao

 

2

 

(10.31)

 

 

 

[− j e j(ωot +ϕo ) + j e− j(ωot +ϕo )].

υo (t)= Ao sin(ωot +ϕo )=

 

Ao

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Вчастном случае для гармонического колебания сопряженный сигнал

υo (t) отличается от физического сигнала so (t) только сдвигом фазы на (−π 2)

вточке ω =ωo и, соответственно, на (+π 2)в точке ω = −ωo .

 

 

226

 

 

 

 

 

Y

 

 

Ψ4 (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

A5

υ5

(t)

υ3(t)

 

A3

 

 

υ4 (t)

A1

Ψ3(t)

A4

 

 

 

 

υ(t)

 

 

AΣ(t)

 

 

υ2 (t)

A2

Ψ2 (t)

 

 

 

 

 

 

ΨΣ(t)

 

 

υ1(t)

 

Ψ1(t)

 

 

 

 

 

 

s1(t )

s2 (t)

s4 (t)

s5 (t)

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s3(t)

 

 

 

 

 

 

 

s(t)

 

 

 

 

 

Рисунок 10.4 − Графическое представление суммы гармонических

 

колебаний в виде проекции в декартовой системе координат

 

 

Вболее общем случае естественно определить сопряженный сигнал

υ(t) как результат поворота фаз всех гармонических составляющих с положи-

тельными частотами на (−π

2

), а с отрицательными – на (+π

2

).

 

 

 

 

Частотно – зависимая цепь, выполняющая поворот фаз, называется

фильтром Гильберта (или преобразователем Гильберта).

 

 

Сопряженный сигнал υ(t) можно представить как результат прохожде-

ния физического сигнала s(t)

через фильтр Гильберта.

 

 

Комплексный коэффициент передачи K&Г (ω) описывается выражением

вида

 

 

 

 

 

K&Г (ω)= − j sign(ω)= − j,

ω ≥ 0

 

(10.32)

 

 

j,

ω ≤ 0

 

 

Спектральные плотности физического и сопряженного сигналов на вхо-

де и выходе фильтра Гильберта (рисунок 10.5 а) связаны между собой следующим образом

V&(ω)= − j sign(ω) S&(ω).

(10.33)

Зная спектральную плотность сопряженного сигнала V&(ω), можно из (10.33)

найти спектральную плотность физического сигнала S&(ω)

 

S&(ω)= j sign(ω) V&(ω).

(10.34)

227

На рисунке 10.5 изображены фильтры Гильберта, позволяющие преобразовать физический сигнал в сопряженный (а) и наоборот (б).

s(t)

 

υ(t)

 

υ(t)

 

 

 

 

s(t)

K&Г (ω)

K&Г (ω)

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

б)

 

Рисунок 10.5 − Два фильтра Гильберта: а) прямой; б) обратный

Спектральные плотности физического и сопряженного сигналов содержат действительную и мнимую части, т.е.

S&(ω)= Re S&(ω)+ j Im S&(ω)

(10.35)

V&(ω)= ReV&(ω)+ j ImV&(ω)

На рисунке 10.6 изображены действительные и мнимые части спектральных плотностей физического s(t) (а) и сопряженного υ(t) (б) сигналов

(сигналов, сопряженных по Гильберту).

 

 

ReV&(ω)= sign(ω) Im[S&(ω)]

 

(10.36)

ImV&(ω)= −sign(ω) Re[S&(ω)]

 

 

Re[S&(ω)]

 

Im[S&(ω)]

а)

 

 

 

0

ω

0

ω

 

Re[υ(ω)]

 

Im[υ(ω)]

 

&

 

&

б)

 

 

 

0

ω

0

ω

Рисунок 10.6 – Графическое представление действительной и мнимой частей спектральных плотностей: а) физического сигнала; б) сопряженного сигнала

Перейдем от частотного анализа к временному. Найдем импульсную характеристику фильтра Гильберта

228

g Г (t )=Ф−[K&Г (ω)]= − j

1

∞sign(ω)e jω t dω =

1

(10.37)

2π

π t

 

∫

 

 

 

−∞

 

 

(при выполнении интегрирования использовались приемы, рассмотренные в примере 3.4, или см. таблицу 3.4, строку 4).

Сопряженный сигнал υ(t) на выходе фильтра Гильберта определится как свертка физического сигнала s(t) с импульсной характеристикой фильтра Гильберта

 

1

 

1

∞ s(τ)

 

 

υ(t)= s(t )

 

 

=

 

 

 

 

dτ .

(10.38)

 

π

∫t −τ

 

π t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

Выражение (10.38) называется прямым преобразованием Гильберта. Зная сопряженный сигнал υ(t), нетрудно определить физический сигнал s(t) с помощью обратного преобразование Гильберта

 

 

1

 

1

∞υ(τ)

 

 

s(t )=υ(t )

−

 

 

= −

 

∫t −τ

dτ .

(10.39)

 

π

 

 

π t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

Применение преобразований Гильберта позволяет однозначно определить огибающую, мгновенную частоту и полную фазу сигнала s(t) по Гильберту (рисунок 10.7)

A

Г

(t )= s2

(t)+υ2 (t),

ω

Г

(t)=

d

 

Ψ (t),

Ψ

Г

(t )= arctg

υ(t )

(10.40)

dt

 

s(t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 (t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K Г (

)

 

 

υ(t) s(t )

 

arctg

 

d dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ2 (t )

 

 

 

 

 

 

 

υ(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΨГ (t)

ωГ (t)

 

AГ (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 10.7 – Структурная схема, реализующая алгоритм выделения огибающей, частоты и фазы узкополосного сигнала по Гильберту

229

10.4 Аналитический сигнал и его свойства

Обобщением символического метода является представление любого сложного сигнала s(t) с изменяющимися амплитудой и фазой комплексной функцией Z&(t ).

Комплексная функция Z&(t), у которой реальная и мнимая части связаны между собой парой преобразований Гильберта, называется аналитическим сигналом.

Z&(t)= s(t)+ jυ(t),

(10.41)

где Re[Z&(t )]= s(t ), а Im[Z&(t )]=υ(t ).

Модуль и аргумент аналитического сигнала определяют огибающую и

полную фазу по Гильберту.

 

 

 

 

 

 

 

Z&(t )

 

= s2 (t )+υ2 (t)= A

Г

(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.42)

arg Z&(t)= arctg υ(t)

 

 

 

= Ψ

 

(t )

 

Г

 

 

 

 

 

s(t)

 

 

 

 

 

Спектральная плотность аналитического сигнала равна

 

Ф+[Z&(t)]= Z&(ω)= S&(ω)+ j[− j sign(ω)] S&(ω).

 

Z&(ω)= S&(ω)[1+ sign(ω)]= 2S&(ω), ω ≥ 0 .

(10.43)

 

 

 

 

0,

 

 

 

ω < 0

 

Чтобы понять, чем огибающая по Гильберту AГ (t) отличается от физи-

ческой огибающей A(t), сравним частотные

характеристики

физического

сигнала s(t) и аналитического сигнала Z&(t)= s(t)+ jυ(t) (рисунок 10.8).

Анализируя частотные модели, изображенные на рисунке 10.8, можно сказать, что огибающая по Гильберту только в том случае совпадает с физической огибающей, если комплексная огибающая физического сигнала будет обладать ограниченным спектром (на рисунке 10.8 изображен пунктиром). Наивысшая частота в спектре огибающей не превышает ωmax , а частота не-

сущего колебания ωo больше, чем ωmax .

Выражение (10.12) для спектральной плотности радиосигнала целесо-

образно представить в виде:

 

 

 

1

A&(ω −ωo )

,

ω > 0

S&(ω)=

2

 

 

(10.44)

 

1

A&*(ω +ωo )

,

ω < 0

2

 

 

 

 

Спектральная плотность сигнала, сопряженного по Гильберту с учетом (10.33), запишется аналогично

 

 

 

 

 

 

230

 

 

 

 

 

1

A&(ω −ωo ) ,

ω > 0

 

− j

2

υ(ω)=

 

 

 

 

 

&

 

1

 

 

*

(ω +ωo ) ,

 

 

 

&

 

 

j

2

 

A

ω < 0

 

 

 

 

 

 

 

A&(ω)

а)

−ωmax 0

ωmax

б)

S&(ω)

 

−ωo

0

Z&(ω)

в)

0

A&Г (ω)

г)

(10.45)

ω

ωo ω

ωo ω

−ωo

0

ω

Рисунок 10.8 – Спектральные плотности: а) комплексной огибающей A(t); б) физического сигнала s(t); в) аналитического сигнала Z&(t) ;

г) комплексной огибающей по Гильберту AГ (t)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности