eltsov-prakt
.pdf4.3. Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода |
131 |
Поэтому параметрическое уравнение данной части конуса можно
записать |
|
|
в |
|
|
виде |
|
x cos sin |
3 |
|
|
cos |
|
, |
y sin sin |
3 |
|
|
sin |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
z cos |
3 |
|
|
|
|
|
или, что то же самое, в векторной форме r |
cos |
|
|
|
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
sin |
|
j |
|
|
|
|
|
k , 0 2 , 0 4 |
|
|
|
|
|
|
r |
cos |
|
|
i |
sin |
|
|
|
j |
|
|
1 |
|
k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 . |
|
Тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
r |
sin |
|
i |
cos |
|
|
j и, |
вычисляя векторное произведение этих векто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ров, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r , r |
|
|
|
cos |
|
|
sin |
|
1 |
|
|
cos |
i |
sin |
j |
|
k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
cos |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Этот вектор образует с осью OZ острый угол, так как скалярное произ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ведение |
|
|
|
r ,r ,k |
|
|
|
0, и, следовательно, |
является внешней норма- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лью нужной нам половины конуса (внешняя нормаль к половине конуса, лежащей в полупространстве z 0, образуетс осью
OZ тупой угол, а внешняя нормаль к половине конуса, лежащей в полупространстве z 0, образует с осью OZ острый угол). Подставляя выражения x, y, z в функцию f и вычисляя скалярное
произведение f, r , r , получаем f, r ,r
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0,5sin2 2cos2 1 2cos 2sin2 |
. Поэтому поток вектора через |
|||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
поверхность равен |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
f, |
|
|
|
|
|
d 0,5 sin 2 2 cos 2 1 2 cos 2sin d |
64 |
. |
||||||||
|
dS |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 2 |
||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
3 |
|
4.28. Вычислить поток вектора f x,y, z yz, x y, x z T через боко-
вую поверхность цилиндра x2 z2 9, 0 y 4 в сторону внешней нормали. Одно из параметрических уравнений данного цилиндра можно записать в виде x 3sin , y y, z 3cos или, что то же самое, в векторной форме r(y, ) (3sin , y, 3cos )T, где — угол между проекцией радиусвектора точки на плоскость XOZ и осью OZ, меняющийся в пределах
132 |
4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля |
0 2 , 0 y 4 . Тогда |
r |
(3 cos ,0, 3 sin )T, |
r (0,1,0)T |
[3,4] и, вы- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
числяя векторное произведение этих векторов, имеем |
|
|
|
||||||||||||||
|
y |
|
i |
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 cos |
0 |
3 sin |
|
|
|
k . |
||||||||||
r |
, r |
|
3 sin |
|
i 0j 3 cos |
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот вектор является внешней нормалью цилиндра, так как скаляр- |
|||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
, i |
|
3 sin |
при |
0 больше нуля и поэтому |
||||||||
ное произведение r |
ry |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
составляет, как и внешняя нормаль цилиндра, ос- |
|||||||||||||
|
|
|
|
трый угол с осью OX, а при 2 меньшенуля |
|||||||||||||
|
|
|
|
и поэтому составляет, как и внешняя нормаль |
|||||||||||||
|
|
|
|
цилиндра, тупой угол с осью OX. Подставляя |
|||||||||||||
|
|
|
|
выражения x, y, z в функцию f и вычисляя |
|||||||||||||
|
|
|
|
скалярное произведение |
f, r ,ry , получаем |
f, r ,ry 9 0,5 y 1 sin2 0,5 0,5cos2 . Поэтому поток вектора че-
рез поверхность равен
42
f, dS dy 0,5(y 1)sin 2 0,5 0,5 cos 2 36 .
S |
0 |
0 |
|
Задачи для самостоятельного решения |
||
4.29. Вычислить 3y2dx 4xdy : |
|||
|
|
||
а) |
вдоль кривой y2 x от точки A(0,0) до точки B(4,2); |
||
б) |
вдоль кривой x cos 3t, y sin 3t, 0 t |
|
в сторону увеличения |
|
|||
|
2 |
|
|
параметра; |
|||
в) |
вдольотрезкапрямой, соединяющего точки A(1,1), B(3, 2) внаправ- |
||
лении от точки A к точке B. |
|||
4.30. Найти работу по перемещению материальной точки под действи- |
|||
ем силы f(x,y,z) (2x 3y)i (x 2y)j zk : |
|||
а) |
вдоль кривой x 3cos t, y 5sin t, z t2, 0 t в сторону увеличе- |
ния параметра;
б) вдоль отрезка прямой, соединяющего точки A(2,1, 1), B(3,4,2) в направлении от точки A к точке B.
4.31. Вычислить (2x y)dx (x 3y)dy (x z)dz вдоль эллипса, об-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
z2 |
|||
разованного пересечением эллипсоида |
|
|
|
|
|
|
1 с плоскостью |
|
9 |
16 |
25 |
||||||
|
|
|
|
4.4. Элементы теории поля |
133 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|||||
x y 0 |
в порядке следования точек |
|
|
, |
|
|
,0 |
, |
0,0,5 |
, |
|
|
|
, |
|
|
,0 , |
||||||||||
5 |
5 |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0,0, 5 |
|
, |
12 |
, |
12 |
,0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.32. Вычислить (3x y) dx (x 2z) dy (2x 3y) dz вдоль эллип- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
са, образованного пересечением эллипсоида |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 с плоскостью |
|||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y d, 0 d 3, двигаясь против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (0,3,0).
4.33. Вычислить поток вектора f(x,y,z) (3x 4y, 2y z, x z)T через
часть поверхности 3x 2y 4z 18, заключенную между координатными
плоскостями в сторону нормали (3, 2,4).
4.34. Вычислить поток вектора f(x, y, z) x2 2y, 2xy z, y z T через внешнюю сторону пирамиды, образованной координатными плоскос-
тями и плоскостью 2x 3y z 6 .
4.35. Вычислить поток вектора f(x,y,z) (x 5y, x 3y, 3z)T:
а) |
через половину сферы x |
R2 y2 z2 в сторону внешней нор- |
||
мали; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
через половину сферы x R2 |
y2 z2 в сторону внешней нормали; |
||
в) |
через поверхность тора x (3 2cos )cos , y (3 2 cos ) sin , |
z 2sin , 0 , 0 2 в сторону внешней нормали.
4.36. Вычислить поток вектора f(x,y,z) (xy,x y, y z)T через боко-
вую поверхность конуса z x2 y2 , z 4 в сторону внешней нормали.
4.37. Вычислить поток вектора f(x,y,z) (x y, xy, z)T через боковую поверхность цилиндра x2 y2 4, 0 z 3 в сторону внешней нормали.
4.4. Элементы теории поля
Предварительно рекомендуется прочитать подразд. 4.5 из [5]. Говорят, что в области G R3 (D R2) задано векторное поле, если за-
дана вектор-функция f : G R3 R3 (f : D R2 R2), то есть функция вида
|
P(x,y,z) |
|
|
f(x,y, z) |
|
|
P(x,y, z)i Q(x,y, z)j R(x,y, z)k , |
Q(x,y, z) |
|
||
|
|
|
|
|
R(x,y, z) |
|
|
P(x,y) |
|
|
f(x,y) |
|
P(x,y)i Q(x,y)j |
|
|
Q(x,y) |
|
134
с областью определения G R3 (D R2). Аналогично говорят, что в области G R3 (D R2) задано скалярное поле, если задана скалярно-
значная функция f : G R3 R (f : D R2 R) с областью определения
G R3 (D R2).
Если областью определения векторного поля является множество точек на плоскости, то поле называют плоским. Векторное поле можно интерпретировать как множество точек, к каждой из которых присоединен вектор.
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
||
Вектор grad U |
U |
T |
|
U |
, |
, |
U T |
называется градиентом |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
z |
|||||||
|
|
|
x |
y |
|
скалярной функции (скалярного поля).
|
U |
U |
U |
U |
|
|
|||||
Скаляр |
|
|
|
|
|
cos |
|
cos |
|
cos |
называется произ- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
|
x |
y |
z |
|
|
водной по направлению вектора a от скалярной функции векторного аргумента.
Более подробно о градиенте и производной по направлению можно прочитать в [3,4].
Векторное поле (вектор-функцию) назовем потенциальным, если
существует скалярная функция (скалярное поле) U(x,y,z) такая, что gradU U T f x,y, z P,Q, R T . Функцию U назовем при этом по-
тенциалом поля f.
Заметим, что если U — потенциал поля f, то U C тоже потенциал
этого поля. |
|
В [5] показано, что векторное поле |
f(x,y,z) P(x,y, z)i Q(x,y,z)j |
|
|
R(x,y,z)k P(x,y, z),Q(x,y, z), R(x,y, z) |
T является потенциальным в |
|
области R3 тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух ус-
ловий:
1) криволинейный интеграл второго рода по любому замкнутому кон-
туру L, полностью лежащему в , равен нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
f, dl |
||||||||
|
0 для L |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
или, что то же самое, циркуляция поля по любому замкнутому пути, полностью лежащему в , равна нулю;
2) если A1, A2 — любые две точки из |
и L1, L2 — две произволь- |
||||
ные кривые, их соединяющие, то f, |
|
|
f, |
|
, то есть криволиней- |
dl |
dl |
||||
L1 |
L2 |
ный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования. Если поле потенциально и U(x,y,z) — его потенциал, то
f, dl U A2 U A1 .
L
4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля |
135 |
Это дает возможность восстановить потенциал, если известно, что поле потенциально.
Вектор
i j
rot f(x,y, z)
x y
P Q
k
z
R
R |
|
Q |
|
P |
|
R |
Q |
|
P |
|||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k |
||
y |
|
z |
|
x |
|
|||||||||
|
|
z |
|
|
x |
|
|
y |
называется ротором (вихрем) вектор-функции f(x,y,z).
Если поле f(x,y, z) P(x,y,z),Q(x,y, z), R(x,y, z) T потенциально и су- |
||
|
|
|
ществует непрерывная производная f x,y, z |
[3,4], то rot f 0. |
|
Если область является односвязной и rot f 0, то поле потенциально. |
||
P(x,y) |
|
|
Для плоского поля f(x,y) |
P(x,y)i Q(x,y)j условие rot f 0 |
|
Q(x,y) |
|
эквивалентно условию Q P . Поэтомуверны следующие утверждения:
x y
1) если плоское поле потенциально, то Q P ;
x y
2) если Q P и область односвязная, то плоское поле f потенци-
x y
ально; 3) если область односвязная, то любой криволинейный интеграл
Pdx Qdy по произвольному контуру L не зависит от пути интегриро-
L
вания тогда и только тогда, когда |
Q |
|
P |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
||
4) если область односвязная, то поле плоское потенциально тогда и |
|||||||||||||||||||||
только тогда, когда |
Q |
|
P |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.38. Для функции u e2x y 3z найти: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) |
координаты вектора grad u в точке M0(1,4, 2); |
||||||||||||||||||||
б) |
|
u |
в точке M в направлении вектора |
|
( 2, 2, 1)T . |
||||||||||||||||
|
a |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычисляя частные производные, имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
e2x y 3z 2 , |
u |
e2x y 3z 1 , |
u |
e2x y 3z 3 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||
Поэтому grad u(x,y, z) 2e2x y 3z, |
e2x y 3z, 3e2x y 3z T . |
136 |
4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
grad u(1, 4, 2) 2e 8, e 8, 3e 8 T . Далее, длина вектора |
|
|
рав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
2 |
, |
1 |
T . |
|
|
|
|
||||||||
на |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
2 |
2 |
1 2 3 . |
|
Следовательно, |
a |
|
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(1,4, |
2) |
grad u(1, 4, 2), |
|
|
|
|
e 8 |
|
e |
8 e 8 e 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4.39. Доказать, что поле f(x,y) 2xy |
|
|
2xy2 |
1 i 2x2yj |
потен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
циально и восстановить его потенциал. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
P |
4xy, |
|
Q |
4xy , то |
|
Q |
|
P |
и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полепотенциальново всей плоскости. Следователь- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но, криволинейный интеграл |
|
Pdx Qdy по лю- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
бому пути, соединяющему две точки, не зависит отпути интегрирования. В качественачальнойточ- ки интегрирования A0 выберем начало координат (0,0). Конечную точку
возьмем произвольную с координатами (x,y). Наиболее простыми путями интегрирования являются две возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому для пути, изоб-
A
раженного на рисунке (с учетом того, что (x0,y0) (0,0)), U(x,y) f,dl
A0
x |
y |
x |
y |
P(x,0) dx Q(x,y) dy (2x 0 1) dx 2x2y dy x x2y2 .
0 |
0 |
0 |
0 |
Таким образом, U(x,y) x x2y2. Заметим, что функция x x2y2 C также является потенциалом исходного поля.
4.40.Доказать, что поле f x,y,z 2xyz, x2z, x2y 2z T 2xyzi x2zj
x2y 2z k P, Q, R T потенциально и восстановить его потенциал.
Найдем
Q x2, Pz z
|
R |
|
Q |
||||
rot f |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
|
y |
|
z |
||||
2xy , |
|
R |
2xy, |
||||
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
P |
|
R |
Q |
|
P |
R |
2 |
|
|||
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k . Так как |
|
x |
, |
|
|
z |
|
x |
|
x |
|
y |
y |
|
|
Q 2xz, P 2xz, то rot f 0 и поле потен-
x y
циально во всем пространстве. Следовательно, криволинейный интеграл
4.4. Элементы теории поля |
|
137 |
|
A |
z |
|
(x,y,z) |
|
|||
Pdx Qdy Rdz по любому пути, соединяю- |
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
(x0,y0,z0) |
|
|
щему две точки, не зависит от пути интегриро- |
|
|
|
|
|
|
|
вания. В качестве начальной точки интегриро- |
(x,y0,z0) |
|
y |
вания A0 выберем начало координат (0,0,0). |
|
|
(x,y,z0) |
Конечную точку возьмем произвольную с |
x |
|
|
|
|
||
координатами (x,y,z). Наиболее простыми пу- |
|
|
|
тями интегрирования являются возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому для пути, изоб-
раженного на рисунке (с учетом того, что (x0,y0,z0) (0,0,0)), U(x,y, z)
A |
|
|
x |
y |
z |
x |
|
f, |
|
|
P(x,0,0) dx Q(x,y,0) dy |
R(x,y, z) dz (2x 0 0) dx |
|
dl |
||||||
A0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y z
x2z 0 dy x2y 2z dz x2yz z2 .
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, U(x,y,z) x2yz z2. Заметим, что любой другой потен- |
||||||
циал исходного поля равен x2yz z2 C. |
|
|
|
|
|
||
|
Назовем величину div F(x,y, z) |
P(x,y,z) |
|
Q(x,y, z) |
|
R(x,y, z) |
ди- |
|
x |
y |
|
||||
|
|
|
|
z |
вергенцией векторного поля F или функцией источника. Для векторных полей имеют место следующие теоремы.
Теорема (Стокса). Пусть L — замкнутый кусочно-гладкий контур в R3, S — любая кусочно-гладкая поверхность, натянутая на L. Согласуем ориентации L и S так, чтобы если смотреть из конца вектора нормали к S, определяющего сторону, то обход L совершался бы против часовой стрелки. Тогда если f — дифференцируемая функция, то циркуляция вектора f по контуру L равна потоку вектора rot f через поверхность S, натянутую на этот контур, то есть
f, dl P(x,y, z)dx Q(x,y, z)dy R(x,y,z)dz rot f, dS .
L L S
Эта формула называется формулой Стокса.
В случае плоской области теорема Стокса формулируется следующим образом.
Теорема (Грина). Пусть D — плоская область с кусочно-гладкой границей D, и D ориентирована так, что обход по ней в положительномнаправлении совершается против часовой стрелки. Тогда, если f(x,y) — дифференцируемая функция, то
|
|
|
|
|
|
Q |
|
P |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f,dl |
Pdx Qdy rot f,dxdy |
|
|
|
dxdy. |
||||
x |
|
|||||||||
D |
|
|
D |
D |
|
D |
|
y |
Эта формула называется формулой Грина.
138 |
4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля |
Теорема. Пусть G — область в R3 и G — кусочно-гладкая граница G, ориентированная в сторону внешней нормали. Тогда если f(x,y,z) — дифференцируемая функция, то поток вектора через границу области G равен интегралу по области G от div f, то есть
|
f, |
|
div f(x,y, z) dxdydz . |
dS |
|||
G |
|
|
G |
Эта формула называется формулой Гаусса-Остроградского. Перечисленные теоремы позволяют упростить вычисление криво-
линейных и поверхностных интегралов в случае замкнутых кривых и поверхностей.
4.41. Вычислить циркуляцию поля f x,y x y2, xy T x y2 i
xyj вдоль замкнутой кривой, пробегаемой против часовой стрелки
исостоящей из отрезка оси OX и дуги y 4x x2 .
Циркуляция поля равна криволинейному интегралу второго рода
по замкнутому контуру. Так как кривая плоская и замкнутая, то для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой Грина
|
|
Q |
|
P |
||
|
|
|
||||
f, dl |
|
|
|
dxdy , где D — область, ограниченная исходным |
||
|
|
|||||
L |
|
D |
x |
|
y |
контуром. |
По формуле Грина имеем |
x y2 dx (xy) dy 3ydxdy . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
D |
В данном случае область D можно задать неравенствами |
x2 y2 4x, |
|||||||||||||||
x 0 . Расставляя пределы интегрирования и вычисляя, |
получаем |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
4 |
|
||
|
|
4 |
|
4x x2 |
|
4 4x x2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3ydxdy |
|
dx |
|
3ydy 3 |
|
|
dx 3x |
|
|
|
|
|
16. |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
D |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4.42. |
Вычислить циркуляцию поля |
f x,y,z xz y2 i xyj |
xy z2 k вдоль контура треугольника с вершинами в точках A(2,0,0),
B(0,1,0), C(0,0,4), пробегаемого в порядке следования точек ABCA.
Так как кривая пространственная и замкнутая, то воспользуемся формулой Стокса. В роли поверхности, натянутой на контур, удобно взять часть плоскости, в которой лежит треугольник ABC, ограниченную коор-
динатными плоскостями. Так как |
R |
x, |
Q |
0, |
P |
x , |
R |
y, |
Q |
y, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
z |
|
|
x |
|
|
|
x |
||||||||
|
P |
|
|
R |
|
|
Q |
|
P |
|
R |
Q |
|
P |
|
|
||||||||||
|
|
2y, |
то, вычисляя |
rot f |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
k , полу- |
|||||
|
y |
|
|
y |
|
|
z |
|
z |
|
x |
x |
|
y |
|
|
чаем rot f xi x y j yk , и по формуле Стокса
4.4. Элементы теории поля |
139 |
f, dl xz y2 dx (xy)dy xy z2 dz
LL
rot f, dS xdydz (x y)dxdz ( y)dxdy .
S S
Уравнение плоскости, в которой лежит треугольник ABC, имеет вид 2x 4y z 4 0, или, переписывая в явном виде, z 4 2x 4y. Плоскость однозначно проектируется на все три координатные плоскости, и поверхностный интеграл может быть вычислен проектированием на любую из них. Вычислим его проектированием на плоскость XOY.
Так как zx |
2 , |
zy 4 , то x dydz (x y) dxdz ( y) dxdy |
|
|
S |
x 2 (x y) 4 ( y) dxdy (6x 5y)dxdy, где D — проекция нашей
D D
поверхности на плоскость XOY. Так как D есть треугольник, ограниченный прямыми x 0, y 0, x 2y 2, то, расставляя пределы интег-
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 2y |
|
|
||
рирования и вычисляя, получаем |
(6x 5y)dxdy dy |
(6x 5y)dx |
||||||||||
|
|
D |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
3x2 5xy 2 2y dy 3 (2 2y)2 5 (2 2y)y dy |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
4.43. Найти циркуляцию поля f |
|
x y, xy, |
|
|
|||||||
|
x,y,z |
|
|
2x2 z |
|
|||||||
x y i xyj 2x2 z k вдоль контура, |
образованного пересечением |
части сферы x2 y2 z2 16 , лежащей в первом октанте, с координатными плоскостями. Направление обхода — в порядке следования точек ABCA,
где A(4,0,0), B(0,4,0), C(0,0,4).
Так как кривая пространственная и замкнутая, то воспользуемся формулой Стокса. В роли поверхности, натянутой на контур, удобно взять
часть сферы x2 y2 |
z2 16 , лежащую в первом октанте и ограниченную |
|||||||||||||||||||||||||
координатными плоскостями. Так как |
R |
0, |
Q |
0, |
|
P |
0, |
|
R |
4x , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
Q |
|
P |
|
R |
|
Q |
|
P |
|
R |
Q |
|
|
P |
|||||||||||
|
|
y, |
|
1, то, |
вычисляя rot f |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
k , |
||||
|
x |
|
y |
|
y |
|
z |
|
z |
|
x |
|
x |
|
|
y |
получаем rot f 4xj y 1 k, и по формуле Стокса
f,dl (x y) dx xydy 2x2 z dz
L L
rot f, dS 4xdxdz (y 1) dxdy .
S S
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся параметри-
ческим уравнением сферы (см. задачи 4.8 и 4.26) x 4cos sin ,
140 |
4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля |
y 4 sin sin , |
z 4 cos , где |
0 |
|
, |
0 |
|
или, что то же самое, |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
в векторной форме r 4cos sin i 4sin sin j 4 cos k . Тогда
r ( 4sin sin , 4 cos sin ,0)T , r (4cos cos , 4 sin cos , 4sin )T.
Поэтому r ,r 16 sin2 cos i 16 sin2 sin j 16 cos sin k .
Этот вектор направлен внутрь сферы. Поэтому в качестве вектора нормали берем вектор r ,r . Подставляя выражения x, y, z в функ-
цию rot f и вычисляя скалярное произведение rot f, r ,r , получа-
ем rot f, r ,r 32sin3 sin 2 64 sin2 cos sin 8 sin 2 . Поэтому
|
|
2 |
2 |
|
128 |
|
||
f, dS |
d |
(32 sin3 sin2 64sin2 cos sin 8 sin2 ) d 4 |
. |
|||||
|
|
|||||||
3 |
||||||||
S |
0 |
0 |
|
|
|
|
4.44. Вычислить поток вектора f(x,y,z) 2x 3z3, 4x y, 2x y z2 T
через внешнюю сторону пирамиды, образованной координатными плоско-
стями и плоскостью x y z 2 .
Так как поле дифференцируемо, а поверхность замкнута, то поток можно вычислить непосредственно (см. задачу 4.25) или воспользоваться теоремой Гаусса-Остроградского. По теореме Гаусса-Остроградского поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности может быть вычис-
лен по формуле f, dS div f(x,y, z) dxdydz, где S — внешняя сторо-
S G
на пирамиды; G — область, заключенная внутри пирамиды. Вычисляя
дивергенцию, получаем div f(x,y, z) P Q R 2 1 2z 3 2z.
x y z
Подставляя в формулу Гаусса-Остроградского, имеем
f, dS 3 2z dxdydz.
S G
Расставляя пределы интегрирования в интеграле справа, получаем
|
|
|
|
2 |
|
2 x |
|
2 x y |
|
|
|
|
2z |
dxdydz |
|
dx |
|
dy |
|
2z |
dz. |
||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
G |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Вычисляя полученный интеграл, окончательно имеем f, dS 2 .
S
4.45. Найти поток векторного поля f(x,y,z) xzi xyj yzk (xz,xy,yz)T
через внешнюю сторону поверхности, ограниченной конусом z x2 y2
и плоскостью z 3.