- •Зачем обучать математике (мнение в. Успенского). Демократичность математики.
- •Что такое логика. Примеры ошибок в логических рассуждениях. Формальная логика Аристотеля. Переход от формальной логики к математической. Что такое математическая логика?
- •Существует ли математический мир независимо от нас или создается нами? – два мнения. Математики открывают или изобретают? Сущность математики (точка зрения н. Н. Непейводы).
- •Зачем Вам изучать формальный язык? Значение математической логики для программирования.
- •Парадоксы. Что является источником парадоксов в математике. Парадокс лжеца. Парадокс Сократа и Платона. Парадокс Альберта Саксонского. Значение парадоксов для математики.
- •Парадоксы. Что является источником парадоксов в математике. Парадокс Берри. Парадокс брадобрея. Значение парадоксов для математики.
- •Парадоксы. Что является источником парадоксов в математике. Парадокс о прямом и противоположном утверждение. Парадокс о прямоугольнике с числами. Значение парадоксов для математики.
- •Задача о двух шкатулках. Логика и реальный мир.
- •Что такое высказывание? Атомарные и сложные высказывания. Соглашение об истинностных значениях высказываний. Соглашение об истинностном значении сложного высказывания.
- •Формальный язык. Предметы и универсум. Константы и переменные. Функции. Термы. Отношения и предикаты. Элементарные формулы. Сложные формулы. Интерпретация формул.
- •Примеры нестандартной оценки истинности автореферентных (самоссылочных высказываний). Пример Клини для конъюнкции. Примеры для отрицания.
- •Логические связки: эквиваленция, импликация (обоснование таблицы истинности для импликации). Какие утверждения при переводе на формальный язык используют импликацию и эквиваленцию.
- •Логические связки: квантор общности и квантор существования. Язык первого порядка.
- •Как переводить высказывания на формальный язык.
- •Равенство. Основной закон равенства. Как представить единственность и не единственность на формальном языке.
- •Пропозициональные формулы. Таблицы истинности.
- •Тавтологии, противоречия и выполнимые формулы. Примеры тавтологий.
- •Как доказывать, что данная формула является тавтологией. Два способа.
- •Равносильные формулы. Примеры равносильностей. Способы доказательств равносильностей.
- •Теорема о равносильных преобразованиях (с доказательством).
- •Интуитивная теория множеств. Принцип абстракции и принцип объемности. Как доказывать равенство множеств?
- •Отношение включения. Пустое множество. Множество–степень. Парадокс Бертрана Рассела и его значение.
- •Операции над множествами: объединение, пересечение, относительное дополнение, симметрическая разность, абсолютное дополнение. Значение диаграмм Эйлера.
- •Основные булевы тождества для операций над множествами. Как их доказывать.
- •Упорядоченные пары и n-ки. Прямое произведение множеств. Отношения. Область определения и область значений отношения. Обратное отношение.
- •Композиция отношений. Определения рефлексивности, симметричности, транзитивности и антисимметричности. Примеры отношений.
- •Отношение эквивалентности. Примеры. Классы эквивалентности. Свойства классов эквивалентностей.
- •Разбиения множеств. Связь разбиения множества и отношения эквивалентности. Фактор–множество.
- •Частичный порядок. Линейный порядок. Примеры.
- •Определение функции. N-местные функции. Инъективность, сюръективностьь и биективность. Примеры.
- •Обратное отображение. Теорема о существовании обратного отображения (доказательство). Примеры.
- •Определение формальной теории. Выводимость. Доказуемые формулы.
- •Примеры формальных теорий. Теоремы и метатеоремы.
- •Математическая индукция. Индуктивные определения. Принцип индукции по построению объекта. Пример доказательства с математической индукцией.
- •Неформальное определение доказательства. Использование доказательства в математике. Виды доказательств.
- •Доказательство контрпримером. Доказательство от противного. Пример доказательства.
- •Понятие алгоритма и неформальная вычислимость.
- •Определение частично–рекурсивных функций. Базисные функции.
- •Операции суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.
- •Примитивно–рекурсивные и частично–рекурсивные функции. Функция Аккермана.
- •Машины Тьюринга.
- •Альтернативные способы формализации понятия алгоритма и вычислимых функций. Основной результат. Тезис Чёрча.
- •Некоторые алгоритмически неразрешимые проблемы.
- •Сравнение скорости роста функций (o – большое). Сводка результатов о сравнении функций.
- •Асимптотическая временная сложность алгоритмов.
- •Что больше влияет на максимальный размер задачи, которую мы можем решить: скорость вычисления или сложность алгоритма?
- •Сложность задач.
- •Классификация задач по их сложности. Задачи полиномиальной сложности и задачи экспоненциальной сложности.
- •Задачи, не попадающие ни в класс e, ни в класс p.
-
Неформальное определение доказательства. Использование доказательства в математике. Виды доказательств.
Доказательство
Центральным понятием, введенным математикой, явилось доказательство. Само его появление коренным образом видоизменило стиль мышления значительной части людей и положило начало тому, что сейчас называют рациональным
научным мышлением. Будем придерживаться содержательного определения доказательства, данного русским математиком Н. Н. Непейводой:
Доказательство – конструкция, синтаксическая правильность которой гарантирует семантическую.
Выделим два вида использования доказательства.
• Сведение новой задачи к уже решенным задачам.
• Выявление условий, при которых можно пользоваться данным утверждением.
Решить задачу – значит свести ее к уже решенным
• Чистые математики занимаются тем, что решают задачи. Никакое математическое доказательство не ведется с самого
начала (за исключением нескольких примитивных теорем в учебниках логики и алгебры). Оно заканчивается ссылками на уже известные теоремы, которые когда-то были математическими задачами.
• Эта привычка сводить новые задачи к уже решенным послужила даже основанием для шутки, которая на самом деле
достаточно точно отражает суть математического метода:
Математику задали вопрос:
– Как приготовить чай?
– Элементарно. Берем чайник, наливаем в него воду, зажигаем газ,
ставим чайник на огонь, ждем пока закипит, выключаем газ,
кладем заварку в соответствующий сосуд, заливаем ее
кипятком, ждем еще пять минут, и чай готов.
– А если у нас уже есть чайник с кипятком?
– Выливаем из него кипяток и сводим задачу к предыдущей.
• Именно так и действует хороший математик, решая задачу.
• Даже работая в рамках какой-нибудь формальной теории, математик пытается неформально подходить к доказательству, облегчая себе жизнь. Для этого уже доказанные теоремы используются наравне с аксиомами, кроме того, используются новые правила вывода, обоснованность применения которых следует из существующих правил вывода и аксиом.
• Например, справедливо цепное правило вывода, которое позволяет вывести новую импликацию из двух данных
импликаций. Можно записать его следующим образом:
A ⊃ B, B ⊃ C |– A ⊃ C.
• Во всей своей полноте понятие доказательства несомненно обладает и психологическими признаками. Надо обладать
красноречием и умением убеждать, чтобы слушатели (или читатели) приняли ваше доказательство. С неформальной
точки зрения, доказательство – это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы
убеждать других.
Классические методы доказательства
• Использование теоремы о дедукции.
• Доказательство импликаций с помощью контропозиции.
• Доказательство с помощью противоречия (от противного).
• Доказательство контрпримером.
• Метод математической индукции.
-
Доказательство контрпримером. Доказательство от противного. Пример доказательства.
Доказательство от противного
• Частным случаем косвенных методов доказательства является приведение к противоречию (от противного). Метод
доказательства основывается на следующем утверждении.
Если Γ, ¬S |− F, где F − любое противоречие (тождественно ложная формула), то Γ |-− S.
В этом методе используются следующие равносильности:
• A⊃B ≡ ¬ (A⊃B) ⊃ (C&¬C) ≡ (A&¬B) ⊃ (C&¬C),
• A⊃B ≡ (A&¬B) ⊃¬A,
• A⊃B ≡ (A&¬B) ⊃B.
• Например, возьмем равносильность A⊃B ≡ (A&¬B) ⊃¬A
• Для доказательства A⊃B, мы допускаем одновременно A и ¬B, т.е. предполагаем, что заключение ложно: ¬ (A⊃B) ≡ ¬ (¬A∨B) ≡ A & ¬B.
• Теперь мы можем двигаться и вперед от A, и назад от ¬B. Если B выводимо из A, то, допустив A, мы доказали бы B. Поэтому, допустив ¬B, мы получим противоречие. Если же мы выведем ¬A из ¬B, то тем самым получим противоречие с A.
• В общем случае мы можем действовать с обоих концов, выводя некоторое предложение C, двигаясь вперед, и его отрицание ¬C, двигаясь назад. В случае удачи это доказывает, что наши посылки несовместимы или противоречивы (равносильность A⊃B ≡ (A&¬B) ⊃ (C&¬C) ). Отсюда мы выводим, что дополнительная посылка A&¬B должна быть ложна, а значит, противоположное ей утверждение A⊃B истинно. Метод доказательство от противного – один из самых лучших инструментов математика. «Это гораздо более “хитроумный” гамбит, чем любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешку или даже фигуру, но математик жертвует партию» (Г. Харди).
Пример 1. Докажем, что диагональ единичного квадрата является иррациональным числом.
Доказательство. Используя теорему Пифагора, переформулируем утверждение: «Не существуют два таких целых числа p и q, чтобы выполнялось отношение
q
2 = p
В самом деле, тогда мы приходим к равенству p2 = 2q2. Мы можем считать, что дробь p/q несократима, иначе мы с самого начала
сократили бы ее на наибольший общий делитель чисел p и q. С правой стороны имеется 2 в качестве множителя, и потому p2 есть четное число, и, значит, само p – также четное, так как квадрат нечетного числа есть нечетное число. В таком случае можно положить p = 2r. Тогда равенство принимает вид: 4r2 = 2q2, или 2r2 = q2. Так как с левой стороны теперь имеется 2 в качестве множителя, значит
q2, а следовательно, и q – четное. Итак, и p, и q – четные числа, т.е. делятся на 2, а это противоречит допущению, что дробь p/q
несократима. Итак, равенство p2 = 2q2 невозможно, и корень 2 не может быть рациональным числом.
Пример 2. Доказать, что простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Предположим, что существует конечное множество простых чисел и p есть наибольшее из них: 2, 3, 5, 7, 11, …, p.
Определим число N=p!+1. Число N при делении на любое из чисел 2, 3, 5, 7, 11, …, p дает в остатке 1. Каждое число, которое не является простым, делится, по крайней мере, на одно простое число. Число N не делится ни на одно простое число, следовательно, N само простое число, причем N>p. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое доказывает, что простых чисел бесконечно много.
Теорема. Единица – наибольшее натуральное число.
Доказательство. Пусть k > 1 – наибольшее натуральное число; тогда k ⋅ k = k2 > k ⋅ 1 = k.
Последнее неравенство показывает, что k не является наибольшим натуральным числом. Следовательно, никакое целое число k > 1 не может быть наибольшим натуральным числом.
Остается принять, что наибольшим натуральным числом является 1, так как только в этом случае мы
не приходим к противоречию.
Доказательство контрпримером
Многие математические гипотезы имеют в своей основе форму: «Все объекты со свойством A обладают свойством B». Мы можем записать это в виде формулы ∀x (A(x)⊃B(x)), где A(x) обозначает предикат «x обладает свойством A», B(x) –
«x обладает свойством B». Если число возможных значений х является конечным, то в принципе доказательство может быть проведено с помощью разбора случаев, то есть непосредственной проверкой выполнимости гипотезы для каждого объекта. В случае если число объектов не является конечным, то такой возможности не существует даже в принципе.
Однако для доказательства ложности гипотезы достаточно привести хотя бы один пример (называемый в этом случае
контрпример), для которого гипотеза не выполнима. Наличие контрпримера доказывает отрицание формулы ∀x (A(x)⊃B(x)).