§ 20. Наивная арифметика: умножение

137

в § 20 и 21, мы займемся битовой сложностью наивного умножения и деления.

Еще одно замечание в заключение этого параграфа. Битовый ана­лиз может учесть мельчайшие затраты, связанные с выполнением ал­горитма. Вопрос в том, нужен ли настолько детализированный под­ход, коль скоро компьютеры выполняют операции над основными структурами данных на уровне слов, длина же слова—это, как пра­вило, 64 бита. В связи с этим иногда вместо битовой рассматривается так называемая словесная сложность¹. Но принципиальной разницы между битовой и словесной сложностью нет. Можно сказать так, что битовая сложность предполагает использование системы счисления с основанием 2, а словесная — с основанием 64. Анализ словесной сложности не является, в сравнении с анализом битовой сложности, ни более легким, ни более информативным.

§ 20. Наивная арифметика: умножение

Предложение 20.1. Пусть T*_м(m) — временная битовая слож­ность наивного умножения при использовании m в качестве размера входа, а T^mmJ —временная битовая сложность этого же алго­ритма при использовании m_ъ m₂ в качестве двух параметров размера входа. Тогда

T*_M(m) = Q(m²), T*l_l(m₁,m₂)=Q(m₁m₂). (20.1)

Доказательство. Затраты наивного умножения a на b связаны с суммированием m, чисел n-i,n?,...,n_m , где каждое n_i равно 0 или a ■ 2ⁱ-¹ в зависимости от соответствующей цифры в двоичной запи­си b. Несложной индукцией доказывается, что для s_i = n_г + n₂ + ... ...+n_i, i = l,2,...,m₂, выполнено X{s_i)^m₁ + i. Если n_i+1ф0, то по­следние i цифр числа n_i+1 суть нули, и при вычислении s_i+1 = s_i + n_i+1 мы не притрагиваемся к этим цифрам, а преобразуем s_i в s_i+1 сло­жением двух чисел, первое из которых образовано всеми разрядами числа si, кроме i последних (согласно сказанному, битовая длина это­го числа не превосходит m_г), второе же слагаемое есть a, и его би­товая длина равна m_г. Число битовых операций, требующихся для преобразования s_i в s_i+1, не превосходит c{m_г +1) для некоторой по­ложительной константы c. В том случае, когда все цифры числа b равны 1, это число при любом i не меньше, чем m_ъ по лемме 19.1.

¹ См., например, книгу [50]. В литературе на английском языке, в частности в кни­ге [50], используется термин «word complexity».

138

Глава 5. Битовая сложность

Поэтому битовые затраты, связанные с наивным умножением а на Ъ, не превосходят с{т_г + 1)т₂, а при Ъ = 2^т? - 1 (двоичная запись это­го Ъ состоит только из единиц) затраты не меньше, чем т_гт₂. Это дает оценку Щ_1[{т_ът₂) = 6(m₁m₂).

Рассмотрим теперь т как размер входа. Так как т_г ^ т и т₂ ^ т, то затраты не превосходят c(m + l)m, это дает оценку Т*_м(т) = 0(,т²). С другой стороны, если т_г = т₂ = т и а = Ъ = 2^т - 1, то затраты не могут быть меньше, чем т², и, следовательно, Г*(т) = Г2(т²). Таким образом, Г_м*_м(т) = в (т²). □

Для пространственной битовой сложности наивного умножения мы имеем, очевидно, оценки

S*_NM(m) = 2т + 0(1), S^Qn_lt т₂) = т_г + т₂ + 0(1).

Обсудим переход от параметров т_ъ т₂ размера входа к парамет­рам а, Ъ (можно считать, что и к параметрам logo, logЪ—между а, Ъ и log a, log Ъ в этом смысле нет принципиальной разницы, так как одни параметры однозначно определяют другие; в то же время мы не можем восстановить а,Ъ по riog₂(a + l)l, [log₂(b +1)1).

Для перехода в верхних оценках сложности от A(fc) к log₂ к, fee gN*, часто оказывается удобным простое неравенство |"log₂(fc + 1)] ^ ^ 2 log₂ к, справедливое для всех к ^ 2:

[log₂(fc + 1)1 = Llog₂ fcj + 1 ^ log₂ к+ 1^2 log₂ к.

Поэтому, например,

т₁ ^ 2 log₂ a, m₂ ^ 2 log₂ b

и

т_гт₂^ 4 log₂ a log₂b (20.2)

для всех a, b ^ 2. Имеем для достаточно больших т_ъ т₂ и некоторой положительной константы с

Cl_u{a, Ъ) s= Т^_Л{т_ъ т₂) s= ст_гт₂ s= Ac log₂ a log₂ Ъ.

Мы можем написать C^_M(a, b) = 0(loga logb), считая, что выражение под знаком О рассматривается как функция двух переменных а, Ъ, при этом а, Ь—>оо; считаем также, что логарифмы имеют общее ос­нование (подобные предположения будут подразумеваться и в даль­нейшем). Остается заметить, что битовая временная сложность при использовании самих а, Ъ в качестве параметров размера входа сов­падает с битовыми временными затратами. Это позволяет получить из оценки Т**_м(.т_ът₂) = 0(.т₁т₂) оценку T_NM(a, Ь) = О (log a logb) для