![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2. Комбинаторика. Основы теории групп
- •2.1. Комбинаторика
- •2.1.1. Задачи комбинаторики
- •2.1.2. Типы выборок
- •2.1.3. Основные правила комбинаторики
- •2.1.4. Размещения с повторениями
- •2.1.5. Размещения без повторений
- •2.1.6. Перестановки без повторений
- •2.1.7. Перестановки с повторениями
- •2.1.8. Сочетания
- •2.1.9. Сочетания с повторениями
- •1.5.10. Решение задач 2,3 контрольной работы № 2
- •2.1.11. Бином Ньютона
- •2.1.12. Свойства биномиальных коэффициентов
- •2.1.13. Приближенные вычисления с помощью бинома Ньютона
- •2.1.14. Контрольные вопросы и упражнения
- •2.2. Группы подстановок
- •2.2.1. Понятие группы
- •2.2.2. Группа подстановок
- •2.2.3. Изоморфизм групп
- •2.2.4. Самосовмещения фигур
- •2.2.5. Контрольные вопросы и упражнения
2.2.2. Группа подстановок
Пусть
множество X
состоит из n
элементов
,
расположенных в произвольном, но
фиксированном порядке.
Биекция
называетсяподстановкой.
В
случаях, когда природа элементов не
имеет значения, удобно обращать внимание
только на индексы и считать, что мы имеем
дело с множеством
.
Следовательно,
.
Обозначим
-
множество всех подстановок наA.
Очевидно, что
.
На
множестве
будем рассматривать операцию перемножения
(композиции) подстановок
и
:
для
любого
.
Эта операция обладает свойствами:
1)
- выполняется свойство ассоциативности;
2)
существует подстановка
,
для которой
для каждого
-
выполняется аксиома существования
единичного элемента;
3)
для любого
существует
такое, что
- выполняется аксиома существования
обратного элемента.
Следовательно,
множество
образует
группу относительно операции перемножения
перестановок. Отметим, что эта операция
не является коммутативной, то есть
,
например,
,
.
Рассмотрим
произвольную подстановку
.
Элемент
такой,
что
будем
называть стационарным относительно
подстановки
.
Пусть
- все нестационарные элементы подстановки
,
причем,
,
гдеk
– наименьшее из всех возможных. Такая
подстановка называется циклом
длины k
и записывается в виде
.
Пример
1. Пусть
.
Стационарный
элемент
.
Подстановка
является
циклом длины
и
может быть записана в виде
.
Пример
2. Пусть
.
Подстановка p не является циклом, но может быть представлена в виде композиции двух циклов:
причем эти циклы являются непересекающимися, т.е. не имеют общих нестационарных элементов.
Теорема
1. Любая
подстановка
может быть представлена в виде композиции
непересекающихся циклов длины
:
.
Доказательство теоремы дает процедуру построения циклов.
Найдем
в A
наименьший нестационарный относительно
элемент
,
т.е.
и для каждого
выполняется
условие: если
,
то
.
(Если такого элемента не существует, то
является
тождественной подстановкой (
)
и ее можно рассматривать как пустое
произведение циклов).
Будем
строить образы элемента
,
до тех пор, пока не получим
при наименьшем из возможныхk
(
).
Тогда подстановка
определяет
цикл длины k
внутри подстановки
.
Если все нестационарные элементы
подстановки
содержатся
в
,
то
.
В противном случае найдем
- наименьший из нестационарных элементов
подстановки
,
не входящий в цикл
.
Строим цикл
.
Очевидно,
что
и
- непересекающиеся. Если все нестационарные
элементы исчерпаны, то
,
в противном случае повторяем процесс,
пока каждый нестационарный элемент не
войдет в какой-либо цикл. В конечном
итоге получим
.
Пример. Представить в виде композиции циклов подстановку
.
,
значит
;
,значит
;
-
стационарный элемент.
Следовательно,
.
Определение.
Порядком подстановки
называется
наименьшее натуральное числоp
такое, что
.
Теорема 2. Порядок подстановки равен наименьшему общему кратному порядков циклов в ее разложении на непересекающиеся циклы.
В качестве упражнения предлагается провести доказательство теоремы самостоятельно.
2.2.3. Изоморфизм групп
Определение.
Группы
и
называютсяизоморфными,
если существует биекция
,
сохраняющая групповую операцию, т.е.
для
всех
.
Пример.
Пусть
- группа преобразований правильного
треугольника в себя
,
где
-
тождественное преобразо-вание,
- поворот вокруг точкиO
на 120,
-
поворот вокруг точкиO
на 240,
-
отражение относительно осей симметрииI,
II,
III
соответственно (рис. 2.3).
2
IIII
1 3
II
Рис. 2.3. Преобразование правильного треугольника
В
качестве группы
рассмотрим группу подстановок на
множестве
вершин треугольника
,
где
,
,
,
,
,
.
Легко
убедиться, что биекция
группы
на группу
являетсяизоморфизмом.
Будем
называть порядком конечной группы
количество ее элементов
.
Теорема
(Кэли). Всякая
конечная группа порядка n
изоморфна некоторой подгруппе группы
подстановок
.
Доказательство.
Пусть
произвольная подгруппа порядкаn.
Обозначим
группу
подстановок на множестве
.
Зафиксируем произвольный элемент
и рассмотрим отображение
такое,
что
для
любого
.
Очевидно, образы различных элементовx
и y,
принадлежащих
,
различны и, следовательно, множество
значений
.
Действительно, предположим, что
при
.
Тогда
.
Значит,
отображение
является подстановкой на множестве
,
причем
,
,
,
т.е. множество
образует
подгруппу группы
.
При этом
.
Следовательно,
отображение
такое, что
является изоморфизмом, т.к.
.
Задача. Найти группу подстановок, изоморфную группе поворотов правильного восьмиугольника на плоскости.
Решение задачи провести самостоятельно.