Вариант 1.
Постройте граф отношения «быть знакомым» на множестве людей. Определите его свойства.
Вариант 2.
Постройте граф отношения «х + у ≥ 7» на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Определите его свойства.
Вариант 3.
Постройте граф отношения «быть делителем» на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Определите его свойства.
Вариант 4.
Постройте граф отношения «х – у ≤ 2» на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Определите его свойства.
Вариант 5.
Постройте граф отношения «быть сыном» на множестве людей. Определите его свойства.
Вариант 6.
Постройте граф отношения «прямая х пересекает прямую у» на множестве прямых. Определите его свойства.
Вариант 7.
Постройте граф отношения «быть сестрой» на множестве людей. Определите его свойства.
Вариант 8.
Постройте граф отношения «находиться на одинаковом расстоянии от начала координат» на множестве точек вещественной плоскости. Определите его свойства.
Вариант 9.
Постройте граф отношения «х + у ≤ 7» на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Определите его свойства.
Вариант 10.
Постройте граф отношения «х – у ≥ 2» на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Определите его свойства.
Контрольная работа № 3
Тема работы – математическая логика. В работе требуется выполнить следующие задания.
Определить, является ли справедливой приведенная формула алгебры высказываний, не прибегая к составлению таблицы истинности, а используя только свойства соответствующих операций.
Для указанной функции трех переменных:
составить таблицу истинности;
определить, к каким классам булевых функций она относится;
записать совершенные ДНФ и КНФ;
найти минимальную ДНФ;
для полученной минимальной ДНФ построить логическую схему в базисах: а) {٧,} (дизъюнкция, отрицание); б) {٨,} (конъюнкция, отрицание).
Доказать полноту (или неполноту) приведенной системы булевых функций.
При выполнении контрольной работы затруднения может вызвать проверка линейности булевой функции.
Для исследования функции на линейность ее следует представить в общем виде с помощью полинома по модулю два, а затем, используя значения функции и значения переменных на конкретных наборах, попытаться определить коэффициенты полинома. Оставшиеся неиспользованными наборы используют для проверки правильности выражения. Полученное хотя бы на одном из наборов противоречие означает некорректность выражения, а значит и нелинейность функции.
В качестве примера рассмотрим функции двух переменных f10 = х1 х2 – эквивалентность и f14 = х1 х2 – импликация. Таблица истинности для этих функций имеет вид:
|
x1 |
x2 |
f10 |
f14 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Представим f10 в виде полинома по модулю два:
f10(x1, x2) = a0 a1 x1 a2 x2.
Подставляя значения функции и переменных из набора № 0, получим
1 = a0 a10 a20, откуда a0 = 1.
Используя аналогичным образом набор № 1, получим (с учетом того, что a0 = 1)
0 = 1 a10 a21, откуда a2 = 1.
Из набора № 2:
0 = 1 a11 a20, откуда a1 = 1.
Подставляя полученные значения коэффициентов в выражение, где значения переменных и функции соответствуют набору № 3, получим
1 = 1 1 1, что является истиной. Отсюда следует, что функция х1 х2 линейна и может быть представлена как
х1 х2 = 1 х1 х2.
Исследуя аналогичным образом функцию f14 = х1 х2, получим:
a0 = 1 (из набора № 0);
a2 = 0 (из набора № 1);
a1 = 1 (из набора № 2).
Используя для проверки набор № 3, получим
1 = 1 1 0, что является ложью. Следовательно, функция f14 = х1 х2 нелинейна.