Дискретка учебник
.pdfДля ориентированного графа первым в упорядоченной паре стоит вершина, являющаяся началом ребра, а вторым - конец ребра. Дуги перечисляются в круглых скобках.
При изображении графов, заданных списком ребер, сначала определяют множество вершин. Графы, задаваемые списком ребер, при изображении различаются в зависимости от расположения вершин на рисунке. При этом все изображенные по одному списку графы являются изоморфными.
Чаще всего вершины на рисунке располагают по кругу и соединяют соответствующими ребрами из списка.
Для удобства изображения граф можно нарисовать так, чтобы количество пересекающихся ребер в нем было минимальным.
Пример 9.12.
а)
G1 = {{v1, v2}, {v1, v3}, {v1, v4}, {v2, v3},
{v2, v4}, {v3, v4}, {v4, v5}}
- неориентированный граф. Его изображение:
|
|
|
v2 |
|
|
||
|
"" |
""" |
|
s@@ |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
@ |
|
|
G1 v1 |
scc |
c |
|
|
|
sv3 |
|
|
|
s |
cc |
|
s |
|
|
|
v5 |
v4 |
|
|
б) Граф
G2 = {(v1, v2), (v1, v5), (v2, v3), {v3, v4},
{v3, v5}, (v3, v1), {v4, v5}}
- ориентированный:
171
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
||
- |
-s@ |
|
|
|||||||
|
|
|
@ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
G2 v1 |
sE |
|
|
|
|
% |
sv3 |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
E |
|
-% |
|||||||
- |
% |
|
|
- |
||||||
|
E |
|
|
|
|
|||||
|
E |
|
% |
- |
|
|
|
|||
|
E |
%% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vEE |
s5 |
|
|
-v |
s4 |
|
|
4). Матрица инцидентности.
Пусть V = {v1, v2, . . . , vn} - множество вершин графа G; E = {e1, e2, . . . , em} - множество его ребер.
Тогда граф можно задать матрицей Am×n = {aij}, называемой
матрицей инцидентности. Am×n имеет m строк и n столбцов; столбцы соответствуют вершинам графа, строки - ребрам.
Элементы |
матрицы |
Am×n |
= |
{aij} |
инцидент- |
|||||
ности |
|
|
неориентированного |
графа |
G |
равны |
||||
|
|
|
1, |
если ребро ei инцидентно вершине vj; |
|
|||||
aij |
= |
2, |
если ребро ei - петля,vj - инцидентная ей вершина ; |
|||||||
|
|
|
|
0, |
в остальных случаях . |
|
|
|
||
В |
|
матрице |
Am×n |
= |
{aij} |
инци- |
||||
дентности |
|
ориентированного |
графа |
G |
||||||
|
|
|
|
−1, если вершина vj - начало ребра ei; |
|
|||||
a |
ij |
= |
1, |
если вершина vj - конец ребра ei; |
|
|
||||
|
|
|
2, |
если ребро ei - петля,vj - инцидентная ей вершина ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
в остальных случаях . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9.13.
a) G1 = {V1, E1}, где V1 = {v1, v2, v3, v4, v5, v6},
E1 = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11}.
172
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 v2 v3 v4 v5 v6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
e"1" |
" |
|
|
@ |
|
e5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
es |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|||||||||||||
|
"" |
|
|
|
|
|
|
|
6@@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
G1 v1 |
|
se |
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sv3 |
|
|
|
e5 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
e4 |
e e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e7 |
|
|
|
|
|
e8 |
A11×6 = e6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||||||||||||||
|
vs6 |
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ee10e9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v4 |
|
|
|
e7 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vs5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e11 |
|
|
|
e8 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e9 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e10 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e11 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
б) G2 = {V2, E2}, |
|
|
где V2 = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12}. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 v2 v3 v4 v5 v6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
-1 0 0 1 0 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
G2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e4 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
- e6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
se2-aa- |
|
|
|
|
|
|
|
|
-e s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-1 1 0 0 0 |
|||||
|
v1 |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v3 |
|
|
|
e5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 |
|
6 = e6 |
0 |
-1 0 |
0 |
1 |
0 |
||||
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
e8 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
"" vs4 |
|
e9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
- |
|
e10 |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
e |
0 |
0 |
-1 1 0 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
"" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
v |
|
s5 |
|
-e |
|
|
|
- |
|
|
|
s |
|
|
|
v6 |
|
|
|
e8 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
11 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e12 |
|
|
|
e9 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e10 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
Свойство матрицы инцидентности неориентированного графа:
•Сумма элементов любого столбца равна степени соответствующей вершины, то есть
∑
deg(vj) = aij
i
.
173
5). Матрица смежности.
Определение 9.13. Матрицей смежности неориентированного графа G = < V, E > называется матрица An×n = (aij), где aij - число ребер, соединяющих вершины i и j; n - количество вершин в графе.
Пример 9.14.
Для графа G1 из предыдущего примера матрица смежности равна
|
|
v1 v2 v3 v4 v5 v6 |
|||||
|
v1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
v2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
A6×6 = v3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
v4 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
2 |
|
v5 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
v6 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
Свойства матрицы смежности неориентированного графа:
•Все элементы матрицы - неотрицательные числа.
•Матрица является симметрической, то есть AT = A.
•Сумма элементов i-той строки (столбца) равна степени соот-
ветствующей вершины :
∑
aij = deg(vi)
j
∑
aij = deg(vj)
i
Матрицы инцидентности и смежности задают единственный с точностью до изоморфизма граф.
174
9.3Графы специального вида
В этом разделе мы будем рассматривать только простые графы (то есть графы без кратных ребер и петель).
Определение 9.14. Граф G1 = < V1, E1 > называется подграфом
графа G = < V, E > (обозначается G1 4 G), если V1 V, E1 E. Каждая вершина подграфа G1 является вершиной исходного графа
G, каждое ребро G1 - ребро G.
Пример 9.15. Графы G1, G2 и G3 являются подграфами графа G.
|
|
v2 |
|
||
G |
"" |
""" |
|
s@@ |
|
|
|||||
v1 |
sA aaaa |
|
sv3 |
||
|
a |
|
|
s4 |
|
|
AAA |
v |
|
|
|
|
|
||||
|
|
AA |
|
||
|
|
AAs |
|
||
|
|
v5 |
|
vs2
v s"""""
1 aaaaas
v4
G2
|
|
v2 |
|
"" |
"""s@@ |
||
|
@ |
||
v1 sAA |
|
|
sv3 |
A |
|
|
|
AAAA |
|
||
|
A |
||
|
vs5 |
||
|
G1 |
||
|
|
|
s@@ |
|
|
v2 |
|
v1 saaaa |
a |
@sv3 |
|
|
|
|
|
|
|
vs4 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
v5 G3
175
Определение 9.15. Пусть задан неориентированный граф
G= < V, E >, V = { v1, v2, . . . , vk }, E = { e1, e2, . . . , el }.
Маршрутом из вершины vi в вершину vj называется конечная по-
следовательность ребер {vi, vi1 }, {vi1 , vi2 }, . . . , {vis−1 , vis }, {vis , vj}. Количество ребер в маршруте называется его длиной.
Вершину vi называют начальной вершиной маршрута, vj - его
конечной вершиной.
Определение 9.16. Пусть задан ориентированный граф
G = < V, E >, V = { v1, v2, . . . , vk }, E = { e1, e2, . . . , el }.
Путем из вершины vi в вершину vj называется конечная последова-
тельность ребер (vi, vi1 ), (vi1 , vi2 ), . . . , (vis−1 , vis ), (vis , vj). Количество ребер в пути называется его длиной.
Вершину vi называют начальной вершиной пути, vj - его конечной вершиной.
Путь или маршрут часто указывают, перечисляя его вершины:
vi → vi1 → vi2 → · · · → vis−1 → vis → vj.
Каждые 2 последовательных ребра маршрута {vik−1 , vik } и {vik , vik+1 } имеют общую вершину vik и являются смежными.
Пример 9.16. Последовательности ребер
а) |
{v1, v5}; |
б) |
{v1, v4}, {v4, v2}, {v2, v3}, {v3, v5}; |
в) |
{v1, v4}, {v4, v2}, {v2, v3}, {v3, v4}, {v4, v5} |
являются маршрутами из v1 в v5 в графе G из примера 9.15. v1 - начальная вершина маршрута, v5 - его конечная вершина.
Определение 9.17. Тривиальным называется маршрут длины 0.
176
Определение 9.18. Маршрут называется цепью, если все его ребра различны; простой цепью - если все его вершины различны, за исключением, быть может, начальной и конечной.
Если начальная и конечная вершины цепи совпадают, цепь называют замкнутой.
Циклом в графе называют замкнутую цепь, содержащую по крайней мере одно ребро; простым циклом - цикл, в котором все вершины, за исключением начальной и конечной, различны.
Пример 9.17. Маршруты из п. а), б), в) предыдущего примера - цепи, причем а) и б) - простые цепи.
г) {v1, v4}, {v4, v2}, {v2, v1}, {v1, v4}, {v4, v5} - пример маршрута, не являющегося цепью.
д) Последовательность ребер {v1, v4}, {v4, v5}, {v5, v1} является простым циклом.
Теорема 9.3. Пусть G = < V, E > - граф. Если существует маршрут из вершины vi в вершину vj, тогда существует и простая соединяющая их цепь.
Доказательство. Пусть маршрут из vi в vj не является простой цепью. Тогда существует по крайней мере одна вершина vm, встречающаяся в нем не менее двух раз, и маршрут имеет вид
vi → vi1 → . . . → vm → vm+1 → . . . → vm → . . . → vj.
Удалив из маршрута последовательность ребер vm+1 → . . . → vm, снова получим маршрут из vi в vj.
Если при этом он не будет простой цепью, процедуру можно повторить. Так как число ребер в конечном маршруте конечно, процесс удаления ребер конечен.
В результате получим простую цепь из vi в vj.
Определение 9.19.
Граф G называется связным, если имеется маршрут между любыми его двумя различными вершинами.
177
Пример 9.18. а) G1 - связный граф.
б) Граф G2 - не является связным, так как не существует маршрута, например, из v2 в v4, из v1 в v6 и так далее.
|
v2 |
|
|
|
v2 |
v4 |
||||
G1 |
@s |
@ |
sv3 |
G2 |
|
|
s |
|
|
s |
|
|
|||||||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 s@@ |
|
vs6 |
v1 s@@ |
|
s3 |
v |
|
s5 |
|
|
vs4 |
v |
s5 |
v |
|
|
||||
|
@ |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 9.4. Граф G является связным тогда и только тогда, когда между любыми двумя его вершинами существует простая цепь.
Доказательство. непосредственно следует из теоремы 9.3 и определения 9.19 связного графа.
Определение 9.20. Подграф G1 графа G называется компонентой (компонентой связности), если G1 - максимальный связный подграф графа G.
Пример 9.19.
|
s2 |
|
s4 |
|
|
v |
v |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граф G2 |
v1 s@@ |
s3 |
v |
из предыдущего примера |
vs6 |
v |
s5 |
||
|
@ |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
имеет три компоненты связности.
Определение 9.21. Пустым (вполне несвязным) называется граф, в котором нет ребер.
Пустой граф с n вершинами обычно обозначается Nn.
178
Пример 9.20.
|
vs1 |
vs2 |
vs5 |
N5 |
s |
s |
|
|
v3 |
v4 |
|
Замечание 9.3. У пустого графа все вершины изолированы.
Определение 9.22. Полным называется граф, любые две вершины которого смежны.
Обозначение полного графа с n вершинами Kn.
Свойство полного графа с n вершинами Kn:
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n(n−1) |
|
|
|
|
|
|
• Число ребер в графе |
Kn равно Cn |
= |
|
. |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||
Пример 9.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v5 |
|||
|
|
s |
|
s@ |
|
s@ |
s |
|
|
|
|
sB@ |
||
|
|
|
|
|
|
s@ B s |
||||||||
|
v1 |
v1 |
v1 |
v3 |
|
v1 |
B @ v3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B @ |
|
v1 |
|
|
|
@ |
|
@ |
|
|
|
|
|
@ |
B |
|
s |
|
|
|
@ |
|
@ |
|
|
|
|
|
@ B |
|
|
v |
s2 |
v |
sv3 |
v |
@@ |
v |
s4 |
|
v |
@@BB |
s4 |
|||
|
s2 |
s2 |
|
s2 |
|
v |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
@B |
|
K1 |
K2 |
|
K3 |
|
K4 |
|
|
|
|
|
|
K5 |
Определение 9.23. Двудольным называется граф, множество вершин которого можно разбить на два непересекающихся подмножества V1 и V2 ( на две доли) и при этом каждое ребро графа соединяет какую-либо вершину из V1 с какой-либо вершиной из V2, но никакие две вершины из одного множества не являются смежными.
Заметим, что вершины двудольного графа можно "раскрасить" (каждой вершине приписать некоторый цвет) в два цвета так, что вершины из одного подмножества (доли) будут окрашены в один цвет, а каждое ребро будет иметь концы разного цвета.
179
Определение 9.24. Полным двудольным графом называется двудольный граф, в котором каждая вершина из V1 смежна с каждой вершиной из V2.
Полный двудольный граф, у которого |V1| = n, |V2| = m (n и m - количество вершин в соответствующей доле), обозначается через Kn;m.
Очевидно, что в графе Kn;m количество ребер равно n · m.
Пример 9.22.
v1 sXs XXXXX ssw1 v X XX w 2 Hs XX s 2
H XX
v3 s HHHXXXsw3 v4 HHH w4
G1 - двудольный граф, не являющийся полным.
V1 = {v1, v2, v3, v4}; W1 = {w1, w2, w3, w4}
|
|
|
|
G1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
K1;2, K2;2, K2;3 и K3;3 - полные двудольные графы. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
w |
v |
|
H |
|
|
w |
v |
|
H |
|
|
w |
||
|
|
|
w1 |
|
s@ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
s 1 |
|
1 |
s@HH |
|
s 1 |
|
1 |
s@HH s |
1 |
|||||||||
v1 |
s |
|
|
@@ |
|
|
|
|
|
@@HHH |
|
v2 |
@ HH |
|
|
||||||||
PP |
PPP |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
@ w2 |
HH @ w2 |
|||||||||||
|
s |
|
Psw2 v2 |
|
s |
|
|
s |
|
|
|
s |
|
|
s |
H |
|
s |
|
||||
|
|
|
|
s |
|
|
|
@ |
|
s |
|
|
s |
H@ |
|
s |
|
||||||
|
|
|
|
@@ |
w2 v2 |
|
|
@ |
w3 v3 |
HH@ |
w3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
K1;2 |
|
|
|
K2;2 |
|
|
|
|
|
K2;3 |
|
|
|
|
|
|
K3;3 |
|
Теорема 9.5 (Д.Кёнинг). Граф является двудольным тогда и только тогда, когда в нем отсутствуют циклы нечетной длины.
Определение 9.25. Звёздным называют граф K1;n.
Пример 9.24.
180