Краткий курс математического анализа. Том 2

80 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Поскольку приращение x фиксировано, то o(|t x|m) = o(tm), t → 0, а поэтому, собирая члены с одинаковой суммой показателей |k| = k1 + ... + kn, получим

Очевидно, что для нуля справедливо и разложение

В силу теоремы 2 из п. 14.1 о единственности разложения рассматриваемого вида, из равенства (38.18) следует, что

влевой части этого равенства многочлен относительно переменных x1, ..., xn равен нулю в некоторой окрестности нуля. Согласно лем-

ме отсюда следует, что все ck = 0. Поэтому в силу (38.16) для всех k таких, что 0 |k| m, выполняется равенство ak = bk.

Из доказанной теоремы следует, что если для m раз непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки x функции f получено представление вида (38.12), то оно является формулой Тейлора для этой функции с остаточным членом в виде Пеано. Действительно, в этом случае формула Тейлора имеет место, а другого такого представления в силу теоремы 2 быть не может.

§39. Экстремумы функций многих переменных

39.1.Необходимые условия экстремума.

симума (минимума).

Точки (строгого) локального максимума и минимума называются точками (строгого) локального экстремума. Эпитет «локальный» часто для краткости опускается.

Если x(0) — точка экстремума функции f , то говорят, что функция f имеет экстремум в этой точке.

Т е о р е м а 1 (необходимое условие экстремума). Если функция f

определена в окрестности точки экстремума x(0) и если в этой

точке существует частная производная ∂f (x(0)) , то она равна нулю:

∂xi

∂f (x(0)) = 0. ∂xi

С л е д с т в и е. Если функция дифференцируема в точке экстремума, то ее дифференциал в этой точке равен нулю.

Пусть для определенности i = 1. Если точка x(0) =(x(10), x(20), ..., x(n0)) является точкой экстремума функции f , то точка x(10) является точкой экстремума функции f (x1, x(20), ..., x(n0)) одной переменной x1. При этом поскольку функция f (x1, x2, ..., xn) была определена в n-мерной окрестности точки x(0), то функция f (x1, x(20), ..., x(n0)) определена в одномерной окрестности точки x(10). Следовательно, согласно теореме Ферма

ренцируема в точке, то она определена в некоторой ее окрестности и имеет в самой точке все частные производные первого порядка, которые согласно теореме 1 равны нулю. Поэтому дифференциал

называется стационарной точкой функции f . Условие (39.1) можно записать короче в виде

df (x(0)) = 0.

Согласно теореме 1, если точка экстремума функции f является внутренней для области определения функции и в ней функция f дифференцируема, то эта точка является стационарной. Уже в теории экстремумов функций одной переменной мы видели, что не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Найдем условия, при выполнении которых стационарная точка функции многих переменных является точкой экстремума этой функции.

82 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

39.2. Достаточные условия экстремума. Функция вида

x = (x1, x2, ..., xn), aij = aji — некоторые числа, i, j = 1, 2, ..., n, называется, как известно, квадратичной формой.

Если A(x) — квадратичная форма, x Rn, то для любого числа t

имеет место равенство

(39.2)

в частности, A(−x) = A(x) (мы рассматриваем точки пространства Rn как векторы). В самом деле,

Значение A x не зависит от выбора точки x = 0 на прямой x =

|x|

= tx(0), x(0) = 0, — это значение совпадает со значением A(x(0)).Действительно,

Квадратичная форма A(x) называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого x = (x1, ..., xn) Rn, x = 0,

выполняется неравенство A(x) > 0 (соответственно A(x) < 0).

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Квадратичные формы, прини-

мающие как положительные, так и отрицательные значения, называются знаконеопределенными или знакопеременными.

Л е м м а. Нижняя грань абсолютных значений знакоопределенной квадратичной формы на единичной сфере Sn−1 положительна:

x Sn−1

Пусть A(x) — знакоопределенная квадратичная форма, а Sn−1 = = {x = (x1, x2, ..., xn) : x21 + x22 + ... + x2n = 1} — единичная сфера. Она является ограниченным замкнутым множеством, т. е. компактом.

Функция A(x), будучи многочленом, непрерывна на всем пространстве Rn, следовательно, функция A(x), а потому и ее абсолютная величина |A(x)|, непрерывны на компакте Sn−1. Согласно теореме

Вейерштрасса функция |A(x)| достигает своего наименьшего значения на Sn−1 в некоторой точке x(0) Sn−1:

(39.4) доказано.

Те о р е м а 2 (достаточные условия экстремума). Если функция дважды непрерывно дифференцируема в стационарной точке и если в этой точке второй дифференциал является положительно определенной квадратичной формой, то точка является точкой строгого минимума, если — отрицательно определенной, то — точкой строгого максимума, если же — знаконеопределенной формой, то экстремума в рассматриваемой точке нет.

Пусть x(0) — стационарная точка функции y = f (x), т. е. в этой точке выполняются условия (39.1), и пусть

(39.5)

— ее второй дифференциал в точке x(0). Согласно формуле Тейлора

ничной сфере Sn−1.

Рассмотрим два случая.

1. Если A(Δx) — знакоопределенная квадратичная форма, то согласно лемме

экстремума.

З а м е ч а н и е. Для установления знакоопределенности квадратичной формы существует критерий Сильвестра: для того чтобы квадратичная форма

была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

Для того чтобы квадратичная форма A(x) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы квадратичная фор-

то квадратичная форма A(x) заведомо не является ни положительно, ни отрицательно определенной.

В качестве примера рассмотрим случай функции двух переменных и сформулируем для него условия в терминах, удобных для применения, когда в точке имеется строгий максимум или минимум, и условия, когда в точке нет экстремума.

Пусть функция f (x, y) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки (x0, y0) и эта точка является стационарной:

∂f (x0, y0) = ∂f (x0, y0) = 0. ∂x ∂y

86 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

положительно, а при fxx0 < 0 отрицательно определенная. Поэтому в силу теоремы 2, если

то квадратичная форма (39.13) знаконеопределенная (почему?), и потому точка (x0, y0) согласно теореме 2 не является точкой экстремума.

Исследование квадратичной формы двух переменных (в частности, (39.13)) на знакоопределенность легко провести и без критерия Сильвестра. Действительно, если fxx0 = 0, то

fxx0 > 0 и отрицательно определенная при fxx0 < 0.

Если же выполняется условие (39.16), то при dx = 0, dy = 0 имеем sign A(dx, 0) = sign fxx0 ,

а при dx = fxy0 , dy = −fxx0 получим

sign A(fxy0 , −fxx0 ) = −sign fxx0 .

Это означает, что квадратичная форма (39.13) является знаконеопределенной.

Аналогично проводится исследование знакоопределенности квад-

то квадратичная форма (39.13) имеет вид

A(dx, dy) = 2fxy0 dx dy,

причем в силу выполнения условий (39.18) и (39.19) здесь fxy0 = 0.

Поэтому

A(−dx, dy) = −A(dx, dy),

откуда сразу видно, что квадратичная форма в этом случае знакопе-

точка (x0, y0) может как быть точкой экстремума, так и не быть ею. Например, для функций f1(x, y) = x3 + y3 и f2(x, y) = x4 + y4 точка

(0, 0) является стационарной точкой, в которой выполняется условие (39.20), причем f1(0, 0) = f2(0, 0) = 0. Функция f1 меняет знак в любой окрестности точки (0, 0), и потому точка (0, 0) не является точкой экстремума, а функция f2 всюду, кроме точки (0, 0), положительна, и, следовательно, точка (0, 0) является для нее точкой строгого минимума.

§40. Неявные функции. Отображения

40.1.Неявные функции, задаваемые одним уравнением.

Если функция двух переменных F (x, y) определена на некотором

подмножестве E плоскости R2 переменных x, y, т. е. E R2, и существует такая функция f одной переменной, определенная на некотором подмножестве X числовой прямой, т. е. X R, что для любого

x X имеет место включение (x, f (x)) E и выполняется равенство

F (x, f (x)) = 0, то функция f называется неявной функцией, определенной уравнением

(или решением этого уравнения). Говорят также, что функция f задана неявно уравнением (40.1).

88 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Это уравнение задает неявно бесконечное множество функций, определенных на отрезке X = [−1, 1]. Функциями, задаваемыми уравнением (40.2), например, являются функции (рис. 11)

Если наложить дополнительные условия, которым должна удовлетворять неявная функция, задаваемая уравнением (40.2), то может случиться, что такая функция будет единственной. Так, если потребовать, чтобы функция f была неотрицательна и определена на отрезке [−1, 1], то имеется только одна неявная функция, задаваемая

уравнением (40.2), а именно функция f1, для

Сформулируем в виде леммы одно общее утверждение, представляющее собой условие, при котором существует единственная неявная функция, определяемая уравнением (40.1).

Л е м м а. Пусть функция F (x, y) непрерывна в прямоугольной окрестности

U (x0, y0) = {(x, y) : |x − x0| < ξ, |y − y0| < η}

точки (x0, y0) и при каждом фиксированном x (x0 − ξ, x0 + ξ) строго монотонна по y на интервале (y0 − η, y0 + η). Тогда если

F (x0, y0) = 0, то для любой окрестности U (y0) = (y0 − ε, y0 + ε), 0 < ε < η, точки y0 существует такая окрестность U (x0) =

= (x0 − δ, x0 + δ), 0 < δ < ξ, точки x0, что для каждого x U (x0) имеется и притом единственное решение y U (y0) уравнения

F (x, y) = 0.

Это решение — обозначим его y = f (x) — как функция переменной x непрерывно в точке x0, и

f (x0) = y0.

Поскольку условия x U (x0) = (x0 − δ, x0 + δ), y U (y0) = = (y0 − ε, y0 + ε) равносильны условию

т. е. принадлежности точки (x, y) окрестности U0(x0, y0) точки (x0, y0), то в этой окрестности при любом x U (x0) существует и при этом единственная точка (x, y), являющаяся решением уравнения

F (x, y) = 0.

Это означает, что условия

F (x, y) = 0, (x, y) U0(x0, y0)

выполняются тогда и только тогда, когда y = f (x), x U (x0).

Зафиксируем произвольно ε, 0 < ε < η. В силу сделанного

предположения функция F (x0, y0) строго монотонна по y на отрезке [y0 − ε, y0 + ε], а поскольку F (x0, y0) = 0, то F (x0, y0 ± ε) = 0. Пусть для определенности функция F (x0, y) строго возрастает; тогда

F (x0, y0 + ε) > 0, а F (x0, y0 − ε) < 0.

В силу того, что функция F (x, y) непрерывна на открытом множестве U (x0, y0) и

(x0, y0 + ε) U (x0, y0), (x0, y0 − ε) U (x0, y0),

существует такое δ, 0 < δ < ξ, что в δ-окрестностях точек (x0, y0 + ε) и (x0, y0 − ε) функция F сохраняет тот же знак, что и в самих этих точках.

Поэтому для всех x (x0 − δ, x0 + δ) выполняются неравенства