mat_analiz_tipovik

Определение 2.3 Число b называется пределом функции

y = f(x) ïðè x стремящемся к a справа и обозначается

lim f(x) = b (èëè

lim f(x) = b),

-

2

x→a+0

x→a+

lim

Кафедра

f(x) = b (с заменой неравенства a < x < a+δ на неравенство

x→a−0

ÂÌ

равны между собой. При этом

ÌÃÒÓx→a

lim f(x) = lim

f(x) = limМИРЭАf(x)

x→a x→a−0

x→a+0

72

Здесь возможны две ситуации:

1. lim f(x) =

, åñëè f(a) определено;

x a

̸ f(a)

→

2. f(a) не определено, а lim f(x) существует.

x→a

Пример 2.1. f(x) =

x, x ̸= 0

Здесь x = 0 точка устрани-

{1, x = 0.

мого разрыва.

2

Пример 2.2. f(x) =

sin x

(не определено при x = 0,

x

sin x

МИРЭА

lim

= 1).

-

x

x→0

можно доопределить до непрерывной, полагая f(a) = lim f(x).

Пример 2.3. Функция f(x) =

x , x ̸= 0

является непре-

sin x

x→a

1, x

= 0ÂÌ.

рывной.

Кафедра

но они не равны друг другу.

ÌÃÒÓ

Пример 2.4. f(x) =

(x

−

1)

·

x2. Здесь

lim f(x) =

−

1,

x

−

1

x

1

−

0

|

|

→

Пример 2.6. Указать точки разрыва функции f(x) =

|x + 2|

·

x + 2

x − 3 и охарактеризовать их тип.

Решение:

Функция является непрерывной всюду, кроме точки

x = −2. Рассмотрим односторонние пределы.

x→−2+0

(

x + 2

|x + 2| · x − 3) =

Предел справа

lim

=

lim

x + 2

x

3

lim

(x

3) = 1

(x + 2

·

−

−

x→−2+0

)

= x→−2+0

−

-

x + 2

3) =

2

x→−2−0 (|x + 2| · x −

Предел слева

lim

ÂÌ

=

lim

x + 2

x

3

=

lim

(

x

МИРЭА

x→−2−0

(−x + 2

·

−

)

x→−2−0

− −

−

Оба односторонних предела существуют, но не равны между со-

бой, следовательно, x = −2 точка разрыва первого рода.

è

Кафедра

Пример 2.7. Указать точки разрыва функции f(x) = e1=(x−1)

охарактеризовать их тип.

Решение:

Функция является непрерывной всюду, кроме точки

x = 1. Рассмотрим односторонние пределы.

Предел справа

x

lim

e1=(x−1) = +

∞

1+0

→

e1=(x−1) = 0

Предел слева

lim

x→1−0

В этом случае x = 1 является точкой разрыва второго рода.

Пример 2.8. Указать точки разрыва функции

f(x) =

tg x

è

x

охарактеризовать их тип.

π

Решение: Точки разрыва: x = 0, x =

+ πk, ãäå k целое.

2

tg x

Поскольку lim

= 1 (по таблице эквивалентностей), то

x→0

x

x = 0 точка устранимого разрыва. В этом случае функцию мож-

но доопределить до непрерывной функции при x = 0

tg x

ÌÃÒÓf(x) = x , x ̸= 0,

1, x = 0.

-

Определение 3.1 Производной функции f(x) в точке a называ-

ÂÌ

ют предел (если он существует) отношения приращения2ôóíê-

ции к приращению аргумента:

МИРЭА

f′(a) = lim

f(a + ∆x) − f(a)

=

lim

∆f

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

Правила дифференцирования

Кафедра

Пусть функции u(x), v(x) дифференцируемые функции. То-

ãäà 1. (u

±

v)

= u

′ ±

v

,

2. (uv)

= u

v + uv

,

3.

u

′

=

u′v − uv′

′

′

′

′

′

(v )

v2

3.2. Таблица производных

1

(c)′ = 0, c постоянная

2

(xn)′ = nxn−1

3

(sin x)′ = cos x

4

(cos x)′

= − sin x

5

(tg x)′

=

1

cos2 x

6

(ctg x)′ =

−

1

sin2 x

7

(ex)′ = ex

8

x

′

x

ÌÃÒÓ(a ) = a ln a

9

(ln x)′

=

1

x

10

(loga x)′

=

1

x ln a

(arcsin x)′

1

√1 − x2

| |

11

=

, x

< 1

12

(arccos x)′ = −√

1

, |x| < 1

1 − x2

11

(arctg x)′

=

1

1 + x2

2

12

(arcctg x)′

= −

1

1 + x2

−

−

·

ÂÌ−

В следующих примерах рассматривается вычисление производ-

íîé y′ заданной функции y.

-

Пример 3.1. y = x4 − 6x2 + 8

На основании правила дифференцирования суммы, разности и

таблицы производных имеем

y′ =

x4

−

6x2

+ 8 ′ =

( )

(

)y = 2√

+

x

x2

=

4 ′

Кафедра

12x

x

6 x

+ (8)′ = 4x

3

6 2x (

)

Пример 3.2.

3

По формуле дифференцирования степенной функции имеем

′

( )

(

)

2

6

y′ = (2√3 x + x2 )

= 2

x1=3

′ + 3 x−2 ′

=МИРЭА3 x−2=3 − 6x−3 =

3

ÌÃÒÓ3

2

=

√3

−

x3

x

2

3

Пример 3.3. y = x2 sin x

Используем правило дифференцирования произведения:

y

=

(

x2 sin x

)

′

x2

′ sin x + x2 (sin x) = 2x sin x + x2 cos x

′

= (cos)x

′

Пример 3.4. y =

1 + 4x

(

)

′

(

(1 )

(

)

′

y′ =

cos x

=

−

·

=

1 + 4x3

3

)

2

+ 4x

−

sin x

1 + 4x3

− 12x2 cos x

=

· (

(1 + 4x)3)2

3.3. Дифференцирование сложной функции

Теорема 3.1 Пусть функция u = g(x) дифференцируема в точ-

êå x

2

).

, функция y = f(u) дифференцируема в точке u = g(x

0

-0

0

Тогда сложная функция y = f(g(x)) дифференцируема в точке

x0, причем [f(g(x))]x′

0 = f′(u0) · g′(x0).

В следующих примерах рассматривается вычисление производ-

íîé y′ заданной функции y.

ÂÌ

Пример 3.5. y = sin 6x

Данная функция является сложной, она состоит из двух

”çâå-

íüåâ“: u = 6x, y = sin u. По теореме о дифференцировании слож-

ной функции имеем: y′ = (sin 6x)′

= cos 6x

·

(6x)′

= 6 cos 6x.

Пример 3.6. y = (tg 7x)5

Эта функция сложная: u = 7x, a = tg u, y = a5. Здесь три

”звена“.

МИРЭА

′ = 5(tg 7x)4 ·

1

Тогда y′ =

(tg 7x)5

· 7

cos2 7x

Пример 3.7.

ln [ln (1 + 2√

)]

y =

x

[

]

1

1

1

y′

=

lnКафедра(1 + 2√x) · 1 + 2√x · √

x

Пример 3.8. y = cos5(arcsin 8x)

1

y′

= 5 cos4(arcsin 8x) (

sin(arcsin 8x))

8