Матрицы сложных поворотов.

Описание последовательности конечных поворотов относительно основных осей системы можно получить путем перемножения матриц элементарных поворотов. Поскольку операция перемножения матриц некоммутативна, здесь существенна последовательность выполнения поворотов. Например, матрица поворота, представляющего собой результат последовательного выполнения поворотов сначала на угол α вокруг оси ОХ, затем на угол θ вокруг оси OZ, затем на угол φ вокруг оси OY, имеет вид

где Сφ = cos φ; Sφ =sin φ; Сθ = cos θ , Sθ = sin θ; Sα =cos α, C α = sin α. Она отличается от матрицы, описывающей результат поворота сначала на угол φ вокруг оси ОY, затем на угол α вокруг оси OZ и, наконец, на угол α относительно оси ОX. Во втором случае результирующая матрица поворота имеет вид

Наряду с вращением относительно осей абсолютной системы координат OXYZ подвижная система отсчета OUVW может совершать повороты вокруг собственных осей. В этом случае результирующая матрица поворота может быть получена с использованием следующих простых правил.

1.Вначале обе системы координат совпадают, и, следовательно, матрица поворота представляет собой единичную матрицу размерностью 3X3.

2. Если подвижная система координат OUVW совершает по- ворот вокруг одной из основных осей системы OXYZ, матрицу

предыдущего результирующего поворота, надо умножить слева на соответствующую матрицу элементарного поворота.

3. Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из своих основных осей, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить справа на соответствующую матрицу элементарного поворота.

Уравнения движения манипулятора

Запишем выражение для функции Лагранжа

Подставив это выражение в уравнение Лагранжа, получим выражение для обобщенной силы τі которую должен развить силовой привод i-го сочленения, чтобы реализовать заданное движение i-го звена манипулятора

Выражение можно представить в следующей более простой форме:

Или в матричном виде

где τ(t)—вектор (размерностью я n*1) обобщенных сил, создаваемых силовыми приводами в сочленениях манипулятора:

Пример: двухзвенный манипулятор

Применение уравнений Лагранжа — Эйлера в форме для описания динамики движения манипулятора проиллюстрируем в этом разделе на примере двухзвенного манипулятора с вращательными сочленениями (рис. 2).

Рис. 1

Все оси сочленений рассматриваемого манипулятора параллельны оси z, перпендикулярной плоскости рисунка. Физические характеристики, такие, как положение центра масс, масса каждого звена и выбранные системы координат, указаны ниже. Требуется получить уравнения движения рассматриваемого двухзвенного манипулятора, основываясь на равенствах.

Относительно рассматриваемого манипулятора будем предполагать следующее:

• присоединенными переменными являются углы ;