§5. Предел функции

п. 1. Предел функции при х → х₀

Пусть функция у = f(x) определена на некотором множестве Х и точка х₀ является предельной точкой этого множества, т.е. в окрестности точки х₀ содержатся точки множества х, отличные от х₀. Точка х₀ может принадлежать множеству Х или не принадлежать ему => функция у = f(x) определена в точке х₀, либо не определена. Например, если х = (а, в) и х = [а;b], то точки а и в – предельные и в первом случае они не принадлежат множеству х, а во втором – принадлежат.

Возьмем из Х последовательность точек, отличных от х₀: х₁, …, х_n, …(1),

сходящуюся к х₀. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность f(х₁), f(х₂), …, f(х_n) (2),

по отношению к которой можно ставить вопрос о существовании предела.

Опр. 5.1 (по Гейне) Число А называется пределом функции f(x) при х = х₀

(х → х₀), если для любой сходящейся к х₀ последовательности (1) значений аргумента х ≠ х₀, соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу А (f(x) → А при х→ х₀)

Функция f(x) может иметь в точке х₀ только один предел. Это следует из того, что последовательность {f(х_n)} имеет только один предел.

Опр. 5.2 (по Коши) Число А называется пределом функции f(x) в точке

х = х₀, если для , такое, что для всех, х ≠ х₀, удовлетворяющих неравенству | х - х₀ | < , выполняется неравенство |f(x) – A| <

Так как неравенство, |f(x) – A| <<=>, то

Опр. 5.3. (ε-δ окрестности): Число А называется пределом функции f(x) в точке х = х₀, если для - окрестноститочки А найдется такие- окрестноститочки х₀, что для соответствующие значенияf(x) принадлежат окрестности .

Теорема 5.1. Определение предела функции по Гейне и по Коши эквивалентно.

П-2. Предел функции при х → х₀ – 0 и при х → х₀ + 0 (односторонние пределы).

Опр.5.4 Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке х₀, если для сходящихся к х₀ последовательности (1), элементы которой больше (меньше) х₀, соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Правый и левый пределы называются односторонними пределами функции в точке.

Опр. 5.5 (ε – δ) число А называется правым (левым пределом) функции f(x) в точке х₀, если () выполняется

.

Теорема 5.2 Функция f(x) имеет предел в точке х₀ <=> когда в этой точке как правый, так и левый предел, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

п. 3. Предел функции при х → ∞, х → – ∞, х → + ∞.

Опр. 5.6 Число А называется пределом функции f(x) при х → ∞, если для б.б. последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к А.

Опр. 5.7 Число А называется пределом функции f(x) при х → + ∞ (– ∞), если для б.б. последовательности значений аргумента, элементыx_n, которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Опр.5.8 Число А называется пределом функции f(x) при х → + ∞, если ,(х > δ =>)

п.4. Теории о пределах функции

Теорема 5.3 Если функции f(x) и g(x) имеют в точке х₀ пределы А и В, т.е.

,

1)

2)

3)

4) , если В ≠ 0.

Теорема 5.4: Пусть функции определены в некоторой окрестности точки х₀, за исключением, быть может, самой точки х₀, и функции f(x), h(x) имеют в точке х₀ предел, равный А, т.е. Пусть, кроме того, выполняются неравенстваТогда.

Теоремы 5.3. и 5.4. верны также и в случае х₀=+∞, -∞, ∞.

П-5. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Известно, что . Докажем, что.

П- 6. Б.б. и б.м. функции

Опр. 5.9. Функция называется б.м. в точке х=х₀ , если

Аналогично определяется б.м. функции при

Теорема 5.6: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) в точке x₀ , чтобы выполнялось равенство f(x)=A+α(x), где α(x)-б.м. при x→ x₀

Опр. 5.10 Функция называется б.б. в т. x= x₀ (x → x₀), если ∀М >0 ∃ δ>0

∀x ∈ X 0<|x- x₀|<δ => |f(x)|>M. Тогда .

Если же f(x)>M, тогда .

f(x)<-M, тогда .

Между б.м. и б.б. функциями существует аналогичная связь, как и между соответствующими последовательностями, т.е. если f(x) – б.б. при x→ x_0, то - б.м., приx→ x₀ и наоборот.

Если и β(x) – б.м. при x→ x₀ , то называется неопределенностью типа .Если и β(x) – б.б. при x→ x₀ , то называется неопределенностью типа ,- β(x)= Аналогично вводятся неопределенности 0,,,,Раскрыть неопределенность – значит найти предел соответствующего выражения(если он существует), что зависит от конкретных функций, входящих в выражение.

Рассмотрим правила сравнения б.м. функций _ и β(x) – б.м. при x→ x₀ . Тогда:

1) Если =А, то функциии β(x) называются б.м. одного порядка.

2) Если =1, то функциии β(x) называются эквивалентными б.м.

3) Если =0, то функцияназывается б.м. более высокого порядка малости, чем β(x).

4)=А, то функцияназывается б.м.n-го порядка относительно β(x).

Теорема 5.7: Если при и∃то причем.

Док-ть: