- •1 Билет (перестановки)
- •2 Билет (Определитель n-го порядка)
- •3 Билет (Определитель с 0 углом)
- •4 Билет (Определитель n-го порядка)
- •5 Билет (Векторы)
- •6 Билет (Проекция вектора на ось)
- •9 Билет (Смешанное произведение)
- •10 Билет (Уравнение прямой)
- •11 Билет (Кривые второго порядка)
- •12 Билет (Плоскость)
- •13 Билет (Уравнение прямой в пространстве)
- •20-22 Билет (понятие матрицы; умножение матриц; обратная матрица)
- •24 Билет (Линейное пространство)
5 Билет (Векторы)
Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление.
Длиной вектора называется длина отрезка.
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.
Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Вектор, соединяющий начало одного вектора с концом другого вектора называется суммой этих векторов.
Под разностью векторов a и b понимается вектор c=a-b такой, что b+c=a.
Произведением вектора a на скаляр называется вектор а, который имеет длину ||*|a|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если >0 и противоположное, если <0.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
a+b=b+a;
(a+b)+c=a+(b+c);
1(2*a)= 1*2*a;
(1+2)*a=1*a+2*a;
(a+b)= a+b.
6 Билет (Проекция вектора на ось)
Проекцией точки М на ось l называется основание М1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.
Проекцией вектора на AB ось l называется положительное число |AB|, если вектор A1B1 и ось l одинаково направлены и отрицательное число, если вектор А1В1 и ось l противоположно направлены.
Св-ва.
Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на косинус угла между вектором и осью, т.е. прla=|a|*cos.
Следствие. Проекция вектора на ось положительна(отрицательна), если вектор образует с осью острый(тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.
Следствие. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
При умножении вектора а на число его проекция на ось также умножается на это число.
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
a=ax*I+ay*j+az*k. Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ax, ay, az называются координатами вектора a, т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
|a|=(ax2+ay2+az2), т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.
cos2+ cos2+ cos2=1, т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
7 БИЛЕТ (Скалярное произведение) Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
|
8 БИЛЕТ (Векторное произведение) Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую. Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, который:
, где
Свойства:
|