3.2. Отображение называется оператором, если (т.Е. ).
Если
и
- линейные пространства, и
- отображение, обладающее свойствами:
;
(2)
,
(3)
то такое отображение
называют линейным отображением.
Оператор
,
определенный на линейном пространстве
и обладающий свойствами (2), (3), называется
линейным оператором.
Свойства (2), (3) можно заменить одним:
и
.
(4)
Свойства (2), (3) и обобщающее их свойство (4) называются свойствами линейности.
Из свойства (3) выводится:
.
Следовательно, любой линейный оператор
переводит нулевой элемент линейного
пространства
в нулевой элемент.
Пример 4. Доказать линейность
отображения
из примера 2.
Решение.
Заменим формулы (1), определяющие заданное отображение матричным равенством
,
где
.
(5)
Пусть
- два произвольных вектора из пространства
и
- два произвольных числа. На основании
равенства (5), выводим
.
Таким образом, установлено выполнение
свойства линейности (4). Это доказывает
линейность отображения
.
Пример 5. Доказать, что отображение
,
,
,
,
(6)
не является линейным отображением.
Решение.
Покажем, что для заданного отображения
свойство (3) не выполн.яется. Пусть
.
Т.к.
и
,
то согласно закону (6)
.
(7)
С другой стороны,
,
где
.
.
(8)
Из (7), (8) видно, в общем случае
и
.
Следовательно,
.
Значит,
- нелинейное отображение.
Пример 6. Доказать, что отображение
,
действующее в пространстве многочленов
,
является линейным оператором
Решение.
1. Сначала покажем, что
- оператор.
- оператор.
2. Теперь докажем линейность
с помощью обобщенного свойства линейности
(4).
Пусть
- два произвольных многочлена из
пространства
и
-
два произвольных числа.
.
Свойство (4) выполнено и значит, заданный
оператор
- линейный оператор.
Пример 7. Выяснить, является или
нет отображение
,
(где
-заданные квадратные матрицы второго
порядка), действующее в пространстве
матриц
,
линейным оператором?
Решение.
1.
- оператор.
2. Пусть
- две произвольные матрицы из пространства
.
,
.
.
Следовательно,
.
Не выполнение свойства (2) означает, что
заданный оператор
не является линейным.
Пример 8. Доказать, что отображение
множества
всех матриц
,
определенное формулой
,
где
,
является линейным оператором.
Решение.
1) Пусть
-
произвольные матрицы из множества
и
- произвольные числа.
.
- линейное подпространство в пространстве
.
2) Покажем теперь, что
.
=
-
оператор.
3) Осталось доказать линейность оператора
.
и
-
линейный оператор.
3.3. Пусть:
- линейный оператор, действующий в
линейном пространстве
размерности
;
- базис пространства
;
- координаты вектора
в этом базисе
;
- координаты вектора
,
являющегося образом вектора
.
Тогда действие оператора
в базисе
определяется матричным равенством
,
где
.
(9)
Матрица
называется матрицей линейного оператора
в базисе
.
Эту матрицу находят так:
- первый столбец матрицы
;
- второй столбец матрицы
;
и т.д.
Если наряду с базисом
задан другой (новый) базис
и
- координаты вектора
в базисе
;
- координаты вектора
в базисе
,
то действие оператора
в новом базисе
определяется матричным равенством
,
(10)
где
.
Матрица
-
матрицей линейного оператора
в базисе
.
Она связана с матрицей
формулой
,
(11)
где
- матрица перехода от базиса
к базису
.
Пример 9. Найти матрицу
линейного оператора
,
действующего в пространстве многочленов
по правилу
,
в стандартном базисе
.
С помощью найденной матрицы
записать действие оператора
в форме матричного равенства (9).
Решение.
По разложениям образов
элементов базиса
по этому базису найдем соответствующие
столбцы искомой матрицы
оператора
.
-
1-й столбец матрицы
.
-
2-й столбец матрицы
.
-
3-й столбец матрицы
.
Следовательно, матрица оператора
в базисе
имеет вид
.
В нашем случае,
.
.
Формула (9) (закон действия оператора
в заданном базисе
)
перепишется так:
.
Из этой формулы находим координаты
в базисе
для образа
функции
.
По координатам
восстанавливаем явное выражение для
:
.
Этот результат легко проверить
непосредственным вычислением
по заданному закону действия линейного
оператора
на многочлен
:
.
Пример 10. Найти матрицы линейного
оператора
из примера 8 в базисах
и
.
Решение.
1) Найдем матрицу
линейного оператора
в базисе
.
- 1-й столбец матрицы
.
- 2-й столбец матрицы
.
- матрица линейного оператора
в базисе
.
2) Матрицу
линейного оператора
в базисе
найдем с помощью формулы (11), которая в
нашем случае примет вид
.
Найдем матрицу
перехода от базиса
к базису
.
- 1-й столбец
.
- 2-й столбец
.
.
___________________________________________________________________________