7.2.1 Аппроксимация Баттерворта

В теории линейных электрических цепей доказывается, что оператор Лапласа произвольной и устойчивой электрической цепи, состоящей из сосредоточенных элементов, в том числе и любого фильтра, может быть записан в виде:

, (7.1)

где U₂(p),U₁(p)-изображения по Лапласу напряжений на выходе и входе цепи;b_i(i=0,1,…m),a_j(j=0,1…n)- вещественные коэффициенты;m,n- целые положительные числа, степени(порядки) полиномов числителя и знаменателя; причем всегдаm≤n. Комплексный коэффициент передачи напряжения такой цепиU₂(jω)/U₁(jω) получается из (7.1) заменой в выражении аргументаpнаjω. Частным случаем (7.1) является выражение для операторного коэффициента передачи ФНЧ:

(7.1^/)

При р=0U₂(0)/U₁(0)=b₀/a₀=K₀и тогда можно записать нормированный операторный коэффициент передачиM(p):

Нормированный комплексный коэффициент передачи ФНЧ –M(jω) также получается из последнего выражения заменой в нем аргументарнаjω.

Известно, что квадрат модуля комплексного коэффициента передачи | M(jω)|²может быть записан в виде:

и является четной функцией частотыω.(p=jω)

Функция отклонения, показывающая насколько аппроксимирующая функция G(ω²) отличается от единицы в полосе пропускания, будет:

(7.2)

Для определения коэффициентов В_iв выражении (7.2), которые обеспечивают получение максимально плоской АЧХ в полосе пропускания, функцию отклонения разлагают в ряд Тейлора в точкеx=0 и приравнивают её первыек-производных нулю. Чем большее число производных функции отклонения 1-G(x) в точкеx=0 равно нулю, тем меньше аппроксимирующая функцияG(x)отклоняется от единицы в полосе пропускания. В теории электрических цепей показывается, что максимально плоская аппроксимация наступает приk=n-1. Первые (n-1) производные функции отклонения выражаются через коэффициентыB₁,B₂,…B_n-1. Следовательно, при максимально плоской аппроксимации АЧХ в полосе пропускания должно выполняться условие :

и аппроксимирующая функция-квадрат нормированной частотной характеристики G(ω²)- принимает вид:

,

а частотная характеристика, обеспечивающая максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания ФНЧ (аппроксимация по Баттерворту), записывается в виде:

(7.3)

Частота ω_Вприведенная на рис.7.1а и отделяющая полосу пропускания от полосы заграждения ФНЧ, которую называют также частотой среза, может принимать в зависимости от практического назначения фильтра значения от долей герц до нескольких десятков килогерц. Поэтому для обобщения рассматриваемого метода синтеза фильтров вводится понятие нормированной частотыS=ω/ω_В. Очевидно, что нормированная частотаSявляется безразмерной. Введя нормированную частоту в (7.3), получим:

Множитель B_nω_В²ⁿ=ε²– называется -коэффициентом неравномерности фильтра в полосе пропускания и является также безразмерным. Полагая ε=1, получим выражение нормированной частотной характеристики фильтраY(S)в функции нормированной частотыSв виде:

(7.4)

Кривая Y(S) приведена на рис.7.2.

Кривая Y(S) рис.7.2 соответствует фиксированному значениюn, т.е. порядку фильтра. Из (7.4) следует, что при любом порядке фильтра на нормированной частотеS=1:

При S в интервале 0<S<1, криваяY(S) с увеличением порядка фильтра, приближается к единице. ПриSна интервале 1<S<∞ криваяY(S)с ростомn приближается к нулю. Следовательно, АЧХ при аппроксимации по Баттерворту с увеличениемn, оставаясь максимально плоской, вырождается в кривую с идеальной частотной характеристикой ФНЧ- рис.7.1а.

Выражение (7.4) позволяет определить порядок фильтра по заданной неравномерности АЧХ в полосе пропускания или заграждения. В самом деле, пусть в техническом задании на фильтр указаны частота среза ω_СР=ω_В и затуханиеМ_Вна частотеω_З(ω _З>ω_В) в полосе задержания. Тогда , введя нормированную частотуS_З=ω_З/ω_СР>1, после подстановки её в (7.4), получим соотношение:

откуда необходимый порядок фильтра

Обычно затуханиеМ_Вфильтра выражают в децибелах:М_В(дБ)=20lgM_В, тогда

(7.5)

Если при расчетах величина nоказывается нецелым числом, то её округляют до ближайшего целого [n]>nи определяют необходимый порядок фильтра. Пусть, например, при частоте срезаf_СР=20кГц требуется, чтобы вне полосы пропускания на частоте загражденияf_З=60 кГц затухание фильтра было не менее 30дБ. Частотеf_ВсоответствуетS_В=1, а частотеf_Знормированная частотаS_З=3. Тогда из (7.5) получаемn~3,143, выбирая наибольшее целое число, находим порядок фильтра Баттерворта [n]=4.

Определим теперь электрическую структуру синтезируемого фильтра. Для этого обратимся к выражению (7.1^/). Его знаменатель имеетnнулей (а все выражениеn-полюсов).Поэтому знаменатель выражения (7.1^/) может быть записан в виде:

Если все коэффициентыa_i(i=0,1,…n) полинома знаменателя положительные и удовлетворяют дополнительно условиям Рауса-Гурвица (необходимые и достаточные условия), то, как известно, его нулиp_iили полюсы функции (7.1^/) будут отрицательными или комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью[7].

Известно, что электрические цепи первого порядка имеют один действительный отрицательный полюс, а цепи второго порядка два комплексно-сопряженных полюса(при сравнительно высокой добротности цепи). Следовательно, из (7.1^/) получаем, что синтезируемый фильтр состоит из последовательно включенных звеньев первого и второго порядка, причем если порядок фильтра четный, то он содержит только звенья второго порядка, число которых равноn/2. Если же порядокn–нечетный, то фильтр содержит одно звено первого порядка и (n-1)/2 звеньев второго порядка, при этом порядок включения звеньев может быть произвольный.

При определении полюсов функции (7.1^/) заметим, что с помощью частотной характеристики фильтра полюсы его операторного коэффициента передачиК(р) найти нельзя ввиду отсутствия в частотных характеристиках фазовых составляющих полюсов. Известно, однако, что квадрат частотной характеристики равен произведению комплексно–сопряженных операторов устройства приp=jω:

Поскольку при синтезе фильтра используется нормированная частота S, то необходимо далее использовать понятие нормированной комплексной переменнойР=р/ω_В. Обозначив её заглавной буквойР, запишем:

где Р=jS.

Используя (7.4) , получим:

(7.6)

Из (7.6) следует, что число полюсов функции

в два раза больше числа полюсов функции К(Р), причем заранее известно, что её полюсы должны располагаться в левой полуплоскости, а полюсы функции К(-Р) в правой полуплоскости нормированной комплексной переменной. Поэтому, когда из (7.6) будут найдены все 2nполюса, необходимо будет учесть только полюсы расположенные в левой части комплексной плоскости. Этот метод определения полюсов функцииК(р) называется «методом отбора полюсов».

Приравнивая знаменатель (7.6) нулю, получаем:

1+j^(-2n) P²ⁿ=1+(-1)ⁿ P²ⁿ=0 . (7.7)

Из (7.7) следует, что все нормированные полюсы фильтра Баттерворта имеют модуль равный единице и, следовательно, должны располагаться в комплексной плоскости на окружности единичного радиуса:

Р_i =1 exp jφ_i. (7.8)

Учитывая это, найдем полюсы при различных порядках фильтра.

При n=1. Подставляя (7.8) в (7.7) получим:

,

следовательно, Р₁=expjπ=-1,P₂=expj2π=+1,

первый полюс находится в левой полуплоскости на отрицательной действительной оси, а второй - в правой полуплоскости на положительной действительной оси. Поэтому согласно методу «отбора полюсов» устанавливаем , что при n=1 полюс устройства равенР₁=-1, т.е. фильтр содержит только одно звено первого порядка.

При n=2.

Уравнение (7.7) дает:

. ЗаписываяР_i=exp_jφ_i, получаем четыре полюса:

Первый и четвертый полюс находятся в правой полуплоскости, а второй и третий- в левой. Поэтому, отбирая второй и третий полюс, находим, что при n=2, фильтр Баттерворта имеет два комплексно-сопряженных полюсаР₂иР₃и содержит, следовательно, только одно звено второго порядка.

При n=3.

Выражение (7.7) дает:

1-Р⁶=0 илиР⁶=+1=expj2π, подставляя в это уравнениеP_i=expjφ_i, получим шесть полюсов операторного коэффициента фильтраК(Р):

Три полюса-Р₁,Р₅иР₆- находятся в правой полуплоскости комплексной плоскости, которые необходимо отбросить, остальные полюсы находятся в левой полуплоскости из них третий является действительным отрицательным, соответствующим звену первого порядка, а второй и четвертый являются комплексно- сопряженными и соответствуют звену второго порядка. Следовательно, фильтр третьего порядка состоит из двух указанных звеньев. Аналогично находятся нормированные полюсы при более высоких порядках фильтра. На рис.7.3 приведены карты полюсов оператора коэффициента передачи мощности:

К(Р)К(-Р)=К_М(Р)

в комплексной плоскости( +,+j) приn=1,2,3,4 а в таблице 7.1- действительные и мнимые составляющие полюсов фильтров Баттерворта приn=2-10, расположенных только в левой полуплоскости т.е. соответствующих звеньям первого и второго порядка.

Рис.7.3

Таблица 7.1

n=2	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8	n=9	n=10
-0,707+- j0,707	-1,00	-0,3827+- j0,9238	-1,00	-0,2586+- j0,9659	-1,00	-0,1950+- j0,9808	-1,00	-0,1564+- j0,9877
	-0,500+- j0,8660	-0,9238+- j0,3827	-0,3090+- j0,9510	-0,7071+- j0,7071	-0,2225+- j0,9749	-0,5556+- j0,8315	-0,1736+- j0,9848	-0,4540+- j0,8910
			0,8090+- j5878	-0,9659+- j2580	-0,6235+- j7818	-0,8316+- j0,5556	-0,5000+- j0,8660	-0,7071+- j0,7071
					-0,9009+- j0,4339	-0,9808+- j0,1950	-0,7660+- j0,6428	-0,8910+- j0,4540
							-0,9396+- j0,3420	-0,9877+- j0,1564