Линейные пространства.

аксиомы дистрибутивности:

• (+)x=x+x;

• (x+y)=x+y.

Примеры линейных пространств.

1. Пространство V³. Пространство геометрических векторов.

2. Пространство Rⁿ. Арифметическое пространство. Роль векторов – упорядоченные наборы изnвещественных чисел.x=(x1,x2,x3,…,xn),y=(y1,y2,y3,…,yn) и т.д.. Операции сложения векторов и умножения на число определяются покомпонентно, т.е.x+y=(x1+y1,…,xn+yn),x=(x1,…,xn).

3. Пространство M_mn. Роль векторов – матрицы. Сумма матриц и умножение на число поэлементно.

4. Пространство P_n. Пространство многочленов степени не вышеn. Роль векторов – многочлены видаP=P(t)=p₀+p₁t+…+p_ntⁿ. Сложение векторов и умножение на число по правилам действия с многочленами.

5. Пространство функций непрерывных на отрезке С[_c,_c]. Векторы – функцииx=x(t),y=y(t) – непрерывные приt[_c,_c]. Сумма векторов и умножение на число по правилам действия с функциями.x+y=x(t)+y(t),x=x(t).

Следствия из аксиом линейного пространства.

1. Ноль вектор в линейном пространстве единственен.

Док-во. Допустим, что есть два 0 вектора 0₁, 0₂L. По определению имеем 0₁ +x=x,xLx=0₂;y+ 0₂ =y,yLy=0₁. 0₁ + 0₂ = 0₂; 0₁ + 0₂ = 0₁ => 0₁= 0₂.

2. У каждого вектора есть лишь один противоположный.

3. Корректно определено вычитание векторов: z=x-yz=x+(-y). Имеет место эквивалентность:a+b=ca=c-b.

Док-во. Корректность определения вычитания связана с единственностью противоположного вектора. Докажем эквивалентность.

a+b=c  a=c-b

Пусть a=c-b=c+(-b), тогда a+b=c+(-b)+b=c((-b)+b)=c+0=c

c-b=a+b+(-b_=a+(b+(-b))=a+0=a

4. 0*x=0.

Док-во. Если =0 илиx=0, тоx=0. Покажем, что при<>0 иx<>0 будетx<>0. Допустимx=0, тогдаx=1*x=((1/))x=(1/)(x)=(1/)0=0 =>x<>0.

5. 0=0.

6. x=0=0 илиx=0.

7. (-)x=(-x)= -x.

Док-во. (-)x= -x. (-x)+x=((-)+)x=0x=0 => (-)x=-x.

8. (-)x=x-x; (x-y)=x-y.

Док-во. (-)x=x-x=(+(-))x=x+(-)x=x-x.

Множество векторов MLобразуетподпространство в линейном пространствеL, если М замкнута относительно сложения векторов и умножении их на числа, т.е.из того, чтоx,yM, тогдаz-x+yM, еслиxMиR=>xM.

Св-ва подпространств.

1. Если М подпространство, то 0М и для любогоxM, => -xM.

Док-во. Для xMимеем 0=0xMпо определению, –x=(-1)xMпо определению.

L=R⁴={x=(x1,x2,x3,x4),xiR}

M1={x=(,0,,0),,R}R⁴

M2={x=(,1,,0),,R}R⁴

Тогда М1 – подпространство в R⁴, а М2 не является подпространствомR⁴. Дляx,yM1 имеемx=(1,0,1,0),y=(2,0,2,0),x+y=(1+2,0,1+2,0)M1,x=(1,0,1,0)M1, значит М1 подпространство вR⁴. М2 не подпространство, например не содержит 0.

2. Подпространство линейного пространства само является линейным пространством.

Док-во. Операции сложения векторов и умножения на числа определены на всём линейном пространстве L, а значит и на МL, причём результаты снова в М по определению подпространства. По св-ву 1 М содержит 0 вектор и дляxM+> -xM. Все остальные аксиомы линейного пространства выполнены на всёмL, а значит и на М. Вывод: М является линейным подпространством.

Вектор xLназываетсялинейной комбинацией векторов изS, если существует набор чисел1,…,kRтакой, чтоx=1x1+…+kxk.

Мн-во М=L(S) всех линейных комбинаций векторов из системыSназывается линейной оболочкойсистемыS.

S1={a},aV³;L(S1)={a;R} – все векторы, коллинеарныеa.

S2={a, 2a}; L(S2)={x=1a+₂2a; 1,2R}={a}=L(S1)

S3={a,b;not(a||b)};L(S3)={x=a+b:,R} – мн-во всех векторов плоскости, заданной векторамиaиb.

Теорема.Линейная оболочка системы векторов образует подпространство.

Док-во. Пусть Sсистема векторов {x1,…,xk}L,L(s)={x=1x1+…+kxk:1,…kR} (1). Дляx,yL(S) имеем в силу (1)x=1x1+…+kxk,y=1y1+…+kyk;x+y=(1+1)x+…+(k+k)xkL(S)

x=1x1+…+kxkL(S) =>L(S) подпространство вL.Замечание.L(s) есть наименьшее подпространство, содержащее все векторы системыS.

Система S={x1,…,xk} называетсялинейно независимой, если равенство1x1+…+kxk=0 возможно только, когда все коэффициенты нулевые.

Системы Sназываетсялинейно зависимой, если существует не нулевой набор коэффициентов1,…,k<>0 (хотя бы один) для которого справедливо равенство1x1+…+kxk=0.

Св-ва линейной зависимости и независимости.

1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. S={x} лин. зав.x=0. Еслиx=0, то 1*x=0 верно, хотя коэффициент1=1<>0. Если жеx<>0 и<>0, то произведениеx<>0. Т.е.S={x} линейно независима.

2. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы пропорциональны., т.е. S={x,y} лин. зав.R, x=y||y=x.

Док-во. Пусть x=y, тогда 1*x+(-)y=0, хотя набор коэффициентов (1,-)<>(0,0), значит система линейно зависима. Пусть система {x,y} линейно зависимая система, тогда1,2R, (1,2)<>(0,0), такое что1x+2y=0. Пусть например2<>0, тогда2y=(-1)x=>y=(-1/2)x, т.е.y=xпри=-1/2R.

3. Если некоторая часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Док-во. S={x₁,…,x_k,x_k+1,…,x_n) иS0={x1,…xk} – линейно зависима. Покажем, чтоS– линейно зависима. Т.к.S0 – линейно зависима, то существует набор (1,..,k) не совпадающий с (0,…,0), такой что1x1+…+kxk=0. Тогда рассмотрим (1,…,k,0,…,0}<>{0,…,0}, но1x1+…+kxk+0x_k+1+…+0xn=0.S– линейно зависима.

Следствие 1.Всякая часть линейно зависимой системы векторов линейно независима.

Следствие 2.Система, содержащая 0 вектор линейно зависима.

Следствие 3.Система, содержащая два одинаковых или два пропорциональных вектора линейно зависима.

4. Критерий линейной зависимости.Для того, чтобы система векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из её векторов был линейной комбинацией других.

Док-во. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие, например xk=1x1+…+_k-1x_k-1, тогда1x1+…+_k-1x_k-1+(-1)xk=0, хотя набор коэффициентов <> (0,…,0) =>S– линейно зависима. ЕслиSлинейно зависима, то(1,…,_k-1,k) не все нули, такие что1x1+…+_k-1x_k-1+kxk=0. пусть напримерk<>0, тогда получим1x1+…+_k-1x_k-1=(-k)xk=>xk= (-1/k)*x1+…+(-_k-1/k)*x_k-1, т.е. векторxkлинейно выражается через другие.

5. Расширение линейно независимой системы. При добавлении в линейно независимую систему нового вектора она станет линейно зависимой тогда и только тогда, когда новый вектор входит в её линейную оболочку.

S={x1,…,xk} линейно независима.

xL, тогдаS1={x1,…,xk,x} станет линейно зависимойxL(S).

S={x1,…,xk}, xL

S1={x1,…,xk,x}

Док-во. Если xL(S), тоS1 – линейно зависима. т.к. один из её векторовxлинейно выражается через другие. ПустьS1 линейно зависима, покажем, чтоxL(S). По определению линейной зависимостинабор чисел {1,…,k,} не нулевой, такой что линейная комбинация1x1+…+kxk=0 =>1=k=0, т.е. (1,…,k,) – нулевой набор. Вывод: чтобы сохранять линейную независимость надо добавлять векторы, не входящие в линейную оболочку.

Система Sназываетсяполной вL, если любой вектор x линейно выражается через вектора системы, т.е.1,…,kR: x=1x1+…+kxk.

Линейное пространство Lназываетсяконечномерным, если в нём полные системы, состоящие из конечного числа векторов.

Линейно независимая полная система называется базисом.

Теорема.ЕслиS={e1,…,ek} – базис вL, то для любогоxизLсуществует единственное разложение по базису:x=x1e1+…+xkek.

Коэффициенты разложения x=x1e1+…+xkekвектораxLпо по базисуSназываетсякоординатами векторав этом базисе. Из теоремы видим, что каждый вектор однозначно определяется набором координат.

Теорема.Сложение векторов и умножение их на числа производится покоординатно. Т.е. еслиx=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn) – координаты векторов в базисеS, то векторx+y=(x1+y1,…,xn+yn), а векторx=(x1,…,xn).

Док-во. x=(x1,…,xn) x=x1e1+…+xnen; y(y1,…,yn) y=y1e1+…+ynen; x+y=(x1+y1)e1+…+(xn+yn)en x+y=(x1+y1,…,xn+yn).

Теорема. В конечномерном линейном пространстве число векторов в любой линейно независимой системе не больше числа векторов в любой полной системе.

E={e1,…,ek} линейно независима

F={f1,…,fm} полна вL

то k<=m

Теорема. Все базисы конечно мерного пространства содержат одинаковое число векторов.

Док-во. S={e1,…,en} – базис вL

S`={f1,…,fn} – другой базис вL

Тогда S– линейно независима, аS` - полна =>n<=m. С другой стороныS– полна, аS` - линейно независима =>m<=n. Следовательно,n=m.

Размерностьюконечно мерного пространства называется число векторов в любом базисе этого пространства. обозначениеdimL=n.

Утверждение.Вn-мерном линейном пространствеLвсякая система изm>=n+1 векторов линейно зависима.

Док-во. Пусть S={e1,…,en} – базис вL,S` - любая система {f1,…,fm}, гдеm>=n+1. ТогдаS` - линейно зависима. Если быS` - была линейно независима, то т.к. базисS– полная система, то имели быm<=n.

Утверждение.Вn-мерном пространстве всякая система изnлинейно независимых векторов образует базис.

Док-во. Пусть dimL=n,S={e1,…,en} линейно независима. Докажем её полноту. ДействительноxLсистемаS1={e1,…,en,x} линейно зависимаxL, т.е. разлогается по системеS. Значит,Sпо определению полна вL. ИтакS– линейно независима и полна.

В n– мерном пространстве всякая полная система изn– векторов – базис.

Построение базисов в конкретных линейных пространствах.

L=V³– пр-во геометрических векторов.

Утверждение. Базис вLобразует любая система из трёх некомпланарных векторов.

Размерность L равна 3.

Док-во. Пусть S={a,b,c} некомпланарные векторы, чтоSлинейно независима. Покажем, чтоSполна вL=V³, т.е.вV³есть разложение по системеS:d=a+b+c. Запишем векторыa,b,c,dчерез координаты в базисе {i,j,k}.a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz),d=(dx,dy,dz).

<>0, т.к. векторы a,b,cне компланарны.

Система с не нулевым определителем имеет единственное решение, значит разложение существует.

Следствие.В пр-веV³любая система из 4 и более векторов линейно зависима.

L=Rⁿ– арифметическоеn-мерное пространство.

Утверждение. dimRⁿ=n; пример базиса вRⁿдаёт системаS={e1,e2,…,en}, гдеe1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0)…en=(0,0,…,1) канонический базис вRⁿ.

Док-во. Докажем полноту. x=(x1,x2,…,xn)Rⁿимеем равентсвоx=x1e1+x2e2+…+xnen. Действительноx=(x1,0,…,0)+(0,x2,…,0)+…+(0,0,…,xn)=x1(1,0,…,0)+x2(0,1,0,…,0)+…+xn(0,0,…,1)=x1e1+x2e2+…+xnen. Пусть 0=1e1+2e2+…+nen. Покажем, что все коэффициенты нули1=n=0. Действительно 0=(0,0,…,0)=1(1,0,…,0)+2(0,1,0,…,0)+…+n(0,0,…,1)=(1,2,…,n) =>1=2=…=n=0. Вывод:S– линейно независима и полна, т.е.S– базис вRⁿ.

Следствие.РазмерностьRⁿ=n. ВRⁿлюбая система изm>=n+1 векторов линейно зависима.

L=Pn– пр-во многочленов степени не вышеn.

L=Pn={p(t)=p0+p1t+…+pntⁿ:pkR}

Утверждение.РазмерностьPn=n+1, при этом пример базиса даёт система:S={1,t,…,tⁿ}.

Док-во. p(t)Pnимеемp(t)=p0+p1t+…+pntⁿ– разложение по системеSс коэффициентамиp0,p1,…,pn.pPnимеемp(t)=p0e0(t)+p1e1(t)+…+pnen(t) разложение по системеS. Линейная независимость. Если0e0(t)+1e1(t) +…+nen(t)=0, т.е.0+1t+…+ntⁿ0, то покажем, что0==…=n=0. Дифференцируем это множествоnраз. Получаем0=1=…=n=0.

Пусть L– линейное пространство, МL, М – подпространство. Тогда само М является линейным пространством. Обозначимn=dimL,m=dimM.

Теорема.Размерность подпространства не выше размерности пространства.m<=n. Еслиm=n, то подпространство совпадает со всем пространством. Еслиm<n, то базис подпространства М можно достроить до базиса всего пространстваL.

Док-во. Sm={e1,e2,…,em} – базисв М. ТогдаSm– линейно не зависимая система векторов изLи число векторов вSmне больше, чем размерностьL=n, т.е.m<=n. Пустьm=n, тогда базисSmподпространства М будет линейно независимой системой векторов вLс числом векторов равнымn=dimL, значит такая система образует базис вL, т.е.Smбазис в М иL. Следовательно, её линейная оболочкаL(Sm)=L, т.к.Smбазис вL. Значит, в М=L. Пустьm<n, тогда базисSnподпространства М будет линейно независимой системой векторов вL, но не базисом, значитSmне полна вL, т.е. существует векторe_m+1L\L(sm). Добавим этот вектор в систему.S_m+1={e1,…,em,e_m+1}. Эта система линейно независима. Еслиm+1=n, тоS_m+1, базис вL. Еслиm+a<n, тоS_m+1не полна вLи можно найти векторe_m+2L,e_m+2L(S_m+1). Добавив его получим системуS_m+2={e1,…,em,e_m+1,e_m+2} (линейно независима). Еслиm+2=n, тоS_m+2базис вL. Продолжая построение в результате получим системуSnлинейно независимую, она и есть базис вL.

Рангом r(S) системы векторовSназывается размерность её линейной оболочки:r(S)=dimL(S).

Базой(максимальной линейно независимой подсистемой) системыSназывается её подсистемаS` со свойствами:

1. S` - линейно независима;

2. все векторы из Sлинейно выражаются через векторы изS`.

Замечание. Если системаSлинейно независима, то она сама является своей базой.

Теорема. База системы векторов образует базис в её линейной оболочке.

Док-во. Пусть S– система векторов,S` - её база. ТогдаS` линейно независима, любой вектор изL(S) линейно выражается через векторы изS, а они в свою очередь линейно выражаются через векторы системыS`. В итоге любой векторxL(S) линено выражается через векторы изS`. Это означает, чтоS` полна вL(S), следовательноS` - базис вL(S).

Следствие.Все базы содержат одинаковое число векторов, равное рангу системы.

Следствие.ЕслиS` линейно независимая подсистема системыSи число векторов вS` равно рангуS, тоS` - база системы.

Замечание.Если система линейно независима, то размерность её линейной оболочки (её ранг) равен числу векторов в ней, т.к. она сама является своей базой.

Пусть L– линейное пространство,S={e1,…,ek},S1={f1,…,fm} – системы векторов изL.

Теорема.Если все векторы изS1 линейно выражаются через векторы изS, то ранг системыS1 не больше, чем рангS(r(S1)<=r(S)).

Док-во. Покажем, что L(S1)L(S). ДляxL(S1) есть линейное выражение этого вектора через векторы изS1. Но они линейно выражаются через векторы изS. В итоге получаем линейное выражение вектораxL(S1) через векторы изS, т.е.xL(S). Доказали, что еслиxL(S1), тоxL(S).L(S) – линейное пространство,L(S1) – подпространство =>dimL(s1)<=dimL(S),r(S1)<=r(S).

Элементарными преобразованиямисистемы векторов преобразования вида:

1. перестановка двух векторов в системе;

2. умножение одного из векторов системы на число не равное нулю;

3. добавление к одному из векторов другого с некоторым коэффициентом.

Замечание.Если одна система получена из другой с помощью элементарных преобразований, то и та в свою очередь получается из новой с помощью обратных элементарных преобразований.

Теорема.Если одна система получена из другой с помощью элементарных преобразований, то их ранг одинаков.

Док-во. Если S1 получена изSэлементарными преобразованиями, то векторы изS1 линейно выражаются через векторы изS. r(S1)<=r(S). В свою очередь векторы изSвыражаются через векторы изS1 с помощью обратных элементарных преобразований, значитr(S)<=r(S1). Значит r(S)=r(S1).

Замечание.При элементарных преобразованиях база системы может исчезнуть.