Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

a_problembook

.pdf

Скачиваний:

288

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

465.26 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

P(−3 ≤ ξ ≤ 1) = P(−3) + P(−1) + P(0) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 1 = 0, 5.

12.5. Из урны, содержащей 5 белых и 25 черных шаров, вынули один шар. Рассмотрим случайную величина ξ — число вынутых белых шаров, которая может принимать два значения ξ = 0 — не вынут белый шар (вынут чёрный) и ξ = 1 — вынут белый шар. Составить ряд распределения, найти функцию

распределения и плотность вероятности случайной величины ξ.

−

≤ x

x < 0

; Fξ(x) =

5/6,

x < 1

= 65 u(x) + 61 u(x

1);

5/6

1/6

≤

fξ(x) = 65 δ(x) + 61 δ(x − 1).

12.6. Составить ряд распределения и найти функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при четырёх бросках, если вероятность попадания

при одном броске равна 0,6.
	ξ1		0		1		2			3		4	,
	P		0, 0256		0, 1536		0, 3456		0, 3456			0, 1296	,

			i∑
				3		0, 6i 0, 43−i
	F	(x) =			Ci	0, 6i 0, 43−i		u(x		−	i)	= 0, 0256 u(x) + 0, 1536 u(x		−	1) +
	ξ1			4						−				−
				=0

+0, 3456 u(x − 2) + 0, 3456 u(x − 3) + 0, 1296 u(x − 4).

12.7. Из партии в 25 изделий, среди которых 5 бракованных, взяты 3 изделия. Найти ряд и функцию распределения числа бракованных изделий в выборке.

		ξ		0			1		2				3			, Fξ(x) =			3	i	1	i	4	3−i
		ξ		0			1		2				3							i	1	i	4	3−i	u(x − i) =
																				C3	5		5
		P	64/125			48/125			12/125				1/125						=0	C3	5		5
																			=0		( ) ( )
64	u(x) +			48	u(x	−	1) +	12		u(x	−	2) +		1	u(x		−	3).	i∑
125	u(x) +			125	u(x		1) +	125		u(x		2) +		125	u(x			3).	i∑
125				125				125						125

12.8. Два баскетболиста поочерёдно бросают мяч в кольцо, выигрывает тот, кто первым попадёт. Пусть случайная величина ξi — число бросков i-го игрока (i = 1, 2). Найти ряды распределения и написать функции распределения случайных величин ξ1 и ξ2, если вероятности их попадания равны соответственно

0,4 и 0,7.

∞

ξ1

. . .

, Fξ1 (x) = 0, 6n−1 · 0, 4 · u(x − n).

0, 4

0, 24

. . .

0, 6n−1

0, 4

. . .

ξ1

. . .

n∑∞

, Fξ1 (x) = n=10, 3n−1 · 0, 7 · u(x − n).

0, 7

0, 21

. . .

0, 3n−1 · 0, 7

. . .

распределения

12.9. Случайная величина

задана функцией

∑

x < 0

Fξ(x) =

ax,

x < 2 .

x ≤

≥

Найти а) коэффициент a и построить функцию Fξ(x); б) найти плотность вероятности fξ(x) и построить её график; в) P(12 ≤ ξ ≤ 32 ).

а) a = 1/2;

0, x < 0

б) fξ(x) =

21 , 0

x < 2 ;

0, x

≤

в) P(21

≥

≤

ξ ≤

23 ) = P(21 < ξ ≤ 23 ) = P({ξ ≤ 23 } r {ξ ≤ 21 }) =

P(ξ ≤ 2 ) − P(ξ ≤ 2 ) = Fξ(

2 ) − Fξ(2 ) =

4 .

12.10. Случайная величина ξ задана функцией распределения

x < 0

Fξ(x) =

21 x + 21 , 0

x < 1 .

x ≤

≥

Построить функцию

F (x)

найти плотность вероятности f

(x) и медиану слу-

чайной величины ξ.

1 δ(x),

≤

, медиана x = 0.

fξ(x) =

2 ,

0 < x < 1

x ≥ 1

12.11.

Случайная величина ξ задана функцией распределения

x < 0

Fξ(x) =

32 x + 31 , 0

x < 1 .

x ≤

≥

Построить функцию

F (x)

найти плотность вероятности f

(x) и медиану слу-

чайной величины ξ.

1 δ(x),

≤

fξ(x) =

, медиана x = 4 .

3 ,

0 < x < 1

x ≥ 1

12.12.

Случайная величина ξ задана функцией распределения

x < 0

Fξ(x) =

1 x

x <

+ 4 , 0 ≤

2 .

x ≥

(x) и медиану слу-

Построить функцию

F (x)

найти плотность вероятности f

чайной величины ξ.

3 δ(x),

, медиана x = 0.

≤ x < 1

fξ(x) =

2 ,

0 <

x ≥

12.13.

Случайная величина ξ задана функцией распределения

x < 0

Fξ(x) = ax2, 0 x < 3 .

x ≤ 3

≥

Найти коэффициент a и построить функцию Fξ(x); найти плотность вероятности fξ(x) и построить её график; найти медиану; найти P(12 ≤ ξ ≤ 32 ).

x < 0

√

a = 1/9; fξ

(x) =

92 x,

≤

x < 3 ;

медиана

2, 12; P(21

≤

23 ) =

≥

P(21 < ξ

23 ) = P(

ξ ≤

23 } r {ξ ≤ 21 }) =

3 ≤

P(ξ ≤ 2 ) − P(ξ

≤ 2 ) = Fξ(

2 ) − Fξ(2 ) = 4 .

12.14. Случайная величина ξ задана функцией распределения

)

x < 0

(

≥

Fξ(x) =

+ 3 , 0

x < 1 .

≤

Построить функцию

(x)

найти плотность вероятности f

(x) и построить её

;

график; найти медиану.

δ(x), x

≤

fξ(x) =

2 x, 0 < x < 1 ;

медиана 0.

x ≥ 1

12.15.

Случайная величина ξ задана функцией распределения

≤

Fξ(x) =

(x + 1) , 0 < x < 1 .

x ≥ 1

Построить функцию

(x)

найти плотность вероятности f

(x) и построить её

;

график; найти медиану.

δ(x),

≤

fξ(x) =

0 < x < 1 ;

медиана 1/2.

3 δ(x − 1), x ≥ 1

12.16.

Случайная величина ξ задана функцией распределения

Fξ(x) =

≤

3 x + 2

, 0 < x < 1 .

x ≥ 1

Построить функцию

(x)

найти плотность вероятности f

(x) и построить её

;

график; найти медиану.

δ(x),

≤

fξ(x) =

0 < x < 1 ;

медиана 0.

6 δ(x − 1), x ≥ 1

12.17.

Случайная величина ξ задана функцией распределения

≤

Fξ(x) =

(x + 2) , 0 < x < 1 .

≥

Построить функцию Fξ(x); найти плотность вероятности fξ(x) и построить её график; найти медиану.

	1
	1	δ(x),	x	≤	0
	1			≤
fξ(x) =	3	,	0 < x < 1 ; медиана 1.
fξ(x) =	6	,	0 < x < 1 ; медиана 1.
	2 δ(x − 1), x ≥ 1

Случайная величина ξ задана функцией распределения
12.18.		Fξ(x) =
						0,				x	≤		0
						1	(	1	)		≤		0
							(		)		≥
						2 x + 3 , 0 < x < 1 .
						1,				x			1
Построить функцию Fξ(x); найти							плотность вероятности fξ(x) и построить её
график; найти медиану.
	1
	1	δ(x),	x	≤	0
	1			≤
fξ(x) =	6	,	0 < x < 1 ;					медиана 1/2.
fξ(x) =	3	,	0 < x < 1 ;					медиана 1/2.
	2 δ(x − 1), x ≥ 1
Случайная величина ξ задана функцией распределения
12.19.			Fξ(x) =
							0,		x	≤		0
							1	1		≤
							2 x + 3		, 0 < x < 1 .
							1,		x ≥ 1
Построить функцию Fξ(x); найти							плотность вероятности fξ(x) и построить её
график; найти медиану.
	1
	1	δ(x),	x	≤	0
	1			≤
fξ(x) =	3	,	0 < x < 1 ;					медиана 1/3.
fξ(x) =	3	,	0 < x < 1 ;					медиана 1/3.
	6 δ(x − 1), x ≥ 1
Случайная величина ξ задана функцией распределения
12.20.			Fξ(x) =
							0,		x	≤		0
							1	1		≤
							6 x + 2		, 0 < x < 1 .
							1,		x ≥ 1
Построить функцию Fξ(x); найти							плотность вероятности fξ(x) и построить её
график; найти медиану.
	1
	1	δ(x),	x	≤	0
	1			≤
fξ(x) =	2	,	0 < x < 1 ;					медиана 0.
fξ(x) =	6	,	0 < x < 1 ;					медиана 0.
	3 δ(x − 1), x ≥ 1
Случайная величина ξ задана функцией распределения
12.21.			Fξ(x) =
							0,		x	≤		0
							1	1		≤
							3 x + 6		, 0 < x < 1 .
							1,		x	≥		1
							1,		x			1

Построить функцию Fξ(x); найти плотность вероятности fξ(x) и построить её график; найти медиану.

	1	δ(x),	x 0
	6		≤
fξ(x) =	1	,	≤
fξ(x) =	3	,	0 < x < 1 ; медиана 2/3.
	1	δ(x − 1), x ≥ 1
	2	δ(x − 1), x ≥ 1

12.22. Найти плотность вероятности, медиану и моды непрерывной случай-

ной величины ξ, заданной функцией распределения
						0,		x < a
					Fξ(x) =		xb−aa	, a ≤ x ≤ b .
						1−,		x > b
	0,				x < a
fξ(x) =			1	,	a ≤ x ≤ b , медиана x =				a+b	, мод нет.
fξ(x) =		b	a	,	a ≤ x ≤ b , медиана x =				2	, мод нет.
	0−,				x > b

12.23. Найти параметры a и b, плотность вероятности, медиану и моды непрерывной случайной величины ξ, заданной функцией распределения

Fξ(x) = a + b arctan x.

a = 12 , b = π1 , fξ(x) = π1 · 1+1x2 , медиана x = 0, одна мода x = 0.

12.24. Найти параметры a и b, плотность вероятности, медиану и моды непрерывной случайной величины ξ, заданной функцией распределения

x < −1

Fξ(x) = a + b arcsin x,

−1 ≤ x ≤ 1 .

x > 1

x <

−

a = 21 , b = π1 , fξ(x) =

√

−1 < x < 1 , медиана x = 0, мод нет.

−

x > 1

12.25. Найти

плотность вероятности, медиану и моды непрерывной случай-

ной величины ξ, заданной функцией распределения

Fξ

(x) =

(−

)

x < 0

−

≥

{

exp

, x

2σ2

x < 0

fξ(x) = {

x ≥ 0 , медиана x = σ√

, мода x = σ.

exp

−

2 ln 2

σ2

2σ2

каком значении параметра α функция f (x) =

α 2 является

12.26. При

(

)

1+x

плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины ξ. Найти её функцию распределения, медиану и моды.

α = 1	, Fξ(x) = 1	+ 1	arctan x, медиана x = 0, мода x = 0.
π	2	π
12.27. При каком значении параметра α функция fξ(x) = {				0,	x < 0
12.27. При каком значении параметра α функция fξ(x) = {				αe−αx,	x ≥ 0

является плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины ξ. Найти её функцию распределения, медиану и моды.

x < 0

α > 0, Fξ(x) = { 1 − e−αx, x ≥ 0 , медиана x = lnα2 , мода x = 0.

12.28. При каком значении параметра α функция

x < −b

α,

−

≤

−

≤

b ≤ x ≤ −a

fξ(x) =

−a < x < a

α,

x > b

некоторой непрерывной случайной величины

является плотностью вероятности

ξ. Найти её функцию распределения, медиану и моды.

0,x+b

x < −b

−b ≤ x ≤ −a

2(b−a)

α =

, Fξ(x) =

−

a , медиана x = 0, мод нет.

2 ,

a < x <

2(b

−

≤

−

2(b

1, −

x > b

значении параметра α функция f (x) =

exp

12.29. При каком

α√2π

− 2σ

является плотностью вероятности некоторой непрерывной

случайной величи-

(

)

ны ξ. Найти её функцию распределения, медиану и моды.

(x−a)2

−∞ exp (−

) dx, медиана x = a, мода x = a.

α = σ, Fξ(x) =

σ√

2σ2

2π

12.30. Проверить,

что функция

∫

x < 1

fξ(x) =

, 1 ≤ x ≤ 2

0,−

x > 2

является плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины

ξ. Найти её функцию распределения, построить график и найти медиану.

x < 1

√

Fξ(x) =

21 (x2 − x),

1 ≤ x ≤ 2 ,

медиана

x > 2

12.31.

Проверить, что функция

x < 0

fξ(x) =

21 sin x,

0 ≤ x ≤ π

x > π

является плотностью

вероятности некоторой непрерывной случайной величины

ξ. Найти её функцию распределения, построить график, найти медиану и найти

P(0 < ξ < π/4).
	0,	x < 0		√
	21 (1 − cos x),	1 ≤ x ≤ 2 ,	медиана π/2, (2			0, 5858.
Fξ(x) =	21 (1 − cos x),	1 ≤ x ≤ 2 ,	медиана π/2, (2		2)/4	0, 5858.
	1,	x > π		−

12.32. а) При каком значении параметра α функция

fξ(x) = {	0,	x < 0	,
	αx2e−λx, x ≥ 0

где λ > 0, является плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины ξ. б) Найти её функцию распределения и построить график. в) Найти

P(0 < ξ < 1/λ).

α =

λ3

(x) = 1

(λ2x2

+ 2λx + 2)e−λx

F ( 1 )

F (0) =

а)

; б)

−

; в)

−

2e.

ξ λ

ξα

12.33. а) При каком значении параметра α функция fξ(x) = ex+e x является плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины ξ.

б) Найти её функцию распределения и построить график.

в) Найти того, что в двух независимы измерениях ξ примет значения меньшие единицы.

	2			2		2		4		2
а) α =		;	б) Fξ(x) =		;	в) (Fξ(1))	=		arctan		e 0, 6015.
а) α =	π	;	б) Fξ(x) =	π(ex+e x)	;	в) (Fξ(1))	=	π2	arctan		e 0, 6015.

§13. Начальные и центральные моменты случайных величин

13.1. Ряд распределения случайной величины ξ имеет вид

	ξ	−1	0		1		2	. Найти математическое ожидание и дисперсию.
	P	−1	0, 2	0, 3			0, 4	. Найти математическое ожидание и дисперсию.
	P	0, 1	0, 2	0, 3			0, 4
	Mξ	= 1;	Dξ =	1.
	13.2. Дана плотность вероятности случайной величины
							fξ(x) =		0,		x < 0
							fξ(x) =		α(4x	−	x3), 0 x < 2 .
									0,	−	x ≤ 2
											≥
Найти параметр				α	,	математическое ожидание и дисперсию.
Найти параметр					,

α = 1/4; Mξ = 16/15; Dξ =?.

13.3. Дана плотность вероятности случайной величины

	0,	x <	2
h,		2	−x < −1

		− ≤
		≤
fξ(x) = 0,		−1 ≤ x < 1 .
	3h,	1	x < 2
	3h,	1	x < 2


	0,	x ≥ 2
	0,	x ≥ 2

Найти параметр h, математическое ожидание и дисперсию. h = 1/4; Mξ = 3/4; Dξ =?.

13.4. Дана плотность вероятности случайной величины

				0,	x < 0
						≤
		f (x) =		2h,	0	x < 1 .
		ξ	h,		1	≤ x < 2
					x ≥ 2
				0,	x ≥ 2
Найти параметр	h	математическое ожидание и дисперсию.
Найти параметр	,

h = 1/3; Mξ = 5/6; Dξ = 11/36.

13.5. Дана плотность вероятности случайной величины

	0,				x < 2
fξ(x) =	α(x	−	2)(4	−	x), 2	≤	x < 4 .
	0,	−		−	x	≤	4
						≥

Найти параметр α, математическое ожидание и дисперсию. h = 3/4; Mξ = 3; Dξ =?.

13.6. Дана плотность вероятности случайной величины

{

fξ(x) =	αx,	x [0;	1] .
	0,	x / [0;	1]

Найти параметр α, математическое ожидание и дисперсию.

α = 2; Mξ = 2/3; Dξ =?.

13.7. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но не более трех раз. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,8. Случайная величина ξ — количество произведенных бросков. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию..

ξ	1	2	3	; Mξ = 1, 24; Dξ = 0, 2624.

P	0, 8	0, 16	0, 04

13.8. В урне 2 белых и 3 черных шара. Наудачу вынимаются два шара. Случайная величина ξ — число белых шаров среди вынутых. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию.

ξ	0	1	2	; Mξ = 0, 8; Dξ = 0, 36.
P	0, 3	0, 6	0, 1	; Mξ = 0, 8; Dξ = 0, 36.
P	0, 3	0, 6	0, 1

13.9. На шахматную доску поставлен слон. Случайная величина ξ — число клеток, которые стоят под ударом этого слона. Найти ряд распределения,

математическое ожидание и дисперсию.
	ξ	7	9	11	13	; Mξ =	35	= 8, 75;	Dξ = 55	= 3, 4375.
		7/16	5/16	3/16	1/16
	P						4		16

13.10. В группе из 10 студентов, изучающих английский язык, 8 нижегородцев и 2 иногородних. Для социологического опроса случайным образом выбирают двух студентов из этой группы. Пусть ξ — число нижегородцев среди выбранных. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию.

ξ		0				1				2			; Mξ = 1, 6; Dξ =?.

P	C80·C22			1	C81·C21			16	C82·C20			28
P	C102		=	45	C102		=	45	C102		=	45

13.11. Лотерея заключается в розыгрыше трех номеров из шести. Порядок выпадения выигрышных номеров не важен. Выигрыш при угадывании одного номера из трех составляет 20 рублей, двух номеров из трех - 100 рублей, всех трех номеров - 500 рублей. Найти средний выигрыш при покупке одного билета лотереи. выигрыша. Найти ряд распределения и средний выигрыш при покупке

одного билета лотереи.
	ξ			0				20					100							500			; Mξ = 79 рублей.

		C0	C3			1	C1	C2		9		C2	C1			9		C3		C0		1
	P	3	·3	3	=	1	3	·3 3	=	9		3	·3 3	=		9		3	·	3 3	=	1
	P		·3	3	=	20		·3 3	=	20			·3 3	=	20				·	3 3	=	20
		C6				20	C6			20		C6			20			C6				20
	13.12. Дана плотность вероятности случайной величины
								fξ(x) =			{		α(3x		−		x2),			x [0; 3] .
											{		0,		−					x / [0; 3]

Найти параметр α, математическое ожидание и дисперсию.

α = 2/9; Mξ = 3/2; Dξ = 9/20.

13.13. Дана плотность вероятности случайной величины

fξ(x) =	α(6x	−	x2), x [0;	6] .
{	0,	−	x / [0;	6]

Найти параметр α, математическое ожидание и дисперсию.

α = 1/36; Mξ = 3; Dξ = 9/5.

Основные дискретные распределения

Случайная величина, имеющая конечное или счётное пространство элементарных событий, называется дискретной.

§14. Биномиальное распределение

Случайная величина ξn, имеющая конечное пространство элементарных событий Ω = {0, 1, 2, . . . , n}, подчиняется биномиальному распределению, если вероятность наступления события ξn = k определена по формуле

P(ξn = k) = Cnkpkqn−k,

где 0 < p < 1 и q = p−1. При n = 1 это распределение является распределением Бернулли. Это распределение зависит от двух параметров: n и p.

На практике биномиальное распределение возникает при следующих условиях. Пусть производится n независимых испытаний (опытов), в каждом из которых появляется либо событие А ("успех") с вероятностью p, либо противоположное событие A ("неудача") с вероятностью q = p−1. Случайная величина

ξn есть число "успехов появившихся при n испытаниях.

Основные числовые характеристики: Mξn = np, Dξn = npq, σ = √npq. Наиболее вероятное значение, т.е. мода m , случайной величины ξn удовле-

творяет неравенству np − q ≤ m ≤ np + p.

14.1. По каналу связи по очереди независимо друг от друга передаются 5 сообщений (n = 5). Каждое сообщение искажается с вероятностью p = 0, 3. Случайная величина ξ5 — количество искаженных сообщений. Построить ряд распределения; найти Mξ5, Dξ5, σ, m , а также вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений, т.е. P(ξ5 ≥ 2).

ξ5	0	1	2	3	4	5		,
P = C5k · 0, 3k · 0, 75 k	0, 168	0, 36	0, 309	0, 133	0, 028	0, 002
Mξ5 = 5 · 0, 3 = 1, 5; Dξ5 = 5 · 0, 3 · 0, 7 = 1, 05; σ =						√		1, 03;
							1, 05

P(ξ5 ≥ 2) 1 − 0, 168 − 0, 36 = 0, 472.

14.2. Вероятность того, что при трех независимых выстрелах стрелок попадет в цель хотя бы один раз, равна 0,992. Найти математическое ожидание, дисперсию и моду числа попаданий при 20 выстрелах.

≥

31) = 1

= 1

−

C0p0

−

p)3 = 0, 992

P( 3

− P(

. Имеем уравнение:

1 − (1 − p)

= 0, 992, или (1 − p)

= 0, 008. Отсюда 1 − p = 0, 2, или p = 0, 8.

η20 — количество попаданий в цель при двадцати выстрелах имеет биномиальное распределение с вероятностью p = 0, 8 попадания в цель при одном выстреле. Поэтому Mη20 = 20 · 0, 8 = 16; Dη20 = 20 · 0, 8 · 0, 2 = 3, 2. Для нахождения моды воспользуемся неравенством np − q ≤ m ≤ np + p. Тогда

20 · 0, 8 − 0, 2 ≤ m ≤ 20 · 0, 8 + 0, 8, или 15, 8 ≤ m ≤ 16, 8. Значит m = 16.

14.3. Вероятность брака при производстве приборов составляет 10%. С какой вероятностью среди 6 приборов, взятых для контроля, окажется ровно 2 бракованных?

P(ξ6 = 2) = C62 · 0, 12 · 0, 94 = 0, 098415.

14.4. Студент может правильно решить задачу из контрольной работы с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что из предложенных шести задач варианта он решит ровно 4 задачи?

P(ξ6 = 4) = C64 · 0, 34 · 0, 72 = 0, 059535.

14.5. Из колоды в 36 карт 7 раз подряд наудачу выбирают карту, всякий раз возвращая её в колоду и перемешивая. С какой вероятностью ровно 5 из выбранных карт будут пиковой масти?

P(ξ7 = 5) = C5 ( 9 )5 (27 )2 0, 0115.

7 36 36

14.6. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину ξ число извлеченных белых шаров, составить ряд распределения этой величины, определить ее математическое ожида-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.41 Mб5AVS.pdf
#
10.09.2019854.02 Кб5avtomobil.doc
#
19.12.2018199.17 Кб6Avtoref_ryjakov.doc
#
14.07.20191.18 Mб22avtorov_gendernaya_psihologiya_2009.rtf
#
27.03.201587.64 Кб75azia_s_21.docx
#
03.05.2015465.26 Кб288a_problembook.pdf
#
27.03.20152.73 Mб49babanskii_yu_k_pedagogika.doc
#
25.04.2019334.85 Кб1babulya.doc
#
21.04.2019236.54 Кб4balabanov.doc
#
27.03.201537.48 Кб9bankovskie_produkty_i_uslugi.docx
#
27.03.20151.73 Mб28Bankovskoe_pravo_Bankovskaya_sistema_Rossyskoy.rtf