a_problembook

97−1 = 0, 597871 0, 6.

8·106

3.37. В коробке пять одинаковых на ощупь изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

3.38. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

C3 C0

103 5 = 24/91 0, (263736).

C15

3.39. В ящике 100 деталей, из них 10 окрашенных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет окрашенных; б) нет неокрашенных.

3.40. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

C5 C3

8 8 4 = 112/165 0, 68.

C12

3.41. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

C1 C9

110 9 = 3/77 0, 04.

C100

3.42. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбирается наугад шесть изделий. Определить вероятность того, что среди этих шести изделий два

окажутся бракованными.

C2 C4

5 6 45 0, 00000967.

C50

3.43. В партии из n деталей имеется s стандартных. Наудачу отобраны l деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стан-

дартных.

Csk Cnl ks .

Cnl

3.44. Из колоды, содержащей 36 карт, вынимают 6 карт. Какова вероятность

того, что среди них были карты каждой масти?

C41 C93 (C91)3+ C42 (C92)2 (C91)2 . C366

3.45. Из колоды, содержащей 52 карты, вынимают 6 карт. Какова вероят-

ность того, что среди них были карты каждой масти?

C41 C133 (C131 )3+ C42 (C132 )2 (C131 )2 . C526

3.46. В лотерее r билетов, из которых t выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Определить вероятность того, что он выиграет хотя бы на один билет.

Cr t

1 − r k .

Cr

11

3.47.В эфир одновременно выходят n российских и n зарубежных радиолюбителей (соединение попарное). Какова вероятность полного международного диалога?

n!/(2n − 1)!!.

3.48.В зале, насчитывающем (n + k) мест, случайным образом занимают места n человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные

m ≤ n мест.

Cnn+−km−m /Cnn+k

3.49.За круглым столом случайным образом рассаживаются n человек (n ≥ 3). Найти вероятность того, что двое из присутствующих, назовём их A и B, случайно окажутся рядом.

2n/n!.

3.50.Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятность следующих событий: A – каждому из них гардеробщица выдаст его собственную шляпу, B – ровно трое получат свои шляпы, C – ровно двое получат свои шляпы, D – ровно один получит свою шляпу, E – никто из них не получит свою шляпу.

P(A) = 1/4! = 1/24, P(B) = 0, P(C) = 1/3, P(D) = 1/3, P(E) = 1/4.

§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Опыт с выбором k элементов из множества, состоящего из n элементов легко представить себе следующим образом.

Пусть в ящике (множестве) содержатся n шаров (элементов), одинаковых на ощупь и занумерованных числами 1, 2, . . . , n.

Извлекая из урны k шаров (k ≤ n), получим выборку из n по k шаров. Если мы не будем учитывать порядок, в котором шары извлекаются, то такая выборка называется сочетанием. Если порядок будем учитывать, т.е. будем выкладывать шары в ряд в порядке извлечения, то такая выборка называется

размещением.

Короче, выборка без учёта порядка поступления шаров называется сочетанием, а выборка с учётом порядка поступления шаров называется размещением.

Пример 1. В ящике 5 шаров. Выборки (1, 2, 4) и (4, 2, 1) реализуют одно и то же сочетание, но два разных размещения.

Извлечении шаров можно подчинить одному из двух требований: вынутый шар либо не возвращают в ящик, либо номер шара записывают, и шар возвращают в ящик. В первом случае сочетания и размещения называются без повторений, а во втором они называются сочетания и размещения с повторениями.

Пример 1. 1) В примере 1 выборки (1, 2, 4) и (4, 2, 1) реализуют сочетание

12

и размещения без повторений, но могут появиться в опыте как без, так и с возвращениями.

2) Выборки (1, 1, 4) и (4, 1, 1) могут появиться только в опыте с возвращениями и реализуют и сочетание, и размещения с повторениями.

Один ящик с шарами

Пусть имеется ящик, содержащий n занумерованных шаров.

1. Число сочетаний из n шаров по k без повторений (т.е. в опыте без возвращений) равно

Читается: C из n по k.

2. Число размещений из n шаров по k без повторений (т.е. в опыте без воз-

Читается: A из n по k.

3. Число размещений из n шаров по k с повторениями (т.е. в опыте с возвра-

щениями) равно

Ak(n) = nk.

Читается: A из n в скобках по k.

4. Число сочетаний из n шаров по k с повторениями (т.е. в опыте с возвра-

щениями) равно

C(kn) = Cnk+k−1.

Читается: C из n в скобках по k.

Несколько ящиков с шарами.

Пусть даны m ящиков с шарами, причём i-й ящик содержит ni занумерованных шаров, в каждом ящике содержатся шары одного цвета, а в разных ящиках

— разных цветов.

При подсчёте количеств элементарных исходов µ(Ω) и µ(A) часто используют следующие утверждения.

1. Опыт состоит в выборе m шариков — по одному шарику из каждого ящика. Тогда общее число N возможных способов выбора определяется по основной формуле комбинаторики:

N = n1n2 . . . nm.

Так как 1) выборка одного шара реализует как сочетание, так и размещение и 2) при выборке одного шара не важно возвратят ли его в ящик, то эту же формулу полезно интерпретировать так:

2. Опыт состоит в выборе 2m шариков — по два шарика из каждого ящика.

13

2.1. Если шарики не возвращают в ящики и не учитывают порядок их появления, то общее число C возможных способов выбора определяется по формуле

2.2. Если шарики не возвращают в ящики, но учитывают порядок их появления, то общее число A возможных способов выбора определяется по формуле

A= A2n1 A2n2 . . . A2nm .

2.3.Если шарики возвращают в ящики и учитывают порядок их появления, то общее число A(m) возможных способов выбора определяется по формуле

A(2m) = A2(n1)A2(n2) . . . A2(nm) = n21n22 . . . n2m.

2.4. Если шарики возвращают в ящики и учитывают порядок их появления, то общее число C(m) возможных способов выбора определяется по формуле

C(2m) = C(2n1)C(2n2) . . . C(2nm).

......................................

k. Опыт состоит в выборе k1 шариков из 1-го ящика, k2 шариков из 2-го ящика, . . . , km шариков из m-го ящика.

k.1. Если шарики не возвращают в ящики и не учитывают порядок их появления, то общее число C возможных способов выбора определяется по формуле

k.2. Если шарики не возвращают в ящики, но учитывают порядок их появления, то общее число A возможных способов выбора определяется по формуле

k.3. Если шарики возвращают в ящики и учитывают порядок их появления, то общее число A( ) возможных способов выбора определяется по формуле

k.4. Если шарики возвращают в ящики и учитывают порядок их появления, то общее число C( ) возможных способов выбора определяется по формуле

Случаи, рассмотренные в пп. k.1 — k.4, независимы и поэтому допустимо их комбинирование. Например, если 1-й ящик удовлетворяет условию п. k.1;

14

2-й — п. k.2; 3-й — п. k.3; 4-й — п. k.4, то общее число A возможных способов выбора определяется по формуле

Выводы.

1.При выборе нужной формулы для нахождения общего числа исходов µ(Ω)

ичисла благоприятствующих исходов µ(A) в большинстве случаев достаточно ответить на два вопроса по поводу условий опыта. Первый вопрос: проводится ли выбор элементов с возвращением или без него (т.е. получается выборка с повторениями или нет), а второй - учитывается ли порядок элементов в выборке или нет (т.е. является ли выборка размещением или сочетанием).

2.Если выбор проводится с возвращением, то при отсутствии указаний на особые условия проведения опыта порядок элементов в выборке следует учитывать, иначе элементарные исходы не будут равновозможными. Если же выбор производится без возвращения, то порядок элементов можно учитывать или не учитывать. Обычно он учитывается только в случаях, когда появление рассматриваемого события зависит от порядка элементов.

3.Если при подсчёте общего числа исходов µ(Ω) порядок элементов учитывается (не учитывается), то его следует учитывать (не учитывать) и при подсчёте числа благоприятствующих событию A исходов µ(A).

4.1.Найти вероятность P (A) по данным вероятностям: P (A ∩ B) = 0, 72,

P (A ∩ B) = 0, 18. P (A) = 0, 9.

4.2.Найти вероятность P (A∩B) по данным вероятностям: P (B) = b, P (A

B) = c.

P (A ∩ B) = c − b.

4.3.Найти вероятность P (A∩B) по данным вероятностям P (A) = a, P (B) = b, P (A ∩ B) = c.

P (A ∩ B) = 1 − a − b + c.

4.4.В одном ящике содержится 5 белых и 10 красных шаров, в другом

—10 белых и 5 красных. Из каждого ящика вынуто по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар.

7/9.

4.5.Монету подбрасывают до появления первого орла. Найти вероятность того, что орёл выпадет при чётном подбрасывании.

1/3.

4.6.Вероятность попадания во вражеский корабль одной торпедой равна 1/2. Какова вероятность потопить корабль четырьмя торпедами, если для его

потопления достаточно попадания одной торпедой?

1 − (1/2)4 = 15/16 = 0, 9375.

4.7. Из ящика, содержащего 10 красных и 6 синих пуговиц, вынимают наудачу 2 пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

15

0,5.

4.8. Из урны, содержащей 3 белых и 4 чёрных шара, вынимают последовательно с возвращением 5 шаров и записывают их цвета: б – белый, ч – чёрный.

Какова вероятность, что получится последовательность чбччб?

47 · 37 · 47 · 47 · 37 = 372453 0, 034.

4.9. Из урны, содержащей 3 белых и 4 чёрных шара, вынимают последовательно с возвращением 5 шаров и записывают их цвета: б – белый, ч – чёрный. Какова вероятность записать либо чбччб, либо бчбчч?

2·325·43 0, 069.

7

4.10. Из урны, содержащей 3 белых и 4 чёрных шара, вынимают последовательно с возвращением 5 шаров. Какова вероятность, что будут вынуты 2 белых и 3 чёрных шара?

4.11. Из урны, содержащей 3 белых и 4 чёрных шара, вынимают последовательно с возвращением 5 шаров и запоминают их цвета. Какова вероятность, что будут вынуты либо 2 белых и 3 чёрных, либо 1 белый и 4 чёрных шара?

C2C3+C1C4

3 4C75 3 4 = 5/7.

4.12. Из урны, содержащей 10 шаров, занумерованных цифрами от 0 до 9, достают один за другим с возвращением 8 шаров и записывают их номера. Какова вероятность, что получится последовательность 08032014?

10−8.

4.13.В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых

и5 красных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероят-

ность того, что среди двух вынутых шаров хотя бы один шар будет белый.

1 − 1015 · 155 = 79 .

4.14.Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

(1 − 0, 05)3 = 0, 857375.

4.15.В библиотеке на полке расставлены 15 учебников в случайном порядке, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти

вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

1 − C123 /C153 = 47/91.

4.16. В ящик положили 10 шаров, из которых четыре окрашены. Затем вынули три шара. Найти вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров окрашен.

1 − C63/C103 = 5/6.

4.17. Вероятности каждого из двух независимых событий A1 и A2 соответственно равны p1 и p2. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

P((A1 ∩ A2) (A1 ∩ A2)) = P(A1 ∩ A2) + P(A1 ∩ A2) − P(A1 ∩ A2 ∩ A1 ∩ A2) =

16

P(A1)P(A2) + P(A1)P(A2) − P( ) = p1(1 − p2) + (1 − p1)p2 = p1 + p2 − 2p1p2.

4.18. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна p1, а вторым – p2. Они делают по одному выстрелу. Найти вероятность того, что только один из них промажет.

p1 + p2 − 2p1p2.

4.19.Для оповещении об аварии установлены два независимых датчика. Вероятность срабатывания при аварии одного равна 0,95, а другого – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один датчик.

0,995.

4.20.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле в мишень попадает только второй стрелок.

0,24.

4.21.В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти

вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

C32/C62 = 1/5.

4.22. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

C52/C1002 = 1/495.

4.23.Вероятность попадания в цель при одном выстреле батареей из 2-х орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

0,475.

4.24.Отдел контроля проверяет лекарства на стандартность. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных лекарств только одно удовлетворяет стандарту.

0,18.

4.25.Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия

высшего сорта.

C32 · 0, 82 · 0, 2 = 0, 384.

§5. Геометрическая вероятность

Геометрическое определение вероятности обобщает вероятность на конечных и счётных пространствах элементарных событий на случай несчётных пространств Ω. Пусть Ω представляет собой измеримое множество дибо на числовой прямой R1, либо на плоскости R2, либо в пространстве R3, либо в n-мерном про-

17

странстве Rn. Измеримость множества означает, что оно имеет конечную длину на прямой R1, либо конечную площадь на плоскости R2, либо конечный объём

впространстве R3, либо конечный обобщённый объём в Rn 1.

Впространстве R1 в качестве множеств будем рассматривать только отрезки и их объединения, т.е. множества, имеющие длину; в пространстве R2 — те множества, которые имеют площадь; в R3 — множества, имеющие объём; в Rn, n > 3, — множества, имеющие обобщённый n-мерный объём. Под мерой µ(A) множества A Rn будем понимать длину, площадь, объём или обобщённый объём в зависимости от n.

Будем считать, что пространство элементарных исходов Ω Rn имеет конечную меру и точки ω Ω (элементарные исходы) в этом опыте возникают так, что вероятность попадания ω в любое измеримое множество A Ω пропорциональна µ(A) и не зависит ни от формы A, ни от расположения A в пространстве Ω (свойство равной мерности). Такой опыт называют геометрической схемой.

Итак, пусть случайный опыт представляет собой геометрическую схему, A и Ω — измеримые подмножества пространстваA Rn, имеющие меры µ(A) и µ(Ω). Тогда вероятностью событияA называют число

P(A) = µµ((Ω)A).

Это определение называют геометрическим определением вероятности, а вероятность P(A) геометрической вероятностью.

5.1. Точное значение физической величины округляют до ближайшего целого числа. Найти вероятность того, что абсолютная величина ошибки округления (событие A) не превысит 0,1.

Ω = [−0, 5; 0, 5), A = (−0, 1; 0, 1), P(A) = = 0, 2.

5.2.На клетчатую скатерть с размером клетки 5 см невеста уронила обручальное кольцо радиуса 1 см. Определить вероятность того, что кольцо не пересечет ни одну из линий.

16/25.

5.3.На клетчатую скатерть с размером клетки 5 см невеста уронила обручальное кольцо радиуса 1 см. Определить вероятность того, что кольцо охватит общую вершину каких-нибудь четырёх клеток.

π/25.

5.4.Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков с длинами, не превышающими длину единичного отрезка, можно составить треугольник.

1/2.

5.5.Палку длины L случайным образом делят на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно сложить треугольник?

1Итальянский математик Джузеппе Витали (26.08.1875 — 29.02.1932, Italy) открыл множества, мера (длина, площадь, объём и обобщённый объём) которых не может быть выражена вещественным числом. Такие множества называются не измеримыми.

18

1/4.

5.6. На отрезке длины L наудачу поставлены две точки M и N. Определить вероятность того, что длины каждого из трех образовавшихся отрезков не превосходят заданной величины α, где L/3 < α < L.

5.7.На окружности наудачу выбираются три точки A, B, C. Какова вероятность того, что треугольник ABC будет иметь тупой угол?

3/4.

5.8.Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения x2+2ax+b = 0 вещественны, если значения коэффициентов a, b равновозможны в квадрате

−1 ≤ a ≤ 1, −1 ≤ b ≤ 1. 2/3.

5.9.На отрезке [a, b] наудачу выбираются две точки и рассматривают сле-

дующие события: A — левая точка ближе к b, чем к a; B — расстояние между точками больше (b − a)/2; C — правая точка ближе к левой, чем к b. Найти вероятности этих событий и их пересечений.

P(A) = P(B) = 1/4, P(C) = 1/2, P(A) ∩ P(B) = P(A) ∩ P(C) = 0, P(B) ∩ P(C) = 1/8.

5.10. Два студента договорились о встрече между 12 и 13 часами дня у деканата. Какова вероятность их встречи, если появление каждого равновозможно на этом интервале, а времена их ожидания равны соответственно τ1 и τ2

5.11. К пристани в течение ближайшего часа в случайные моменты времени

должны подойти два пассажирских судна. Одновременное причаливание обоих судов невозможно. Время высадки и посадки пассажиров с первого судна составляет 10 мин, а со второго – 20 мин. Найти вероятность того, что одному из судов придётся ожидать освобождения пристани (событие A).

µ(Ω) = 602 = 3600 (мин2), µ(A) = 602 − 0, 5 (502 + 402) = 1550 (мин2),

P(A) = 3172 .

5.12. Чтобы попасть в университет, студенту приходится ехать последовательно на трёх автобусах разных маршрутов. Интервалы движения автобусов на этих маршрутах совпадают и равны τ минут. С какой вероятностью общее время, потраченное студентом на ожидание автобусов (событие A), не превзойдёт τ минут?

5.13. Какое должно быть отношение радиуса R к толщине H монеты, чтобы вероятность её падения на ребро была бы равна 1/3? Какова вероятность P(o)

19

выпадения орла?

√

R/H = 2, P(o) = 1/3. П о д с к а з к а: Пространство элементарных событий в этой задаче есть полный телесный угол (равный 4π) с вершиной в центре монеты.

5.14. Из отрезка натурального ряда {1, 2, . . . , N} по схеме случайного выбора с возвращением выбираются два числа m и n. Пусть pN — вероятность

события m2 + n2 ≤ N2. Найти p3 и lim pN .

N→∞

4/9; π/4.

5.15. В слое воздуха толщины H во взвешенном состоянии висят пылинки радиуса r. Средняя концентрация пылинок равна λ штук в одной кубической единице. Найти вероятность того, что тоненький лучик света, перпендикулярный слою (в идеале лучик есть прямая), не пересечёт ни одной пылинки.

e−πr2λH . У к а з а н и е. Решим задачу для цилиндрического слоя радиуса R > r. Луч света, перпендикулярный слою, окружим виртуальным цилиндром радиуса r и найдём вероятность того, что центры всех n = πR2λH пылинок

5.16. Грош положили под пресс и деформировали так, что получилась полусфера с орлом на её внешней стороне. Какова вероятность выпадения орла при подбрасывании такого ломаного гроша?

Пространством элементарных событий является полный телесный угол2 с вершиной в центре тяжести ломаного гроша. Вероятность выпадения орла равна меньшей части полного телесного угла с вершиной в центре тяжести полусферы, которая ограничена экватором полусферы. Если Π = {x2 + y2 + z2 = R2, z ≥ 0}

—полусфера, имеющая поверхностную плотность массы равной 1, и (0, 0, zc)

—центр тяжести, то

√

Расстояние от центра тяжести до точек экватора равно r = R 5 . Искомый те-

2 √

лесный угол опирается на часть поверхности сферы радиуса r = R2 5 , которая

2Напомним, что если σ — площадь какой-нибудь части поверхности сферы радиуса r, то телесный угол

свершиной в центре сферы, опирающийся на эту часть поверхности сферы, равен r2 , в частности полный телесный угол равен площади сферы на её радиус, т.е. 4π стерадиан.

20