III.Практическая часть. Задача о назначениях.

Решение венгерским методом

Некоторая компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы вполне достаточны, для, того, чтобы вместить один из этих заказов. В нижеприведенной таблице содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем. Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?

Сбытовая база	Расстояние, км. потребители
	1	2	3	4
1	68	72	74	83
2	56	60	58	63
3	38	40	35	45
4	47	42	40	45

Для нахождения оптимального решения воспользоваться «венгерским методом».

Строим матрицу:

68 72 74 83

56 60 58 63

38 40 35 45

47 42 40 45

Решим ее венгерским методом.

1. Найдем в каждой строке минимальное значение и вычтем его из каждого элемента данной строки,(отмечены полужирным курсивом).

68 72 74 83 0 4 6 15

56 60 58 63 Получим 0 4 2 7

38 40 35 45 матрицу: 3 5 0 10

47 42 40 45 7 2 0 5

2.Выберем в каждом столбце матрицы минимальный элемент и вычтем его из каждого элемента данного столбца: (отмечены полужирным курсивом).

0 4 6 15 0 2 6 10

0 4 2 7 0 2 2 2

3 5 0 10 3 3 0 5

7 2 0 5 7 0 0 0

3.Определяем число нулей в каждой строке: 1-1, 2-1, 3-1, 4-3и в каждом столбце: 1-2, 2-1, 3-2, 4-1. Максимальное число нулей (3) содержит 4-я строка и 1-й и 3-й столбец. Минимальным числом прямых вычеркнем все нули в матрице. Среди не вычеркнутых элементов выберем минимальный (выделен полужирным курсивом и подчеркнут – 2 ).

0 2 6 10

0 2 2 2

3 3 0 5

7 0 0 0

Прибавим его к элементам, стоящим на пересечении прямых и вычтем из всех не вычеркнутых элементов. Теперь перераспределим соответствующие назначения сбытовых баз и потребителей.

Получим скорректированную матрицу с назначениями для нулевых клеток:

0 0 7 8

0 0 2 0

3 1 0 3

9 0 2 0

Вычеркнем из матрицы ненужные нули:

0 0 7 8

0 0 2 0

3 1 0 3

9 0 2 0

Теперь требование о размещении четырех назначений в клетки с нулевой стоимостью выполняется, следовательно полученное решение является оптимальным. Перевозки осуществляются со сбытовой базы 1-к потребителю 1, с базы 2- к потребителю 2, с базы 3 – к потребителю 3 и с базы 4 – к потребителю 4. В результате в начальной таблице суммируются клетки, соответствующие выбранным элементам итоговой таблицы(по диагонали – 68+60+35+45=208), это и будет минимальное решение данной задачи.

Ответ: заказы по сбытовым базам распределены оптимально, общая дальность минимальна – 208 км.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Линейное программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования. В данном курсовом проекте был рассмотрен метод линейного программирования ,на примере задачи : венгерский метод.

Суть венгерского метода состоит в следующем: путем прибавления определенным образом найденных чисел к некоторым столбцам и вычитания из них некоторых чисел находят систему так называемых независимых нулей. Набор нулей называется системой независимых нулей, если какие два9или больше) нуля не лежат на одной линии (в строке или столбце). Если число независимых нулей равно n, то приняв соответствующие им переменные xij равными 1, а все остальные – равными 0, получаем оптимальный план назначения.

Алгоритм венгерского метода состоит из предварительного шага и не более чем (n-2) последовательно повторяющихся итераций. На предварительном этапе в случае решения задачи на максимум, ее преобразуют в эквивалентную задачу на минимум. На этом же этапе выделяется система независимых нулей. Каждая последующая итерация направлена на увеличение хотя бы на 1 числа независимых нулей. Как только число независимых нулей k станет равным размерности матрицы (k=n), задача решена. Оптимальный план назначения определится положением независимых нулей на последней итерации.

Разработанная программа позволяет контролировать процесс ввода исходных данных путем вывода на экран соответствующих комментариев о некорректности вводимых показателей, что помогает своевременно устранить заведомо неверный исход решения задачи. У пользователя имеется возможность наблюдать за процессом решения, поскольку на экран выводятся результаты каждого этапа, согласно методике решения данного типа задач. Программный продукт можно использовать при изучении курса экономико-математические методы и модели в целях контроля правильности решения задач о назначениях венгерским методом, а также на предприятиях, где необходимо решить проблему по размещению кадров для осуществления экономически целесообразной деятельности.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ

1. Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г.

2. Акулич И. А. «Математическое программирование в примерах и задачах». - М.: «Высшая школа», 2010.

3. Ашманов С.А. «Линейное программирование»,- М.: 2011г.

4. Балдин.К.В. «Математическое программирование»/ К.В.Балдин – М: Издательство «Дашков и К», 2009.

5. Васильев Ф.П., «Линейное программирование»/ Ф.П., Васильев, А.Ю. Иваницкий,2009.

6. Вершик А.М. «О Л.В. Канторовиче и линейном программировании»,2010г

7. Глебова Н.В. «Применение методов линейного программирования для решения экономических задач»: учебно –методическое пособие для студентов 3 курса ВВАГС, 2001 г.

8. Карасев А.Н. «Математические методы в экономике»/ А.Н.Карасев,Н.Ш.Кремер,Т.Н.Савельева,2010.

9. Лищенко А.В., «Линейное и нелинейное программирование»,2011.

10. Партыка, Т.Л. «Математические методы»: учебник. / Т.Л. Партыка, И.И.2009г.

11. Цирель, С. В. «Венгерский способ»/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007 г.

12. Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010 г.

1Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г. - 224 с.: ил.

2 Вершик А.М. «О Л.В. Канторовиче и линейном программировании»,2010г.,с.45

3 Агальцов, В.П. «Математические методы в программировании»: учебник. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2009 г. - 224 с.: ил.

4 Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010.- 104 с.

5Ашманов С.А. «Линейное программирование»,- М.: 2011г,с.235

6Балдин.К.В. «Математическое программирование»/ К.В.Балдин – М: Издательство «Дашков и К», 2009.с.67

7 Васильев Ф.П., «Линейное программирование»/ Ф.П., Васильев, А.Ю. Иваницкий,2009,с.76

8 Шапкин, А.С. «Математические методы» / А. Шапкин. Учебник. Москва, 2010- 100 с

9Лищенко А.В., «Линейное и нелинейное программирование»,2011.С.84

10Хазанова Л.Э. «Математическое программирование в экономике»: Учебное пособие. - М.: Издательство БЕК, 2008. - 141с.

11Акулич И. А. «Математическое программирование в примерах и задачах». - М.: «Высшая школа», 2010.с 319

12 Там же

13Карасев А.Н. «Математические методы в экономике»/ А.Н.Карасев,Н.Ш.Кремер,Т.Н.Савельева,2010.с.35

14Акулич И. А. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: «Высшая школа», 2010- 319 с.

15 Цирель, С. В. «Венгерский способ»/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007.- 120 с.

16Цирель, С. В. Венгерский способ/ С. Цирель. Москва: УРСС, 2007.- 120 с.

17Там же

18 Глебова Н.В. «Применение методов линейного программирования для решения экономических задач»: учебно –методическое пособие для студентов 3 курса ВВАГС, 2001.,с.53

29