- •4.Лабораторные работы
- •4.1.2. Задание
- •4.2.2. Задание
- •4.3.2. Задание
- •4.4.2. Задание
- •4.5.2. Задание
- •4.6.2. Задание
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Список литературы:
- •4.8.1.2. Пример отчетной ведомости по расчету просроченных платежей
- •4.8.1.3. Пример отчетной ведомости по расчету затрат на производство
- •4.8.2. Индивидуальное задание
- •Порядок отчета лабораторной работы:
- •4.9.2. Задание
- •Решение задачи планирования производства
- •Контрольные вопросы:
- •Список литературы:
Решение задачи планирования производства
Рассмотрим следующую задачу планирования производства.
Небольшая фабрика выпускает два типа красок: для внутренних (I) и наружных (Е) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в табл. 4.10.1. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски Е и 2000 руб. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Таблица 4.10.1. Исходные данные задачи
Исходный продукт
|
Расход исходных продуктов на тонну краски, т
|
Максимально возможный запас, т
| |
краска Е
|
Краска I
|
| |
А В
|
1 2
|
2 1
|
6 8
|
Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:
1. Для определения, каких величин строится модель (т.е. каковы переменные модели)?
2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?
3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?
Задача планирования производства в общем виде записывается следующим образом:
;
;
dj <= Xj <= Dj;
i=1,m; j=1,n;
где F – целевая функция; Cj - прибыль получаемая от реализации единицы продукции j-го типа, Хj – количество выпускаемой продукции j – го типа, - норма расходаi- ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа, -количество располагаемого ресурсаi – го вида, Dj – максимально возможный выпуск j- вида продукции , dj – минимально возможный выпуск продукции j- вида .
В нашем случае фабрике необходимо спланировать объем производства красок так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются:
XI— суточный объем производства краски I и XE — суточный объем производства краски Е. Суммарная суточная прибыль от производства XI краски I и XE краски Е равна
Z = 3000*XE + 2000*XI .
Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений XE и XI таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т. е. целевую функцию Z.
Перейдем к ограничениям, которые налагаются на XE и XI. Объем производства красок не может быть отрицательным, следовательно:
XE, XI >=0
Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не может превышать максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно:
XE +2 XI <=6,
2 XE + XI <=8.
Кроме того , ограничения на величину спроса на краски таковы:
XI - XE <=1,
XI <=2.
Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:
Максимизировать
Z=3000* XE +2000* XI
При следующих ограничениях:
XE +2* XI <=6,
2* XE + XI <=8,
XI - XE <=1,
XI <=2,
XI, XE >=0
Заметим, что данная модель является линейной, т. к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.
На листе книги создадим таблицу Исходные данные и отведем диапазон ячеек под решение .(рисунок 4.10.1).
В ячейку D13 введем функцию цели =E4*C11+E5*D11
В ячейки D16: D19 соответственно:
=C11+C4*D11
=B5*C11+D11
=D11-C11
=D11
В ячейки С11, D11 введем начальные значения, т.е. нулевые значения.
После этого выберем команду Сервис, Поиск решения (Tools, Solver) и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения (Solver), как показано на рисунке 4.10.2.
Рисунок 4.10.1 - Диапазоны, отведенные под исходные данные
Рис. 4.10.2 - Диалоговое окно Поиск решениязадачи о планировании производства красок
После нажатия кнопки Выполнить (Solve) открывается окно Результаты поиска решения (Solver Results), которое сообщает, что решение найдено (рисунок 4.10.3).
Результаты расчета нашей задачи (оптимальный план производства и соответствующая ему прибыль) представлены на рисунке 1.1. Как видно из рисунка, оптимальным является производство 3,33 т краски Е и 1,33 т. краски I в сутки. Этот объем производства принесет фабрике 12666,66 тыс. руб. прибыли.
Рисунок 4.10.3 - Диалоговое окно Результаты поиска решения
Элементы диалогового окна Поиск решения. В поле Установить целевую ячейку диалогового окна Поиск решения дается ссылка на ячейку с функцией, для которой будет находится максимум, минимум или заданное значение. В задаче о производстве красок в поле Установить целевую ячейку вводится D13.
Тип взаимосвязи между решением и целевой ячейкой задается путем установки переключателя в группе Равной. Для нахождения максимального или минимального значения целевой функции этот переключатель ставится в положение Максимальному значению или Минимальному значению соответственно. Для нахождения значения целевой функции, заданного в поле группы Равной, переключатель ставится в положение значению. В нашей задаче о красках установим переключатель в положение Максимальному значению, т.к. планируем производство, обеспечивающее максимальную прибыль.
В поле Изменяя ячейки указываются ячейки, которые должны изменяться в процессе поиска решения задачи, т. е. ячейки отведенные под переменные задачи. В нашем случае в поле Изменяя ячейки введем диапазон C11:D11.
Ограничения, налагаемые на переменные задачи, отображаются в поле Ограничения. Средство поиска решений допускает ограничения в виде равенств, неравенств, а так же позволяет ввести требование целочисленности переменных. Ограничения добавляются по одному. Для ввода ограничений нажмите кнопку Добавить в диалоговом окне Поиск решения и в открывшемся диалоговом окне Добавление ограничений заполните поля (рисунок 2.10.4).
Рисунок 4.10.4 - Диалоговое окно Добавление ограничений
В поле Ссылка на ячейку введите левую часть ограничения D16, а в поле Ограничение - правую часть , в нашем примере D4. с помощью раскрывающегося списка вводится тип соотношения между левой и правой частями ограничения. В нашем примере это >=.Таким образом, требование неотрицательности переменных задано.
Нажмите кнопку Добавить в диалоговом окне Добавление ограничения и введите последовательно всю группу ограничений, налагаемых на переменные. Нажатие кнопки ОК завершает ввод ограничений. Обратите внимание на то, что ограничения удобнее задавать в виде диапазонов.
Теперь нажмите Параметры в диалоговом окне Поиск решения, для того чтобы проверить, какие параметры заданы для поиска решений (рисунок 4.10.5).
Рисунок 4.10.5 - Диалоговое окно Параметры поиска решения
Рассмотрим элементы этого окна:
Поле Максимальное время (Max Time) служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи
Поле Предельное число итераций (Iteration) служит для ограничения числа промежуточных вычислений
Поля Относительная погрешность (Precision) и Допустимое отклонение
(Tolerance) служат для задания точности, с которой ищется решение. Рекомендуется после нахождения решения с величинами данных параметров, заданными по умолчанию, повторить вычисления с большей точностью и меньшим допустимым отклонением и сравнить с первоначальным решением. Использование подобной проверки особенно рекомендуется для задач с требованием целочисленности переменных.
Флажок Линейная модель (Assume Linear model) служит для поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной аппроксимации нелинейной задачи. В случае нелинейной задачи этот флажок должен быть сброшен, в случае линейной задачи — установлен, т. к. в противном случае возможно получение неверного результата
Флажок Показывать результаты итераций (Show Iteration Results) служит для приостановки поиска решения и просмотра результатов отдельных итераций.
Флажок Автоматическое масштабирование (Use Automatic Scaling) служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, например, при максимизации прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.
Группа Оценка (Estimates) служит для выбора метода экстраполяции.
Группа Производные (Derivatives) служит для выбора метода численного дифференцирования.
Группа Метод (Search) служит для выбора алгоритма оптимизации.