Задание №3.
Таблица 9. 40% выборка.
№ предприятия |
Факторный признак |
Себестоимость произведенной продукции | |
1 |
6800 |
2 |
6235 |
6 |
2512 |
9 |
2657 |
10 |
3782 |
11 |
5123 |
15 |
2369 |
16 |
2999 |
19 |
5637 |
23 |
5123 |
По факторному признаку была произведена 40 % выборка случайным видом отбора. При случайном отборе единицы в выборочную совокупность попадают бессистемно.
Найдём среднюю выборочной совокупности:
Найдём дисперсию:
Найдём среднюю ошибку выборки:
Найдём предельную ошибку выборки:
P=0,945
t=2
Найдём пределы, в которых находится генеральная средняя:
Среднее значение генеральной совокупности входит в пределы изменения среднего значения в выборочной совокупности. Данная выборка является представительной. Результаты анализа по данным выборочной совокупности можно использовать для описания всей совокупности.
Задание №4.
Рисунок 2. Зависимость результативного признака от факторного.
Выборочный линейный коэффициент корреляции:
Так как , то связь между признакомY и фактором X заметная и обратная.
Уравнение регрессии:
Коэффициент регрессии b = -5.8E-5 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -5.8E-5.
Коэффициент a = 0.56 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения. Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.
Задание №4. (дополнение)
Рисунок 3. Зависимость результативного признака от факторного.
Форма уравнения регрессии - линейная. Она выражается уравнением прямой: y = a0 + a1*x. Выбрана эта форма по причине того, что даны два показателя: факторный и результативный.
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции.
Выборочный линейный коэффициент корреляции:
Так как , то связь между признакомY и фактором X заметная и обратная.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε. Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти. Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x). Формально критерий МНК можно записать так: S = ∑(yi - y*i)2 → min
Система нормальных уравнений. a•n + b∑x = ∑y a∑x + b∑x2 = ∑y•x Для наших данных система уравнений имеет вид: 25a + 122522 b = 6.81 122522 a + 706512504 b = 27184.79 Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение: Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -5.8E-5, a = 0.5585 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): y = -5.8E-5 x + 0.5585 Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу:
Таблица 101.
x |
y |
x2 |
y2 |
x • y |
6800 |
0.16 |
46240000 |
0.0256 |
1088 |
6235 |
0.21 |
38875225 |
0.0441 |
1309.35 |
3986 |
0.08 |
15888196 |
0.0064 |
318.88 |
5000 |
0.16 |
25000000 |
0.0256 |
800 |
3623 |
0.12 |
13126129 |
0.0144 |
434.76 |
2512 |
0.35 |
6310144 |
0.12 |
879.2 |
7521 |
0.1 |
56565441 |
0.01 |
752.1 |
8901 |
0.19 |
79227801 |
0.0361 |
1691.19 |
2657 |
0.44 |
7059649 |
0.19 |
1169.08 |
3782 |
0.22 |
14303524 |
0.0484 |
832.04 |
5123 |
0.07 |
26245129 |
0.0049 |
358.61 |
5127 |
0.27 |
26286129 |
0.0729 |
1384.29 |
6988 |
0.19 |
48832144 |
0.0361 |
1327.72 |
9364 |
0.22 |
87684496 |
0.0484 |
2060.08 |
2369 |
1.03 |
5612161 |
1.06 |
2440.07 |
2999 |
0.61 |
8994001 |
0.37 |
1829.39 |
3000 |
0.33 |
9000000 |
0.11 |
990 |
4367 |
0.16 |
19070689 |
0.0256 |
698.72 |
5637 |
0.23 |
31775769 |
0.0529 |
1296.51 |
5647 |
0.2 |
31888609 |
0.04 |
1129.4 |
7231 |
0.12 |
52287361 |
0.0144 |
867.72 |
897 |
0.59 |
804609 |
0.35 |
529.23 |
5123 |
0.05 |
26245129 |
0.0025 |
256.15 |
3645 |
0.26 |
13286025 |
0.0676 |
947.7 |
3988 |
0.45 |
15904144 |
0.2 |
1794.6 |
122522 |
6.81 |
706512504 |
2.98 |
27184.79 |