- •Задачник-практикум по исчислению высказываний
- •1. Исчисление высказываний
- •2. Система аксиомных схем
- •3. Правило вывода Modus ponens
- •4. Формальное доказательство и формальный вывод
- •5. Свойства отношений выводимости
- •6. Применение метода доказательства теоремы дедукции для преобразования данного вывода в результирующий вывод.
- •7. Установление доказуемости формул
- •8. Правила введения и удаления логических операторов
- •9. Использование правил введения и удаления и мт1 при установлении существования доказательств и выводов в теории l.
- •Контрольные вопросы
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Литература
7. Установление доказуемости формул
Как показывают примеры 6 и 7, применение метода преобразования вывода Г,А├B в вывод Г├АB, описанного в доказательстве МТ3, приводит к «разбуханию» результирующего вывода: если данный вывод содержит k формул, то результирующий вывод – 3k +2 формул. Существуют более «экономные методы». Например, неважно иметь содержащее 161 формулу доказательство формулы (А(ВС))(В(АС)), которое получается трехкратным применением описанного алгоритма к выводу А (В С), В, А├ С (см. пример 6), важно только знать, что эта формула доказуема.
Пример 8.
Установить существование доказательства формулы (А(ВС))(В(АС)).
|
1. посылка |
|
2. посылка |
|
3. посылка |
|
4. МР(F1,F3) |
|
5. МР(F2,F4) |
|
8. ОФВ (1-5) |
|
9. ТД(6) |
|
10. ТД(7) |
|
11. ТД(8) |
Пример 9.
Установить существование доказательства формулы (АС)((ВС)(АВС)).
|
1. посылка |
|
2. посылка |
|
3. посылка |
|
4. АС8 |
|
5. МР(F1,F4) |
|
6. МР(F2,F5) |
|
7. МР(F3,F6) |
|
8. ОФВ (1-7) |
|
9. МТ2(8) |
|
10. МТ2(9) |
|
11. МТ2(10) |
8. Правила введения и удаления логических операторов
Метатеорема 5 (МТ5).
Для любого конечного множества формул Г и для любых формул А, В, С справедливы правила (введения и удаления), приведенные ниже:
Введение |
Удаление | |||||
|
1 |
Если Г, А├В, то Г├АВ |
ТД, ВИ |
2 |
А, АВ├В |
МР, УИ |
|
3 |
А, В├АВ |
ВК |
4,5 |
АВ├А, АВ├В |
УК1,УК2 |
|
6,7 |
А├АВ, В├АВ |
ВД1, ВД2 |
8 |
Г, А├С и Г, В├С, то Г, АВ├С |
УД |
|
9 |
Г, А├В и Г,А├В, то Г├А |
RA, ВО |
10, 11 |
А├А А, А├В |
УДО СУО |
|
12 |
АВ, ВА ├АВ |
ВЭ |
13 |
АВ├АВ АВ├ВА |
УЭ1 УЭ2 |
9. Использование правил введения и удаления и мт1 при установлении существования доказательств и выводов в теории l.
Правила введения и удаления логических операций и МТ1 позволяют значительно упрощать и укорачивать метадоказательства существования доказательств и выводов в теории L по сравнению с непосредственным построением этих доказательств и выводов. И хотя, применяя эти правила и МТ1, мы устанавливаем только существование доказательств и выводов, но не располагаем ими, этого в большинстве случаев оказывается достаточно.
Методы установления выводимости:
построение формального вывода;
доказательство существования формального вывода;
замена вопроса о выводимости вопросом о следовании в алгебре высказываний.
Методы установления доказуемости:
построение формального доказательства;
установление существования формального доказательства;
замена вопроса о доказуемости вопросом об общезначимости в алгебре высказываний.
Пример 10.
Установить выводимость формулы АВ, В├А
Построение формального вывода.
АВ
1. посылка
В
2. посылка
(АВ)(АВ)
3. АС12
АВ
4. МР(F1,F3)
(АВ)((АВ)А)
5. АС9
(АВ)А
6. МР(F4,F5)
В(АВ)
7.
АВ
8. МР(F2,F7)
А
9. МР(F6,F8)
Доказательство существования формального вывода.
АВ, В, А├ В
1. МТ1а
АВ, В, А├ А
2. МТ1а
АВ, В, А├ АВ
3. МТ1а
АВ├ АВ
4. УЭ1
А, АВ├В
5. МР
АВ, В, А├ АВ
6. МТ1б(3, 4)
АВ, В, А├В
7. МТ1б(2, 5, 6)
АВ, В├ А
8. ВО(1, 7)
Замена вопроса о выводимости вопросом о следовании в алгебре высказываний.
АВ, В╞ А
Установим верность данного следования методом от противного. Предполагаем, что следование не верно, т.е. при истинных посылках заключение является ложным. Получается следующая система уравнений:
противоречие.
Значит, следование является верным. Таким образом, установили данную выводимость.
Пример 11.
Установить доказуемость формулы ├ А(АВ)А
Построение формального доказательства.
(А(АВ) А)((А А(АВ))(А(АВ)А))
1.
А(АВ) А
2.
(А А(АВ))(А(АВ)А)
3. МР(F1,F2)
(ААВ)((А(АВА(АВ)))(АА(АВ)))
4.
ААВ
5. АС6
(А(АВА(АВ)))(АА(АВ))
6. МР(F4,F5)
А(АВА(АВ))
7.
АА(АВ)
8. МР(F6,F7)
А(АВ)А
9. МР(F3,F6)
Установление существования формального доказательства.
А├А
1. МТ1а
А├АВ
2. ВД1
А, АВ├А(АВ)
3. ВК
А├А(АВ)
4.МТ1б(1, 2, 3)
├АА(АВ)
5. ТД(4)
А(АВ)├А
6. УК1
├А(АВ)А
7. ТД(6)
АА(АВ), А(АВ)А├ А(АВ)А
8. ВЭ
├А(АВ)А
9. МТ1б(5, 6, 7)
Замена вопроса о доказуемости вопросом об общезначимости в алгебре высказываний.
╞ А(АВ)А
Докажем общезначимость формулы методом равносильных преобразований.
Будем также учитывать, что АÚИºИ, обозначим данное соотношение (*).
А(АВ)А(А(АВ)А)(АА(АВ))((А(АВ))А)(АА(АВ))(АА(АВ))(АА(АВ))(И(АВ))(ААААВ)(И(АВ))(ИАВ)И ИИ.