Яхъяев - Техническое черчение

горизонтальные проекции этих точек (11 и 51), устанавливаем, что точка 51 ближе к зрителю, чем точка 11. Следовательно, спереди виден отрезок АМ (А2М2) от точки А до точки пересечения прямой с плоскостью. Рассуждая аналогично, устанавливаем, что отрезок DE оказывается видимым, отрезок DF – частично закрытым треугольником АВС.

фронтальные проекции этих точек (62 и 72), устанавливаем, что точка 6

при направлении проецирования, перпендикулярном 1, расположена ближе к зрителю, следовательно, она видима. Видимой будет прилегающая к точке N часть отрезка EF (до точки его пересечения с плоскостью АВС – Е1N1). Отрезок DE оказывается видимым, а АВ – частично закрытым треугольником DEF.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения, заданных следами, показано на рисунке 67. Точка А инциндентна

следам обеих плоскостей и , следовательно, инциндентна линии их пересечения. Точно так же точка В инциндентна этой линии. Соединим на комплексном чертеже одноименные проекции точек А и В, получив проекции линии пересечения плоскостей.

Рисунок 67

Если какие-либо одноименные следы плоскостей не пересекаются в пределах чертежа (рисунок 68), можно рассечь обе заданные

плоскости и вспомогательной плоскостью. Построив линии пересечения плоскостей заданных и вспомогательной, определим общую для заданных плоскостей точку. В качестве вспомогательных

плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами fо

и fо ; секущая вспомогательная плоскость пересекает заданные плоскости по прямым линиям – горизонталям 12, которые пересекаются

в точке А. Вторая секущая горизонтальная плоскость пересекает заданные плоскости также по горизонталям (34), они в свою очередь

пересекаются в точке В. Прямая проходящая через точки А и В является линией пересечения заданных плоскостей.

Рисунок 68

6.3 Взаимно перпендикулярные плоскости

Как известно, плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Чтобы построить плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости, необходимо либо восставить к данной плоскости перпендикуляр и через него провести плоскость, либо провести в заданной плоскости прямую линию и перпендикулярно к ней взять искомую плоскость. Таким образом, задача на построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к

следующему: проводим прямую линию l, принадлежащую к плоскости ;

заключаем прямую l в плоскость . Плоскость , так как l . Через прямую линию l можно провести неограниченное количество плоскостей перпендикулярных данной плоскости.

На рисунке 69 приведен пример построения плоскости ,

перпендикулярной к плоскости (АВС) и проходящей через прямую а. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости

(АВС), для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали (h1) и фронтальную проекцию фронтали (f2); из проекций произвольной точки D а проводим проекции перпендикуляра l1 h1 и l2 f2. Плоскость , так

как l . Образованная пересекающимися прямыми линиями а и l

плоскость перпендикулярна к плоскости (АВС), так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Через заданную прямую можно провести только одну плоскость, перпендикулярную к другой плоскости.

Рисунок 69

Проецирующая плоскость будет перпендикулярна к плоскости общего положения, если она перпендикулярна к горизонтали или фронтали плоскости общего положения (рисунок 70).

1 f2 ; 1 h1 .

Из чертежа видно, что отличительной особенностью эпюра, на котором заданы две взаимно перпендикулярные плоскости, из которых одна – фронтально-проецирующая, является перпендикулярность их фронтальных следов f2 f0 ; горизонтальный след фронтально-проецирующей плоскости перпендикулярен оси Х (ho х).

Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то сами плоскости не перпендикулярны между собой, так как здесь не соблюдается условие, что одна из плоскостей должна содержать в себе прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Рисунок 70

Вопросы для самопроверки

1.Укажите последовательность графических построений для определения линии пересечения двух плоскостей.

2.Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикулярности прямой линии и плоскости.

3.Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикулярности двух плоскостей.

4.Какие точки называются конкурирующими? Как ими пользоваться при определении видимости геометрических элементов?

5.Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?

6.Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их одноименные следы взаимно перпендикулярны?

7 Способы преобразования чертежа

Целью преобразования чертежа является проведение заданных на эпюре геометрических элементов в новое положение по отношению к плоскостям проекций, более удобное для решения той или иной задачи.

Преобразование чертежа делают для того, чтобы в новой системе плоскостей проекций геометрические образы (отрезок, плоская фигура и т.п.) проецировались на новую плоскость проекций без искажения, в натуральную величину, либо позволяют получить выразительные проекции отдельных элементов. Построение новых дополнительных проекций называют преобразованием чертежа, что можно осуществить двумя способами:

-выведение дополнительных плоскостей проекций с неизменным положением геометрических элементов;

-перемещение геометрических элементов в пространстве с неизменным положением плоскостей проекций.

Так как частных положений у прямой два и у плоскости два, то существуют четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа:

-прямую общего положения преобразовать в прямую уровня;

-прямую уровня перевести в проецирующее положение;

-плоскость общего положения преобразовать в проецирующее; проецирующую плоскость перевести в положение плоскости

уровня.

В данной работе рассматриваются только три способа преобразования ортогональных проекций, предусмотренные программой: способ перемены плоскостей проекций, вращения и плоскопараллельное перемещение.

7.1 Способ перемены плоскостей проекций

Способ «перемены» заключается в том, что, вводя дополнительные плоскости проекций, они переходят к другой системе плоскостей проекций, при этом геометрические образы в пространстве сохраняют свое положение. Изменяют направления плоскости проекций: при замене обязательно сохраняется взаимная перпендикулярность двух плоскостей проекций.

Пусть задана точка А и система двух взаимно перпендикулярных

плоскостей проекций 1 и 2 (рисунок 71). Возьмем плоскость 4 1 и спроецируем точку А на эту плоскость; проекцией будет А4. Получаем две

системы плоскостей проекций: основную 1 и 2 и дополнительную 1 и 4. Положение точки А в пространстве определяем по двум ее проекциям – А2 и А1 в основной системе плоскостей и А1 и А4 – дополнительной. При переходе от одной системы плоскостей проекций к другой аппликата Z1 точки А и ее горизонтальная проекция А1 точки А остаются неизменными (инвариантными) для двух систем.

Рисунок 71

Операция перехода от одной системы плоскостей к другой показана на

эпюре (рисунок 72).

Рисунок 72

Для того чтобы по заданной эпюре точки А (А1, А2) и новой оси проекций х14

построить проекцию этой точки на плоскость 4 (А4), необходимо:

1) из горизонтальной проекции точки А1 опустить перпендикуляр на новую ось проекций х14;

2) от точки А14 на этом перпендикуляре отложить координату z

точки А, т. е. А14 А4 А12А2 ZA

Таким образом, если точка в пространстве проецируется на новую плоскость проекций, перпендикулярную к одной из оставленных плоскостей проекций, то расстояние новой проекции точки от новой оси равно расстоянию заменяемой проекции от заменяемой оси.

Заметим, что нельзя менять обе плоскости проекций сразу. Новая плоскость проекций должна сохранять перпендикулярность к остающейся плоскости. Поэтому замену плоскостей можно производить только в последовательном порядке: сначала изменить одну плоскость, затем другую, и, если требуется для решения задачи, эту операцию можно повторять неоднократно. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Определение длины отрезка АВ общего положения показано на рисунке 73.

Рисунок 73

Для этого, чтобы данная прямая общего положения АВ оказалась линией уровня, следует ввести новую плоскость 4 ( 5), которая была бы ей параллельна. На чертеже дополнительная плоскость 4 параллельна прямой

АВ и перпендикулярна к плоскости 1 (ось Х14 1/ 4 параллельна проекции А1В1). Через точки А1 и В1 проводим новые линии связи, перпендикулярные оси Х14. Расстояние от оси Х14 до А4 и В4 равно расстояниям от А2 и В2 до оси

Х12. Образовавшейся системе плоскостей проекций 1/ 4 прямая АВ (А4В4) является линией уровня, т.е. натуральной величиной отрезка АВ.

Аналогичным построением можно данную прямую АВ преобразовать в горизонталь. Для этого оставим на месте 2 и заменим 1 на 5. Дополнительная плоскость 5 параллельна прямой АВ и перпендикулярна к

плоскости 2. Теперь прямая А5В5 является линией уровня в системе 2/ 5, т.е. натуральной величиной отрезка АВ.

2. Приведение отрезка прямой общего положения в проецирующую прямую.

На рисунке 74 показан перевод отрезка СД прямой общего положения в положение С5Д5 отрезка фронтально-проецирующей прямой.

Рисунок 74 Вначале заменой плоскости 2 плоскостью 4 переводим отрезок СД в

положение параллельное плоскости 4, затем, заменив плоскость 4 плоскостью 5, поставим отрезок СД по отношению к плоскости 5 в

проецирующее положение, и тогда ее проекция на плоскости 5 сольется в

точку С5 D5, при этом С45С5 С14С2 (или D45D5 D14D2).

3. Чтобы плоскость общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо в этой плоскости выбрать одну из главных линий – горизонталь или фронталь, каждая из которых и определяет направление дополнительной плоскости проекций. Если горизонталь плоскости является направлением дополнительной плоскости проекций, то плоскость, перпендикулярная этой плоскости проекций, занимает также относительно ее положение проецирующей плоскости.

Рассмотрим пример преобразования плоскости общего положения , заданной треугольником АВС, в плоскость проецирующую (рисунок 75).Через вершину А проводим горизонталь. На чертеже горизонтальная проекция А111 горизонтали А1 определяет направление проекции на дополнительную плоскость проекций. Выбираем дополнительную плоскость

проекций 4 перпендикулярно горизонтали А1 плоскости АВС ( 4 1, 4

АВС, Х14 h1) и соответственно перпендикулярно плоскости 1, и с помощью точек А и С построена проекция плоскости - А4В4С4 – прямая.

Рисунок 75

Очевидно, в образовавшейся системе плоскостей проекций 1/ 4 плоскость АВС является проецирующей. Заметим, что горизонталь

проецируется на плоскости 4 в виде точки.

4. Определить истинную величину фигуры. Если заданные на чертеже плоские фигуры – плоскости общего положения, для определения их истинной величины недостаточно замены одной плоскости. Новая плоскость

проекций должна быть параллельна данной фигуре. В таких случаях необходимо заменить плоскости проекций дважды. Основной принцип замены плоскостей проекций и правила построения проекций точек при этом остаются прежними.

Например, необходимо определить истинную величину треугольника АВС, являющегося плоскостью общего положения (рисунок76).

Рисунок 76 Задача решается двумя последовательными заменами плоскостей

проекций. Заменой фронтальной плоскости проекций ( 2) некоторой

дополнительной плоскостью проекций ( 4) в образовавшейся системе

1/ 4

( 4 1, 4 АВС и Х14 h1) плоскость АВС (А4В4С4) будет проецирующей. Затем вводится дополнительная плоскость 5 ( 5 4, 4 | | АВС,