Яхъяев - Техническое черчение
.pdf
за плоскостью треугольника АВС и закрыта этим треугольником.
Условно горизонтальная проекция a1 прямой линии a на участке К131 показана штриховой линией.
Чтобы определить видимость во фронтальной проекции, воспользуемся лучом 45. Здесь точка 4 принадлежит стороне ВС
треугольника АВС, а точка 5 – прямой a. По местоположению горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 4 ближе к нам, чем другая точка 5. Поэтому на участке К242 прямая линия закрыта треугольником и является невидимой. Фронтальная проекция
a2 на этом участке показана штриховой линией.
Алгоритм построения точки пересечения прямой а с плоскостью
(АВС) может быть записана в виде:
а, П1; 12 (АВС); К а; К а (АВС).
На рисунке 58 дано решение этой задачи, когда плоскость задана следами. Проведем горизонтально-проецирующую плоскость
: a и определим линию пересечения АВ заданной и вспомогательной плоскостей. На ней, в ее пересечении (А2В2 а2 = К2) с
прямой линией а, расположена точка К. Вначале находим К2, а уже затем К1.
Рисунок 58
5.4.3 Прямая линия, перпендикулярная к плоскости
Прямая линия перпендикулярна плоскости, когда она перпендикулярна двум любым пересекающимся прямым этой плоскости, в частности, горизонтали и фронтали плоскости.
Чтобы построить в проекциях прямую линию, перпендикулярную плоскости, необходимо воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла. Напомним ее: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину.
На рисунке 59 через точку А проведена прямая l, перпендикулярная к плоскости Для этого в плоскости
определены горизонталь h и фронталь f , и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярно к
фронтальной проекции фронтали: l1 h1 ; l2 f2 .. Прямая lи плоскость
взаимно перпендикулярны. Из чертежа следует, что прямая lперпендикулярна к прямой h , так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (h ) параллельна
плоскости проекций ( 1).
Рисунок 59 |
Рисунок 60 |
Точно так же очевидно, что прямая lперпендикулярна к прямой f . Таким образом, если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой
плоскости.
На рисунке 60 эта же задача решена для случая, когда плоскость
задана следами. Для определения направлений проекций перпендикуляра нет необходимости проведения горизонтали и фронтали, так как их функции выполняют следы плоскости hо и fо . Как видно из чертежа, достаточно провести из точки А1 и А2 проекции l1 hо ; l2 fо .
Перпендикуляр к проецирующей плоскости параллелен той плоскости проекций, которой перпендикулярна проецирующая плоскость.
На рисунке 61, а показана прямая DK, перпендикулярная к
горизонтально-проецируещей плоскости (АВС). Очевидно, эта линия является горизонталью.
На рисунке 61, б изображена прямая NK, перпендикулярная к
фронтально-проецирующей плоскости , заданной следами. Она является фронталью.
На рисунке 61, в изображена прямая АВ, перпендикулярная к профильно-проецирующей плоскости .
а) |
б) |
в) |
Рисунок 61
В заключение решим задачу. Через данную точку Е прямой АВ перпендикулярно ей провести прямую, пересекающую данную прямую (рисунок 62).
Рисунок 62
На чертеже через точку Е проводим плоскость (h f), перпендикулярную прямой АВ. Определим точку F пересечения прямой СD с этой плоскостью. Для этого через прямую СD проведем секущую вспомогательную горизонтально - проецирующую плоскость
. Определим линию пересечения плоскости с плоскостью . Такая прямая линия пересекается с прямой СD в точке F. Прямая ЕF является искомой прямой линией.
Вопросы для самопроверки
1. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть параллельна некоторой плоскости?
2.2. Какие линии уровня плоскости вы знаете?
3.3. Что такое линия ската?
4.4. Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости?
5.Какие плоскости можно провести через фронтальнопроецирующую и горизонтально-проецирующую прямые?
6.Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую линию общего положения?
7.Как относительно друг друга могут быть расположены в пространстве прямая и плоскость?
8.8. Как провести плоскость через прямую параллельно заданной прямой?
9.9. Как располагается проекция перпендикуляра к плоскости?
10. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью?
11. Как определить видимость в случае пересечения прямой линии и плоскости?
6 Взаимное положение двух плоскостей
Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися. При определении взаимного положения плоскостей используются сведения, известные из геометрии:
-три точки, не принадлежащие одной прямой линии, определяют плоскость;
-если две пересекающиеся прямые линии одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости, то эти плоскости параллельны между собой;
- |
- |
если плоскость проходит через прямую линию, |
|
перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости |
|
взаимно перпендикулярны. |
|
6.1 Параллельные плоскости
Если плоскости параллельны, то всегда в каждой плоскости можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую.
Плоскости, изображенные на рисунке 63 параллельны, так как пересе -
Рисунок 63
кающиеся прямые DE и EK плоскости, заданной треугольником DEK, соответственно параллельны пересекающимся прямым АВ и ВС плоскости, заданной треугольником АВС (АВ DE и ВС EK).
Если две параллельные плоскости заданы следами (рисунок 64, а), то их одноименные следы параллельны: f f и h h , поскольку две
параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью ( 2 или 1) по параллельным прямым.
Если одна из взаимно параллельных плоскостей проецирующая, то и другая плоскость также одноименно проецирующая. Если и2, то 2 и f f (рисунок 64, б).
а) |
б) |
Рисунок 64
6.2 Взаимное пересечение двух плоскостей
Если плоскости не параллельны, то они пересекаются. В этом случае возникает задача о построении проекций линии пересечения. Прямую линию пересечения двух плоскостей можно определить по двум общим точкам. Для этого определяют точки пересечения любых двух прямых линий одной плоскости с другой плоскостью или точки пересечения прямой на каждой из плоскостей с другой плоскостью. Рассмотрим сначала частный случай (рисунок 65, а), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости
проекций ( 1, fо х). В этом случае линия пересечения l,
принадлежащая плоскости , будет также параллельна плоскости 1, т. е будет являться горизонталью пересекающихся плоскостей (l h).
Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций ( 2, f х, рисунок 65, б), то линия пересечения l ,
принадлежащая плоскости , будет параллельна плоскости 2 (l f – фронталь пересекающихся плоскостей).
а) |
б) |
Рисунок 65
В общем случае линия пересечения плоскостей определяется при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Удобно выбирать в качестве вспомогательных плоскостей две фронтально – или две горизонтально-проецирующие плоскости, параллельные между собой, в том числе и плоскости уровня. В этом случае прямые пересечения вспомогательных плоскостей с каждой из заданных плоскостей будут параллельны между собой.
Рассмотрим, как построить линию пересечения двух плоскостей общего положения (АВС DEF), и установим видимость этих треугольников относительно плоскостей проекций (рисунок 66).
План решения задач на взаимное пересечение включает:
-определение вида заданных плоскостей;
-выбор вспомогательных секущих плоскостей;
-нахождение точек линии пересечения (дважды применив решение задачи на пересечение прямой с плоскостью).
Рисунок 66
В заданных плоскостях выделяем две прямые линии АВ и EF и находим точки пересечения их с другой плоскостью, используя фронтально-проецирующие плоскости АВ и EF 1. Находим точку пересечения прямой АВ с плоскостью DEF, т.е. точку М (М1, М2)
искомой линии пересечения плоскостей: АВ ( 2); DEF = 12
(1222; 1121); 1121 А1В1 = М1;
М1М2 А1А2; М1М2 А2В2 = М2; М (М1, М2).
Аналогично находим вторую точку N (N1, N2) линии пересечения
прямой EF с плоскостью АВС: EF 1 (1 2); 1 АВС = 34(3242;
3141);
3141 E1F1 = N1; N1N2 А1А2; N1N2 E2F2 = N2; N (N1, N2).
Соединив точки М и N прямой линией, получаем искомую линию пересечения МN (М1N1; М2N2) заданных плоскостей: АВС DEF = МN.
Для определения видимости пересекающихся плоскостей относительно фронтальной плоскости проекций используем фронтально-конкурирующие точки 1 и 5 (1 DF; 5 АВ). Построив