1. Что такое результат измерений?

2. Что такое погрешность результата измерений?

3. Чем отличается погрешность СИ от погрешности результата измерений?

4. Перечислите основные источники погрешности результата измерений?

5. Что такое методическая погрешность и чем она обусловлена?

6. Как устанавливается методическая погрешность?

7. Приведите пример источника методической погрешности?

8. Что такое погрешность отсчитывания?

9. Что такое погрешность установки?

10. Как суммируются систематические погрешности?

11. Как суммируются случайные погрешности?

12. Какие формы представления результатов измерения нормативно установлены?

13. Чем характеризуется точечная оценка результата измерений.

14. Чем характеризуется интервальная оценка результата измерений.

15. Дайте определения однократных и многократных измерений.

16. Дайте определения прямых и косвенных измерений.

17. Чем многократные измерения отличаются от однократных?

18. В каких случаях целесообразно применение однократных измерений?

19. Как оцениваются погрешности однократных измерений?

20. Как найти погрешность однократных измерений, если класс точности прибора неизвестен?

21. Что характеризует средняя квадратичная ошибка отдельного результата измерения и как она вычисляется?

22. Что характеризует средняя квадратичная ошибка среднего арифметического и как она вычисляется?

23. Что такое коэффициент Стьюдента?

24. С какой целью в окончательный результат многократного измерения вводят коэффициент Стьюдента?

25. Запишите последовательность операций при нахождении погрешностей прямого многократного измерения.

26. Как записывается окончательный результат прямого многократного измерения?

27. Как оценивается погрешность косвенных измерений при наличии случайных погрешностей.

28. Как оценивается погрешность косвенных измерений при наличии систематических погрешностей.

29. Запишите последовательность обработки результатов косвенных измерений.

30. Как записывается окончательный результат при косвенных измерениях?

31. Сформулируйте правила округления окончательного результата измерения.

32. Сколько значащих цифр должна иметь погрешность результата измерений и почему?

Ответы на контрольные вопросы:

1. Результат измерения - это значение, полученное путём измерения и приписываемое измеряемой величине. Результаты измерений в зависимости от цели измерительной задачи могут быть представлены числом, в виде таблицы, графика и другом виде.

2. Погрешность результата измерения — это число, указывающее возможные границы неопределенности значения измеряемой величины. Результат измерения представляется именованным или неименованным числом, например, Х ± ∆Х - именованное число, 0,95 – неименованное число.

3. Погрешность — это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешности условно можно разделить на погрешности средств измерения и погрешности результата измерений.

4. Источниками погрешности результата измерения могут быть погрешности отсчитывания (воспроизведения) и передачи результата измерения, погрешность передачи единицы измеряемой величины, погрешности СИ и его градуировки, метода измерений и др. Рассмотрим основные виды погрешностей результата измерений. Одним из основных источников возникновения погрешности результата измерения является инструментальная погрешность, методические погрешности, погрешность отсчитывания, погрешность установки и т.д.

5. При измерениях возникают такие погрешности, которые не могут быть приписаны данному прибору, не могут быть указаны в его паспорте и называются методическими, т.е. связанными не с самим прибором, а с методом его использования. Методические погрешности могут возникать из-за несовершенства метода измерения, использования упрощающих предположений и допущений при выводе применяемых формул для нахождения оценки измеряемой величины, а также из-за несоответствия измеряемой величины и ее модели.

6. Основной отличительной особенностью методических погрешностей является то обстоятельство, что они не могут быть указаны в паспорте прибора, а должны оцениваться самим экспериментатором при организации выбранной методики измерений, поэтому он обязан четко различать фактически измеряемую им величину от подлежащей измерению.

7. Примером методической погрешности может служить погрешность измерения напряжения вольтметром с конечным сопротивлением (рис. 1).

Рисунок 1 - Измерение напряжения вольтметром с конечным сопротивлением

Вследствие шунтирования вольтметром того участка цепи, на котором измеряется напряжение, оно оказывается меньшим, чем было до присоединения вольтметра. И действительно, напряжение, которое покажет вольтметр определится выражением U = I×Rv. Если учесть, что ток в цепи I = E/ (Ri + Rv), то U = E Rv / (Ri + Rv)  E.

Поэтому для одного и того же вольтметра, присоединяемого поочередно к разным участкам исследуемой цепи, эта погрешность различна: на низкоомных участках она ничтожна, а на высокоумных может быть очень большой. Эта погрешность могла бы быть устранена, если бы вольтметр был постоянно подключен к данному участку цепи на все время работы устройства (как на щите электростанции).

8. Погрешность отсчитывания происходит от недостаточно точного отсчитывания показаний. Она обусловлена субъективными особенностями наблюдателя (например, погрешность интерполирования, т.е. неточного отсчета долей деления по шкале прибора) и вида отсчетного устройства (например, погрешность от параллакса). Погрешности отсчитывания отсутствуют при использовании цифровых измерительных приборов, что является одной из причин перспективности последних.

9. Погрешность установки вызывается отклонением условий измерения от нормальных, т.е. условий, при которых производилась градуировка и поверка средств измерений. Сюда относится, например, погрешность от неправильной установки прибора в пространстве или его указателя на нулевую отметку, от изменения температуры, напряжения питания и других влияющих величин.

10. Систематическая погрешность измерений Δ_с — составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. При наличии у измерительного прибора (или его блоков) систематических погрешностей общая погрешность определяется их суммой:

,

где δ_с(im) - систематическая погрешность от воздействия на i-й блок m-го фактора; δ_i - случайные погрешности для i-го блока.

11. Погрешность сложных измерительных приборов зависит от погрешностей отдельных его узлов (блоков). Погрешности суммируются по определенным правилам. При наличии у измерительного прибора (или его блоков) систематических погрешностей общая погрешность определяется их суммой:

,

где δ_с(im) - систематическая погрешность от воздействия на i-й блок m-го фактора; δ_i - случайные погрешности для i-го блока.

12. Рассмотрим основные формы представления результатов измерений. Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется погрешностью используемых средств измерений. Поэтому в первом приближении погрешность результата измерения можно принять равной погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое средство измерений. Погрешности средств измерений изменяются в диапазоне измерений. Поэтому в каждом случае, для каждого измерения необходимо произвести вычисления погрешности результата измерений, используя формулы нормирования погрешности соответствующего средства измерений.

Вычисляться должна как абсолютная, так и относительная погрешности результата измерения, так как первая из них нужна для округления результата и его правильной записи, а вторая — для однозначной сравнительной характеристики его точности.

Для разных характеристик нормирования погрешностей СИ эти вычисления производятся по-разному, поэтому рассмотрим три характерных случая.

1. Класс прибора указан в виде одного числа q, заключенного в кружок. Тогда относительная погрешность результата (в процентах) d = q, а абсолютная его погрешность Δ_х = q×x/100.

2. Класс прибора указан одним числом p (без кружка). Тогда абсолютная погрешность результата измерения Δ_х = p×X_k /100, где X_k — предел измерения, на котором оно производилось, а относительная погрешность измерения (в процентах) находится по формуле

d = Δ_х/x = p×X_k / x,

т. е. в этом случае при измерении, кроме отсчета измеряемой величины х обязательно должен быть зафиксирован и предел измерений X_k , иначе впоследствии нельзя будет вычислить погрешность результата.

3. Класс прибора указан двумя числами в виде c/d. В этом случае удобнее вычислить относительную погрешность d результата по формуле

d = (Δ_Х / Х) 100 = ± [c+d (|Х_K / Х| - 1),

а уже затем найти абсолютную погрешность как Δ_Х= d*x/100.

После проведения вычислений погрешности используют одну из форм представления результата измерений в следующем виде: х; ± Δ_Х и d, где х – измеренное значение; Δ_Х – абсолютная погрешность измерения; d -относительная погрешность измерения.

Однако более наглядно указать пределы интервала неопределенности измеряемой величины в виде: x = (A-Δ_Х), (A+Δ_Х) или (A-Δ_Х)<х<(A+Δ_Х) с указанием единиц измерения.

Другая форма представления результата измерения устанавливается в следующем виде: х; Δ_Х от Δ_Хн до Δ_Хв; Р, где х – результат измерения в единицах измеряемой величины; Δ_Х, Δ_Хн, Δ_Хв – соответственно погрешность измерения с нижней и верхней её границами в тех же единицах; Р – вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах.

ГОСТ 8.011-72 допускает и другие формы представления результатов измерения, отличающиеся от приведенных форм тем, что в них указывают раздельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности измерения. При этом для систематической погрешности указывают её вероятностные характеристики. В этом случае основными характеристиками систематической погрешности являются математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и ее доверительный интервал. При этом систематическая погрешность представляет собой отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения А измеряемой величины: Δ_с = М[X] – A, а случайная погрешность – разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием - Δ_сл = х_i - М[X].

Любая из форм представления результата измерения, предусмотренная ГОСТ 8.011-72, должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известны вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона.

13. В практике измерений наибольшее распространение получили точечные и интервальные оценки результатов измерений. Для производственных условий наиболее характерными являются однократные измерения либо многократные измерения, причем количество многократных измерений одной и той же величины невелико (n = 5-6 измерений). Здесь можно говорить лишь о точечной оценке результата измерения. Число измерений невелико, поэтому отделить случайную погрешность от систематической не представляется возможным. Точечная оценка результата измерения – это оценка параметра, которая может быть выражена одним числом (к точечным оценкам относится математическое ожидание погрешности и среднеквадратическое отклонение). Решение о годности результата измерения выбирают исходя из условия, что он не выходит за предел некоторой заранее заданной величины. Точечные оценки результатов измерения не позволяют в должной мере оценить достоверность измерения. Они определяют статистические оценки размеров, т. е. приближенные значения их истинных величин, имеющих место в действительности. Степень приближения истинных величин, или точность каждой из оценок, определяется половиной ширины построенного для нее доверительного интервала.

14. При интервальной оценке – результат измерения представляют в виде – Х; Х; Р.

Искомая величина Х находится в доверительном интервале Х с вероятностью Р, а с вероятностью  за его пределами

Р {ХнХ Хв} = Р =1-, где

 - уровень значимости

X – среднее арифметическое значение измеряемой величины;

Х – доверительный интервал.

(Х ± ∆Х) [ед.изм]; Р=0.95

15. Измерение - это операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за эталон (единицу измерения). Общая черта измерений – невозможность получения истинного значения измеряемой величины, результат измерения всегда содержит какую-то ошибку (погрешность). Поэтому, чтобы указать, насколько полученный результат близок к истинному значению, вместе с полученным результатом указывают ошибку измерения. При этом возникает вопрос оценки достоверности получаемых значений, получаемых в процессе обработки результатов непосредственных измерений и оценки погрешностей.

Прямые измерения – это такие измерения, при которых измеряется непосредственно искомая физическая величина (масса, длина, интервалы времени, изменение температуры и т.д.). Т.е. искомое значение физической величины получают непосредственно.

Прямые измерения бывают однократные и многократные.

Однократное измерение – измерение физической величины, выполненное один раз.

Многократное измерение - измерение физической величины одного и того же размера, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений, т.е. состоящее из ряда однократных измерений.

16. Прямые измерения – это такие измерения, при которых измеряется непосредственно искомая физическая величина (масса, длина, интервалы времени, изменение температуры и т.д.). Т.е. искомое значение физической величины получают непосредственно.

Косвенные измерения – это такие измерения, при которых искомое значение физической величины определяется (вычисляется) на основании результатов прямых измерений других физических величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью. Например, определение скорости равномерного движения по измерениям пройденного пути промежутка времени, измерение плотности тела по измерениям массы и объема тела и т.д.

На практике большинство сложных измерений – косвенные и интересующая нас величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

N = ƒ (x, y, z, ...)  

17. Прямые измерения бывают однократные и многократные.

Однократное измерение – измерение физической величины, выполненное один раз.

Многократное измерение - измерение физической величины одного и того же размера, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений, т.е. состоящее из ряда однократных измерений.

18. При однократных измерениях показание прибора x_i принимают равным результату измерения. Часто на практике достаточно провести однократное измерение интересующей нас величины Х, при этом трудоемкость и время измерения существенно уменьшаются. Прямые однократные измерения имеют наибольшее распространение в измерительной технике.

Однократные измерения с точки зрения соотношения случайных и систематических погрешностей целесообразны тогда, когда сходимость результатов измерений высока, а появление систематической погрешности неизбежно.

Таким образом, однократные измерения применимы в том случае, если среднее квадратичное отклонение (СКО) результатов измерений, выполненных в одинаковых условиях (а именно СКО является параметром сходимости) близко к нулю.

Тогда результаты отдельных наблюдений практически совпадают и, следовательно, среднее арифметическое значение результатов наблюдений и его математическое ожидание практически равны между собой, т. е. выполняется условие X ≅ M (x). Что означает, что случайная погрешность пренебрежительно мала и нет необходимости в выполнении повторных наблюдений.

19. За результат однократного измерения принимается значение величины, полученное при измерении после исключения систематической погрешности.

Погрешность одного измерения (не входящего в ряд; измерений), оценивается на основании известных погрешностей средства и метода измерений в данных условиях (измерений).

Результат однократного измерения представляется в виде

x±Δ_x,

где величина Δ_x представляет собой приборную погрешность.

Оценка погрешности результата вычисляется предварительно по известным оценкам составляющих погрешности. На практике для оценки погрешности однократного прямого измерения пользуются приближенными методами, т.е. речь идет о приближенном оценивании погрешности результата на основе заранее известных основной и дополнительной погрешности, указанной в паспорте прибора.

Оценить погрешность можно зная класс точности прибора (К), который определяется выраженной в процентах приведенной погрешностью:

К = (Δ/L)100%,

где Δ – сумма основной и дополнительной погрешности прибора, L – диапазон измерения.

Абсолютная погрешность однократного измерения определяется по формуле

Δx₀ = КL/100%.

20. В тех случаях, когда класс точности прибора неизвестен, значение абсолютной погрешности однократного измерения принимается равной половине наименьшего деления шкалы прибора.

21. Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ стремится к постоянному пределу σ

σ = limS.      

_{n → ∞}

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

22. Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

,    

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

23. В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него. Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t (задается таблично). Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx = · t.    (10)

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;

– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Из сказанного следует:

1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

2. При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно найти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

24. Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t (задается таблично). Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx = · t.    (10)

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;

– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

25) При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

- Результат каждого измерения запишите в таблицу.

- Вычислите среднее значение из n измерений = Σ x _i / n.

- Найдите погрешность отдельного измерения .

- Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Δx ₁)², (Δx ₂)², ... , (Δx _n)².

- Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического .

- Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

- Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

- Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Δx = · t.

- Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала возьмите

.

- Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

Окончательный результат запишите в виде

.

- Оцените относительную погрешность результата измерений

26. Многократное измерение состоит из ряда однократных измерений. Для уменьшения влияния случайных ошибок производят измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили ряд значения величины x:

x₁, x₂, x₃, ... x_n

Этот ряд значений величины x называется выборкой. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx. В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

µ = ± Δx

26. Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

  (1)   или

, (2)

где Δx, Δy, Δz, ... – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z, .... Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δx, Δy, Δz, ... должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P₁ = P₂ = ... = P_n = P.

В этом случае надежность для доверительного интервала ΔN будет тоже P.

Формулой (1) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, ...) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (2) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, ...) имеет вид произведения или частного аргументов.

26. Если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам

   (1)  или

,   (2)

где  частные производные функции N = ƒ(x, y, z, ...) по аргументу x, y, z..., найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные;

δx, δy, δz – систематические ошибки аргументов.

Формулой (1) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (2) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

26. При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.

2. Оцените систематическую погрешность результата косвенных измерений по формулам, где производные вычислите при средних значениях величин.

Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на δ.

3. Оцените случайную погрешность результата косвенных измерений по формулам, где производные вычислите при средних значениях величин. Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ.

4. Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

5. Результат измерения запишите в виде: N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) ± Δƒ.

6. Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений _{ε =} Δƒ _/ · ƒ _100%.

26. На практике большинство сложных измерений – косвенные и интересующая нас величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

N = ƒ (x, y, z, ...)

Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины определяется подстановкой в предыдущую формулу средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е.

¯N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...)