Геометрический и физический смысл определенного интеграла
Возвратимся к задаче о площади криволинейной трапеции и определению определенного интеграла. Мы видим, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), где f(x)0 на отрезке [a, b], осью x и прямыми x = a и x = b численно равна определенному интегралу, т. е.
.
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Если изменять, например, верхний предел, не выходя из отрезка [a, b], величина интеграла будет меняться. Другими словами, интеграл c переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Таким образом, если мы имеем интеграл
с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пределом х, то величина этого интеграла будет функцией верхнего предела х. Обозначим эту функцию через Ф(х), т. е. положим
(2.1)
и назовем ее определенным интегралом с переменным верхним пределом. Геометрически функция Ф(х) представляет собой площадь заштрихованной криволинейной трапеции, если f(x)0 (рис. 2)
Рис. 2
Теперь рассмотрим доказательство теоремы, одной из основных теорем математического анализа.
Теорема
3.
Если f(t)
– непрерывная функция и
то имеет место равенство
или
(2.2)
Иными словами, производная определенного интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.
Доказательство.
Возьмем любое значение x[a,b]
и придадим ему приращение x
0 такое, чтобы x
+ x
[a,b],
т. е.
.
Тогда функция Ф(х) получит новое значение:
Находим приращение функции Ф(х):
Ф = Ф(x+x)
– Ф(x)
=
Применяя теорему о среднем к последнему интегралу получим:
где С – число,
заключенное между числами x
и x
+ x.
Отсюда
Если теперь x 0, то c x и f(c ) f(x) (в силу непрерывности f(x) на [a,b]). Поэтому переходя к пределу в последнем равенстве получаем
f
(x)
или
,
что и требовалось доказать.
Следствие. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной функции существует первообразная,
Замечание. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многих новых функций, например:
.
3. Формула Ньютона - Лейбница
Как мы уже отмечали, вычисление определенного интеграла методом, основанным на нахождении предела интегральных сумм, как правило, связано с большими трудностями. Поэтому существует другой как правило более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интеграла. Эту связь выражает следующая
Теорема 4. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любых ее первообразных для верхнего и нижнего предела интегрирования.
Доказательство. Мы установили, что функция f(x), непрерывная на [a,b] имеет на этом отрезке первообразную, причем, одной из первообразных является функция
.
Пусть F(x) - любая другая первообразная для функции f(x) на том же отрезке [a, b]. Так как первообразные Ф(х) и F(х) отличаются на постоянную (см. свойства первообразных), то имеет место равенство
где С – некоторое число. Подставляя в это равенство значение x = a будем иметь 0 = F(a) + C, C = - F(a), т. е. для x [a, b] имеем
Полагая x = b, получаем соотношение
(3.1)
Формула
(3.1) называется
формулой Ньютона-Лейбница. Разность
F(b)
– F(a)
принято условно записывать в виде
и тогда формула (3.1) принимает вид
Итак, полученная нами формула (3.1)с одной стороны, устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами, с другой стороны, она дает простой метод вычисления определенного интеграла :
определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.