30. Решение уравнений вида

Теорема (о корне).

Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.

Функция тангенс возрастает на интервале и принимает все значения из. Следовательно, по теореме о корне для любого числаа, в интервалесуществует единственный кореньb уравненияtgx=a. Это числоbназывают арктангенсом числаа и обозначаютarctg a.

О.Арктангенсом числаа называется такое число из интервала, , тангенс которого равен а.

При любом ана интервалеимеется ровно одно числох,такое, чтоtg x=a, - это.

Поэтому уравнение tg x=aимеет на интерваледлинойединственный корень. Функция тангенс имеет период. Следовательно, все остальные корни уравнения отличаются от найденного наn (), т.е..

Решение уравненияtg x=а удобно проиллюстрировать с помощьюлинии тангенсов(см. рис.15). Для любого числаана линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатойа- это точка. ПрямаяОТпересекается с единичной окружностью в двух точках; при этом интервалусоответствует точкаправой полуокружности, такая, что.

31. Решение уравнений вида

Теорема (о корне).

Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.

Функция котангенс убывает на интервале и принимает все значения из. Следовательно, по теореме о корне, для любого числаа, в интервалесуществует единственный кореньb уравнения. Это числоbназывают арктангенсом числаа и обозначаютarcсtg a.

О.Арккотангенсом числаа называется такое число из интервала, , котангенс которого равен а.

При любом ана интервалеимеется ровно одно числох,такое, что, - это.

Поэтому уравнениеимеет на интерваледлинойединственный корень. Функция тангенс имеет период. Следовательно, все остальные корни уравнения отличаются от найденного на, т.е..

Решение уравнения удобно проиллюстрировать с помощью линии котангенсов (см. рис.15). Для любого числаана линии котангенсов есть лишь одна точка с ординатойа- это точка. ПрямаяОТпересекается с единичной окружностью в двух точках; при этом интервалусоответствует точкаправой полуокружности, такая, что.

32. Решение уравнений типа с помощью вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уравнение , где.

Поделим обе части уравнения на , т.к., то,

следовательно деление возможно.

Получим:

Рассмотрим сумму квадратов: ,

Это означает, что точка лежит на единичной окружности, причем координаты этой точки естьиилиидля некоторых углови.

Т.о., получим, что , а ,, причем,.

Тогда, уравнение принимает вид:

Тогда, если: , то уравнениекорней не имеет.

если: , то уравнениеимеет корни:

, отсюда

В случае

Тогда, если: , то уравнениекорней не имеет.

если: , то уравнениеимеет корни:

, отсюда

33. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

Говорят, что натуральное число делится на натуральное число(обозначение:), если