Лекция 2. Векторное пространство. Базис и координаты вектора §5. Понятие векторного пространства

О п р е д е л е н и е. Векторным пространством над полем действительных чисел называется множество элементов произвольной природы, для которых определены сложение и умножение на действительное число так, что выполняются аксиомы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

При этом элементы множества называются векторами.

У п р а ж н е н и е. Доказать, что следующие множества являются примерами векторных пространств:

1. Множество всех свободных векторов геометрического пространства.

2. Множество всех свободных векторов геометрического пространства, параллельных данной плоскости.

3. Множество всех свободных векторов геометрического пространства, параллельных данной прямой.

4. Множество всех упорядоченных наборов из действительных чисел.

5. Множество всех многочленов от одной переменной, степень которых не превосходит .

§6. Линейная зависимость векторов

Произвольный набор векторов векторного пространства называютсистемой векторов.

Для системы векторов можно составлять бесконечно много линейных комбинаций, то есть выражений вида .

О п р е д е л е н и е. Линейная комбинация, в которой все коэффициенты равны нулю, называетсятривиальной линейной комбинацией.

Очевидно, тривиальная линейная комбинация всегда равна . Однако может случиться, что и нетривиальная линейная комбинация векторов равна. Например, пусть. Тогда нетривиальная линейная комбинацияравна.

О п р е д е л е н и е. Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная .

Если же не существует нетривиальной линейной комбинации векторов, равной , то естьможно получить только в результате тривиальной линейной комбинации, тосистема векторов называется линейно независимой.

У п р а ж н е н и е. Доказать условие линейной зависимости системы из векторов:

Т е о р е м а 1. При система векторовлинейно зависимая тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов системы.

У п р а ж н е н и е. Доказать теоремы, раскрывающие геометрический смысл линейной зависимости системы из свободных векторов:

Т е о р е м а 2. Система, состоящая из одного свободного вектора линейно зависимая тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Т е о р е м а 3. Система из двух свободных векторов линейно зависимая тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Т е о р е м а 4. Система из трех свободных векторов линейно зависимая тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Т е о р е м а 5. Всякие четыре свободных вектора образуют линейно зависимую систему векторов.

§7. Базис векторного пространства. Координаты вектора

О п р е д е л е н и е. Базисом векторного пространства называется упорядоченная, линейно независимая система векторов такая, что любой вектор пространства можно выразить через векторы этой системы.

О п р е д е л е н и е. Число векторов в базисе называется размерностью векторного пространства.

Пусть базис векторного пространства состоит из векторов, (коротко будем записывать). Размерность векторного пространстваравна:. Каждый векторвекторного пространства можно выразить через векторы базиса:.

О п р е д е л е н и е. Коэффициенты в разложении векторапо векторам базиса называютсякоординатами вектора .

У п р а ж н е н и е. Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

1. Однозначно ли определяются координаты вектора относительно данного базиса?

2. Чему равны координаты суммы векторов?

3. Чему равны координаты произведения вектора на число?

4. Чему равны координаты линейной комбинации векторов?

5. Какова будет размерность векторного пространства, образованного всеми свободными векторами геометрического пространства? Из каких векторов будет состоять любой его базис?

6. Какова будет размерность векторного пространства, образованного всеми свободными векторами, параллельными одной плоскости? Из каких векторов будет состоять любой его базис?

7. Какова будет размерность векторного пространства, образованного всеми свободными векторами, параллельными одной прямой? Из каких векторов будет состоять любой его базис?

8. Как будет выражаться условие коллинеарности свободных векторов через их координаты?