![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Несобственные интегралы I и II рода
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.10. Кратные интегралы
- •Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл
- •Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла
- •Приложения двойных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Решение
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Ответы на тестовые задания
- •2.12. Ряды Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •Ответы на тестовые задания
- •Степенные ряды
- •Понятие степенного ряда
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 8
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 91
- •Высшая математика
- •Общий курс
- •Пособие
- •По подготовке к тестированию для студентов заочной формы получения высшего образования экономических специальностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Приложения двойных интегралов
Площадь плоской фигуры (области D) рассчитывается по формуле
S
=
Масса тонкой плоской пластинки, являющейся областью D и с плотностью μ = μ(x; y), определяется следующим образом:
m
=
Объем цилиндрического тела, построенного на основании D, ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z = f(x; y) и стоящего на плоскости XOY, рассчитывается следующим образом:
v
=
Пример 2. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область D ограничена линиями: y = x2, x = 2, y = 0 (рисунок 58).
Решение
Имеем
Пример 3. Изменить порядок интегрирования в интеграле
J
=+
Решение
В рассматриваемом
примере следует начинать с построения
области
интегрирования, поскольку интегралы
заданы с указанием порядка интегрирования
и пределов по соответствующим переменным.
Напомним, что переменные пределы
интегрирования внутреннего
интеграла
являются границами изменения x
при фиксированном y.
Поэтому область интегрирования
D1
для первого интеграла можно задать
неравенствами
где
и
представляют собой дуги параболыy
= x2
– 1, лежащие
ниже оси Ox.
Область интегрирования во втором
интеграле имеет вид
где кривые
и
представляют
собой дуги параболыy
= x2
– 1
и дугу
окружности (x
– 2)2
+ y2
= 9,
лежащие
выше оси Ox.
Пусть D
= D1U D2
(рисунок 58). Тогда каждая прямая x = const,
x[–1;
2], пересекает
множество D
по отрезку с концами y
= x2 – 1
и
y
=
Следовательно,
область D
можно представить в виде
Значит,
Заметим, что перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.
Пример 4.
Вычислить
интеграл
где область D
ограничена линиями: y
= ln
x,
y
=
+
2 и
y
= 0 (рисунок
59).
Решение
При каждом
фиксированном значении y,
y
[0; 1],
значение
x
меняется от x
= ey
до x
= (2 – y)e.
Поэтому
Интегрируя теперь функцию φ(y) по y в пределах от y = 0 до y = 1, получим
При
вычислении интеграла
используем
форму интегрирования по частям. Имеем
=
Итак,
Рисунок 58 Рисунок 59
Тест 1. Связным на оси OX не является:
1) любое множество точек;
2) полуинтервал;
3) интервал;
4) вся ось OX;
5) отрезок.
Тест 2. Пусть фигура Ф – плоская область D = {(x; y): 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 7}. Тогда диаметром Ф является число:
1) 3;
2) 5;
3) 15;
4)
;
5) 8.
Тест 3. Пусть фигура Ф – плоская область D = {(x; y): 1 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 7}. Тогда мерой Ф является число:
1) 3;
2) 5;
3) 15;
4)
;
5) 8.
Тест 4. Интеграл по фигуре Ф существует, если на связной ограниченной фигуре Ф функция Ф(Р):
1) определена;
2) непрерывна;
3) имеет конечное число точек разрыва;
4) имеет только точки разрыва 1-го рода;
5) имеет бесконечное число точек разрыва.
Тест 5.
Пусть фигура Ф
– плоская область D
= {(x;
y):
1 ≤ x
≤ 5,
2 ≤ y
≤ 7}.
Тогда
равен:
1) 4;
2) 20;
3) 5;
4)
;
5) 35.
Тест 6.
Пусть фигура Ф
– плоская область D
= {(x;
y):
1 ≤ x
≤ 5,
2 ≤ y
≤ 7}. Тогда
равен:
1) 40;
2) 20;
3) 50;
4) 80;
5) 35.
Тест 7. Пусть Ф − фигура, ограниченная линиями y = x3, у = 0, x = 3. Тогда ее площадь равна:
1) 20,25;
2) 21;
3) 19,5;
4) 22;
5) 20,5.