- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа дисциплины
- •Тема 1. Случайные события и вероятность
- •Тема 2. Случайные величины и законы их распределения
- •Тема 3. Закон больших чисел
- •Тема 4. Основы математической статистики
- •1. Основные понятия и теоремы теории
- •1.1. Классификация событий. Действия над событиями
- •Испытанием называется осуществление определенной совокупности условий.
- •Произведением двух событий а и в называют событие ав, состоящее в совместном появлении этих событий.
- •1.2. Понятие вероятности
- •1.2.1. Классическое определение вероятности
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Решение
- •1.2.3. Статистическое определение вероятности
- •Решение
- •Решение
- •1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Теорема Пуассона
- •2.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •2.4. Интегральная теорема Лапласа
- •2.5. Наивероятнейшее число появлений события
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •3. Случайные величины, их распределение
- •3.1. Понятие случайной величины. Классификация случайных
- •3.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Решение
- •3.3. Числовые характеристики дискретных
- •3.4. Непрерывные случайные величины
- •3.5. Числовые характеристики непрерывной
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •4. Некоторые законы распределения
- •4.1. Биномиальный закон распределения
- •4.2. Закон Пуассона
- •4.3. Равномерное распределение
- •4.4. Показательное распределение
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •5. Двумерные случайные величины
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •6. Закон больших чисел
- •6.1. Неравенство Маркова
- •6.2. Неравенство Чебышева
- •6.3. Теорема Чебышева
- •6.4. Теорема Бернулли
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •7. Выборочный метод
- •7. 1. Выборка
- •7.2. Статистические ряды
- •7.3. Эмпирическая функция распределения
- •Вопросы для самоконтроля
- •7.4. Числовые характеристики выборки
- •7.5. Интервальные оценки неизвестных параметров
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •9. Исследование взаимосвязи
- •9.1. Ковариация и корреляция
- •9.2. Регрессия
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Теория вероятностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
3.3. Числовые характеристики дискретных
случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
. (3.1)
Математическое ожидание оценивает среднее значение случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1. М(С) = С.
2. М(СХ) = СМ(Х).
3. М(Х + Y) = M(X) +M(Y).
4. М(ХY) = M(X)M(Y), случайные величины X и Y независимые.
Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания M(X) называется случайная величина X – M(X).
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
. (3.2)
Дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины относительно математического ожидания.
Свойства дисперсии:
1. D(C) = 0.
2. D(CX) = C2D(X).
3. D(X Y) = D(X) + D(Y).
Дисперсию случайной величины удобно вычислять по формуле
. (3.3)
Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии, т. е.
. (3.4)
Так же как и дисперсия среднее квадратическое отклонение характеризует степень разброса значений случайной величины относительно математического ожидания. Единицы измерения M(X) и совпадают,D(X) измеряется в единицах квадратных.
Пример 3.9. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, ряд распределения которой получили в примере 3.8.
Решение
В примере 3.8 получили приведенный ниже ряд распределения
-
X
0
1
2
3
4
pi
1. По формуле (3.1) найдем математическое ожидание:
.
2. По формуле (3.3) определим дисперсию:
.
.
3. По формуле (3.4) найдем среднее квадратическое отклонение:
.
Пример 3.10. Найти математическое ожидание случайной величины Y = 3X + 5, если M(X) = 2.
Решение
Используя свойства математического ожидания, получим:
Ответ: 11.
Пример 3.11. Найти дисперсию случайной величины Y = 3X + 5, если D(X) = 4.
Решение
Используя свойства дисперсии, получим:
.
Ответ: 36.
Тест 3.5.математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной рядом распределения
-
x
-1
0
1
pi
0,1
0,7
0,2
равно:
1) –2;
2) 0;
3) 1;
4) 0,014;
5) 0,1.
Тест 3.6. Дисперсия дискретной случайной величины, заданной рядом распределения
-
x
-1
0
1
pi
0,1
0,7
0,2
равна:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Тест 3.7. Известно математическое ожидание случайной величины X : M(X) = 1. Тогда математическое ожидание случайной величины Y = 2 + 7X будет равно:
1) 2;
2) 9;
3) 1;
4) 7;
5) 0.
Тест 3.8. Дисперсия случайной величины равна 2. Тогда дисперсия случайной величиныбудет равна:
1) 2;
2) 9;
3) 49;
4) 10;
5) 50.
3.4. Непрерывные случайные величины
Функция распределения непрерывной случайной величины F(x) = P(X < x) является непрерывно дифференцируемой, за исключением конечного числа точек.
Все свойства функции распределения дискретной случайной величины выполняются и для функции распределения непрерывной случайной величины.
Производная от функции распределения F(x) называется плотностью распределения вероятностей (или дифференциальной функцией распределения):
.
Пример 3.12. Дана функция распределения непрерывной случайной величины
Найти плотность распределения этой случайной величины.
Решение
При x= 5 имеем:,.
Так как , тоне существует.
При x= 10 имеем:,.
Так как , тоне существует.
Тест 3.9. Дана функция распределения непрерывной случайной величиныX:
Дифференциальная функция распределения (плотность распределения) f(x) будет равна:
1) 0;
2) 1;
3)
4)
5)
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле
Вероятность того, что непрерывная случайная величина x примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), определяется равенством
,
.
Пример 3.13. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , черези.
Решение
1. Воспользуемся формулой
.
По условию ;; на этом интервале . Следовательно, искомая вероятность
.
2. Найдем плотность распределения:
Воспользуемся формулой .
Тогда
.
Ответ: .
Тест 3.10. Дана функция распределения непрерывной случайной величины
Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (3;4), равна:
1) 0;
2) ;
3)
4) 1;
5) .