- •Белкоопсоюз
- •Удк 51 ббк 22.11
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •1. Случайные события и вероятность
- •2. Случайные величины и законы их распределения
- •3. Нормальный закон распределения
- •1. События и вероятности
- •1.1. Классификация событий
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Статистическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Действия над событиями
- •Сложение и умножение вероятностей. Теоремы сложения вероятностей
- •Теоремы умножения вероятностей
- •Вероятность произведения зависимых событий
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.7. Повторные независимые испытания
- •Формула Бернулли
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простейший поток событий
- •Локальная теорема Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Наивероятнейшее число появлений события
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие случайной величины
- •2.2. Функция распределения
- •Основные свойства функции распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Плотность распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.6. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •Равномерное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Нормальное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Показательное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.7. Функция одной случайной величины
- •3. Система двух случайных величин
- •3.1. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Индивидуальные задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Приложения
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти значение коэффициента C и плотность распределения f(x) случайной величины X, функция распределения которой имеет вид:
Ответ: C = 1;
2. Найти вероятность того, что значение случайной величины X принадлежит интервалу (2; 3), если плотность распределения величины X задана функцией:
Ответ:0,2.
3. Найти плотность распределения f(x) случайной величины Х, функция распределения которой имеет вид:
Какова вероятность того, что значение случайной величины X принадлежит интервалу (0,5; 1)?
Ответ: P = 0,5.
4. Найти интегральную функцию распределения F(x) и оценить вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (0,5; 1,5), если плотность распределения величины X имеет вид:
Построить графики функций f(x) и F(x).
Ответ: P(0,5 < Х < 1,5) = 0,375.
2.5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X определяется по следующей формуле:
, (57)
где .
Дисперсия непрерывной случайной величины X:
, (58)
где .
Все свойства M(X) и D(X), указанные выше в п. 2.3 для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин.
Начальный момент порядка k непрерывной случайной величины X вычисляется по формуле
. (59)
Центральный момент порядка k непрерывной случайной величины X, определяется равенством:
. (60)
Если все возможные значения X принадлежат интервалу (a; b), то
; (61)
. (62)
Пример 2.15. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, которая задана дифференцированной функцией f(x) = 2x в интервале (0; 1), вне его f(x) = 0.
Решение. .
Пример 2.16. Найти математическое ожидание и начальный момент второго порядка случайной величины X, заданной интегральной функцией:
Решение. Найдем дифференциальную функцию X:
Используя формулу (61) рассчитаем математическое ожидание: .
По формуле (60) найдем начальный момент второго порядка:
Пример 2.17. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения:
Необходимо выполнить следующее:
1. Найти плотность вероятности (дифференциальную функцию).
2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию X.
3. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,5).
4. Построить графики функций F(x) и f(x).
Решение.
1. Найдем функцию плотности вероятности случайной величины X. Согласно формуле (51) плотность вероятности f(x) равна
2. Вычислим математическое ожидание используя формулу (61):
.
Дисперсию величины X рассчитаем по формуле (58):
3. Согласно формуле (55) вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,5) будет равна: .
4. Построим графики функций F(x) и f(x). Графики функций F(x) и f(x) отражены на рис. 2.5 и 2.6.
Рис. 2.5. График интегральной функции |
Рис. 2.6. График дифференциальной функции |
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти дисперсию случайной величины X, заданной следующей интегральной функцией:
Ответ: .
2. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, которая задана дифференциальной функцией в интервале (0; 5) и вне его f(x) = 0.
Ответ: D(X) = 110, (X) =.
3. Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков случайной величины X, которая задана следующей функцией распределения:
Ответ: ; ; ; ; ; .