Примеры
Пример 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал
Уравнение Эйлера имеет вид ; его общим решением является . Используя граничные условия, получаем: , ; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой
Пример 2. На каких кривых может достигать экстремума функционал
Уравнение Эйлера имеет вид , откуда Используя граничные условия, получаем: , ; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой .
В этих двух примерах уравнение Эйлера легко интегрировалось, но так бывает далеко не всегда, так как дифференциальные уравнения второго порядка интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
-
F не зависит от у':
Уравнение Эйлера имеет вид , так как . Решение полученного конечного уравнения не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям .
Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая
проходит через граничные точки и , существует кривая, на которой может достигаться экстремум.
Пример 3.
Уравнение Эйлера имеет вид
Рисунок
3 Рисунок
4
-
Функция f линейно зависит от у':
Рисунок 5
Уравнение Эйлера имеет вид
или
или
но это опять, как и в предыдущем случае, конечное, а не дифференциальное уравнение. Кривая , вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций. Если же , то выражение является точным дифференциалом и
не зависит от пути интегрирования, значение функционала v постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.
Пример 4.
Уравнение Эйлера имеет вид . Первое граничное условие удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь при а = 1. Если же , то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует.
Пример 5.
Уравнение Эйлера превращается в тождество . Подынтегральное выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути интегрирования:
по какой бы кривой мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла.