Методические рекомендации
.pdf0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С 8.19 F ( x) = x − |
|
|
|
, |
|
|
0 < x ≤ 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ −1; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
С 8.20 F ( x) = |
(x |
|
|
|
, −1 < x ≤ 4; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 4. |
|
|
||||||||||||||||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ −2; |
|
|
||||||||||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
+ 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
С 8.21 F ( x) = |
(x |
|
|
, − 2 < x ≤ 5; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 5. |
|
|
|||||||||||||||||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С 8.22 F ( x) = x − |
1 |
2 |
, |
1 |
|
< x ≤ |
5 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > |
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ |
1 |
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||
С 8.23 F (x) = x |
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
≤ x |
≤ |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > |
6 |
|
|||||||||||||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 1; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С 8.24 F ( x) = |
1 |
|
(x2 − x), 1 < x ≤ 2; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 2. |
||||||||||||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
(0; 2 )
(−1; 2 )
1 |
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
2 |
; |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
5 |
5 |
||||
|
|
|
3 |
; 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
С8.25 F ( x) =
С8.26 F ( x) =
|
|
|
|
|
x ≤ −1; |
||||
0, |
|
|
|||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x + |
|
−1 < x ≤ |
|
|
|
|||
|
|
|
, |
|
; |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
1, |
|
|
x > |
1 |
. |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
0, |
|
|
x ≤ 2; |
||||||
( x − 2)2 , 2 < x ≤ 3; |
|||||||||
1, |
|
|
x > 3. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0; |
|||||
|
0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 8.27 F ( x) = |
8x3 , |
0 < x ≤ |
1 |
; |
|
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1, |
|
|
x > |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
0, |
x ≤ 0; |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
С 8.28 F ( x) = |
x |
|
, |
0 < x ≤ 2; |
|||||
|
|
||||||||
|
8 |
x > 2. |
|||||||
|
1, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С8.29 F ( x) =
С8.30 F ( x) =
0, |
|||
x2 + 2x |
|||
|
|
|
, |
8 |
|
||
|
|
|
|
1, |
|||
|
|
|
|
0, |
|||
|
3x + 6 |
||
|
|||
|
|
, |
|
15 |
|
||
|
|
|
|
1,
x ≤ 0;
0 < x ≤ 2;
x > 2. x ≤ −2;
−2 < x ≤ 3;
x> 3.
84
(0;5 )
|
5 |
|
2; |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
0; |
1 |
|
|
|
|
|
||
3 |
||||
|
|
|
(1; 4 )
(−1;1 )
(0; 2 )
Тема 7 Нормальный закон распределения
Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность f (х) имеет вид
f (x) = |
|
|
|
|
− |
( x − a)2 |
|
1 |
|
e |
2σ 2 |
. |
|||
|
|
||||||
σ |
|
|
|
|
|||
2π |
|
|
|||||
Здесь M ( X ) = a, D( X ) = σ 2 . В этом случае пишут X ~ N (a,σ ) , где σ – среднее квадратическое отклонение.
Решение типовых задач Задача 1. При сортировке случайные значения веса зерна рас-
пределены нормально со средним значением 0,15 г и средним квадратическим отклонением 0,03 г. Нормальные всходы дают зерна, вес которых более 0,10 г. Определить: а) процент семян, от которых следует ожидать нормальные всходы; б) величину, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,99.
Решение. Обозначим Х – случайный вес зерна. По условию a = M ( Χ ) = 0,15 , σ ( Χ ) = 0,03.
а) Процент семян, дающих нормальные всходы – это вероятность того, что взятое наугад зерно нормально взойдет. По условию нормальные всходы дают зерна, удовлетворяющие условию
Х > 0,10.
Вероятность этого события найдем по формуле
|
|
1 |
|
α |
− a |
|
|
|
|
||||
Ρ( X > α ) = 1− Ρ( X ≤ α ) ≈ |
|
|
− Φ |
|
σ |
. |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя числовые значения, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,10 − 0,15 |
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
|
||||
Р( X > 0,10) ≈ 0,5 − Φ |
|
|
|
|
= 0,5 − Φ |
|
|
= |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
0,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
= 0,5 + Φ(1,67) = 0,5 + 0,452 = 0,952, |
|
|
|
|
|||||||||
т. е. от 95,2% семян следует ожидать нормальных всходов. |
|||||||||||||
б) Обозначим искомую величину веса через |
|
β . Воспользу- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
β |
− a |
|||
емся для ее нахождения формулой Ρ( X ≤ |
β ) ≈ |
|
|
+ Φ |
|
|
|
. |
|||||
|
|
σ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Находим из условия Ρ(X ≤ β) = 0,99 или
85
|
β − 0,15 |
|
|
|
β − 0,15 |
|
|
|
|
|
0,5 +Φ |
|
|
= 0,99 ; |
Φ |
|
|
= 0,49 . |
|
||
|
|
|||||||||
|
0,03 |
|
|
|
0,03 |
|
|
β − 0,15 |
|
|
По таблице значений функции F(x) |
находим |
= 2,33 , |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
|
||
откуда β = 0,22 . Таким образом, вес взятого наугад зерна не бу-
дет превышать 0,22 г с вероятностью 0,99.
Задача 2. Случайные отклонения диаметра детали, выпускаемой цехом, от номинала распределены нормально. Математическое ожидание диаметра детали равно 20 мм, а дисперсия 0,36 мм. Найти:
1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) имеет размеры от 19 до 22 мм; б) отличается от математического значения не более чем на 1 мм (по абсолютной величине); 2) границы, в которых следует ожидать величину диаметра детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна
0,9876.
Решение. Обозначим Х – величина диаметра детали. По ус-
ловию a = M ( X ) = 20 , D( X ) = 0,36 , тогда σ = |
|
0,36 |
= 0,6 . |
||||||||||||||||||||||||
|
1.а) Найдем вероятность P(19 < X < 22) , |
для чего воспользу- |
|||||||||||||||||||||||||
емся формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β − a |
|
|
α − a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
P(α < X < β ) ≈ Φ |
|
|
|
|
|
− Φ |
σ |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 − 20 |
19 − 20 |
|||||||||||||||
Получаем P(19 < |
X < 22) ≈ Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− Φ |
|
|
|
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
0,6 |
||||||||||
|
|
|
= F(3,33) - F(-1,67) = 0,4996 + 0,4525 = 0,9571. |
||||||||||||||||||||||||
|
1.б) Найдем вероятность P( |
|
x − 20 |
|
≤ 1) . Имеем |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
P( |
X − a |
≤ ε) ≈ 2Φ |
|
или P( |
|
X |
− 20 |
≤1) ≈ 2Φ |
|
|
|
= 2Φ(1,67) = 0,9051. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) |
По условию P( |
|
X − a |
|
≤ ε ) = 0,9876 . По таблице значений |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
F(x) |
находим |
2Φ(ε |
|
/σ ) = |
|
0,9876 |
значит, |
ε /σ = 2,5 , отсюда |
|||||||||||||||||||
ε = 2,5 ×σ = 2,5 ×0,6 =1,5 .
86
Диаметр детали X удовлетворяет неравенству X − 20 ≤ 1,5 .
Отсюда находим − 1,5 ≤ X − 20 ≤ 1,5 или 18,5 ≤ X ≤ 21,5 , т.е. x (18,5;21,5) с вероятностью 0,9876.
Задача 3. Результат взвешивания химреактива распределен по нормальному закону со средним квадратическим отклонением веса σ = 0,02 г. Какое отклонение массы реактива можно га-
рантировать с вероятностью 0,2? |
что σ = 0,02 , |
|||||||||
Решение. В условии |
задачи дано, |
|||||||||
P( |
|
X − a |
|
≤ ε ) = 0,2 , где a = М ( X ) . Нужно найти ε . |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Воспользуемся формулой |
P( |
X − a |
|
≤ ε ) ≈ 2Φ |
|
. |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно условию задачи |
2Φ(ε /σ ) = 0,2 . По таблице значе- |
|||||||||
ний функции Лапласа F(x) имеем 2F(0,1585) = 0,2 . |
||||||||||
Значит, ε /σ = 0,1585 , откуда ε = 0,1585×σ = 0,1585×0,02 » 0,0032.
Итак, с вероятностью 0,2 можно ожидать отклонения массы реактива, равного 0,0032 г.
Задачи для отчета преподавателю Блок А
А7.1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Среднее квадратическое отклонение равно 3,6 мм. Найти вероятность того, что: а) длина наудачу взятой детали заключена в границах от 40 до 55 мм; б) отклонение длины изготовленной детали проектной по абсолютной величине не превзойдет 5 мм.
А7.2. Производится измерение расстояния между 2 пунктами. Случайные ошибки подчинены нормальному закону. Найти вероятность того, что измерение расстояния будет произведено с ошибкой не более 60 мм, если σ = 50 мм.
А7.3. Автомат изготовляет шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение его диаметра от проектного не превосходит 0,6 мм. Считая, что диаметр изготовленного шарика есть нормально распределенная величина, среднее квадратическое
87
отклонение которой равно 0,3 мм, найти, сколько годных шариков будет среди 100 изготовленных.
А7.4. Диаметр валика – случайная нормально распределенная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно σ =
=5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9545 попадет длина диаметра валика.
А7.5. Ведется стрельба по цели из орудия. Средняя дальность полета снаряда – 1000 м. Найти долю выпускаемых снарядов, дающих перелет до 60 м, если среднее квадратическое отклонение дальности полета снаряда равно 30 м.
А7.6. Известно, что вес клубня картофеля подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 125 г и σ = 15 г. Найти вероятность того, что вес наудачу взятого плода будет: а) не менее 200 г; б) не более 300 г.
А7.7. Ошибка измерительного прибора – случайная величина, распределенная по нормальному закону. Ее среднее квадратическое отклонение 4 мм. Найти вероятность того, что в 6 независимых измерениях ошибка (по модулю): а) превзойдет 3 мм менее 4 раз; б) хотя бы 1 раз окажется в интервале от 0,6 до 2,0 мм.
А7.8. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм.
Точность изготовления детали характеризуется σ = 5 мм. Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом. Какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98%?
А7.9. Измеряемая величина Х подчиняется закону N (10; 5). Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью p попадет измеренное значение. Провести расчеты для: а) p = 0,9973; б) p = 0,9545; в) p = 0,6827.
А7.10. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N (25; 0,45). В какой интервал попадут ее значения с вероят-
ностью 0,9545?
А7.11. Деталь изготавливается на станке. Ее размер Х представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону
88
со средним значением 20 см и дисперсией 0,2 см2. Какую относительную точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95?
А7.12. В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 12 и 40% значений Х больше 16,2. Найти среднее значение и дисперсию этого распределения.
А7.13. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. В предположении нормальности определить, каков процент коробок, масса которых превышает 940 г.
А7.14. Химический завод изготовляет серную кислоту плотности 1,84 г/см3. В результате статистических испытаний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86). Предполагается, что плотность серной кислоты имеет нормальное распределение. Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более чем на 0,01 г/см3.
А7.15. Случайная величина X распределена по нормальному закону N (1; 0,3). Найти вероятности следующих событий: X ³ 1,5 и
0,5 £ X £ 1,5 .
А7.16. Ошибка высотомера распределена нормально с параметрами a = 20 мм, σ = 10 мм. Найти вероятность того, что отклонение ошибки от ее среднего значения не превзойдет 5 мм по абсолютной величине.
А7.17. Случайная величина Х подчиняется закону N (1;σ ). Известно, что Р(X < 2) = 0,99. Вычислить М(Х2) и Р(Х2 >2).
А7.18. Случайная величина Х распределена по закону N ( a , σ ). Найти вероятность того, что отклонение величины Х от ее математического ожидания не превзойдет величины 2σ .
А7.19. В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 15 и 40% значений Х больше 18,2. Найти a и σ этого распределения.
А7.20. Диаметр электродвигателя есть нормально распределенная случайная величина с параметрами a = 100 мм и σ =1,6 мм. Найти вероятность того, что диаметр случайно взятого электродвигателя находится в интервале (98; 101).
89
А 7.21. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка подчинена нормальному закону с a = 20 м и σ = 10 м. Определить вероятность того, что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или иную сторону не более чем на 15 м.
А 7.22. Средний размер детали 8 см, а дисперсия равна 0,0004 см2. В предположении о нормальном распределении определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой детали от среднего размера, которое можно гарантировать
свероятностью не менее чем 0,9973.
А7.23. Изделия, выпускаемые цехом, по своим линейным размерам распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 6 см. Известна вероятность, равная 0,9758, что наудачу взятое изделие будет иметь размеры в границах от 5,95 до 6,05 см. Найти дисперсию этой случайной величины.
А7.24. Длина изготовляемой детали есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с a = 10 см и σ = 0,2 см. Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны
быть 10 ± 0,3 см. Какую точность длины изготовленной детали можно гарантировать с вероятностью 0,9758?
А 7.25. На автомате изготавливают заклепки. Диаметр их головок представляет собой случайную величину X, распределенную по нормальному закону с параметрами a = 2 мм и σ 2 = 0,01 мм2. Найти вероятность брака, если допустимые размеры головок 2 ± 0,05 мм. Какие размеры диаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью 0,9545?
А7.26. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 80 грибов белых будет 20?
А7.27. Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать вступительные экзамены. В среднем их выдерживают 25% абитуриентов. Предположим, что в приемную комиссию поступило 1800 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 450 поступающих успешно сдадут экзамены?
А7.28. Кандидата в высший орган республики поддерживают 80% населения. В каких пределах с вероятностью 0,95 находится число проголосовавших «за» на выборах кандидата, если число избирателей равно 36 000 000?
90
А7.29. Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с вероятностью 0,99 можно было бы утверждать, что частость выпадения герба отличается от 0,5 не более чем на ε = 0,01?
А7.30. Известно, что из 100 семей 80 имеют холодильник. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильник.
А7.31. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 1/4. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет находиться в пределах от 564 до 600.
А7.32. Найти минимальный объем выборки, чтобы с надежностью 0,9109 точность оценки математического ожидания диаметров изготовляемых валиков по выборочной средней будет равна 0,4 мм. Известно, что диаметр валиков в генеральной совокупности есть нормальная случайная величина с σ = 3,2 мм.
А7.33. Определить вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента выполнения месячного плана рабочими цеха не превысит 2%, если было обследовано 25 рабочих и известно, что процент выполнения плана любым рабочим есть нормально распределенная случайная величина с σ = 8%.
А7.34. По данным испытаний 16 ламп определено σ = 20 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить
снадежностью 0,95 верхнюю границу доверительного интервала для генеральной дисперсии.
А7.35. По результатам 9 измерений средняя высота исследуемой детали оказалась равной х = 50 мм, а выборочное среднее квадратическое отклонение равно 0,8 мм. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98 х; 1,02 х).
А7.36. На основании измерения 12 деталей вычислено σ = 10 мм. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить вероятность того, что истинное значение генерального среднего квадратического отклонения будет находиться в интервале
(0,89σ ; 1,11σ ).
А 7.37. На основе данных, полученных с 26 выбранных участков района размером 1 га, оказалось, что средняя урожайность пшеницы составила х = 30 ц/га, выборочное среднее квадратическое отклонение
91
– 3 ц/га. Найти надежность доверительного интервала с границами 0,95х и 1,055х, считая, что х распределена нормально.
А7.38. Для определения доли дефектных штанг из партии взята случайная выборка объемом в 400 штук. Среди отобранных штанг оказалось 25 дефектных. Определить с вероятностью 0,9281 максимальную долю дефектных изделий во всей партии.
А7.39. Из большой партии электромагнитных реле было отобрано
иподвергнуто контрольной проверке 600 шт. Среди них 18 штук оказались дефектными. Определить вероятность того, что в партии доля бракованных реле окажется не меньше 0,01 и не более 0,05.
А7.40. Случайная величина X распределена нормально со средним a = 10, а вероятность ее попадания в интервал (5, 15) равна 0,8. Найти вероятность попадания X в интервал (9, 10).
Блок В
В7.1. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 170 см, а дисперсия – 36. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 до 172 см.
В7.2. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами: а = 5 см; σ 2 = 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.
В7.3. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами:
а= 16 км; σ = 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) не меньше 15,8 км; б) не более 16,25 км;
в) от 15,75 до 16,3 км.
В7.4. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.
92