Методические рекомендации

А5.27. Команда состоит из 2 биатлонистов, вероятность попадания в цель 1-м из которых равна 0,8, а 2-м – 0,9. По условию соревнований – 1- й может сделать 1 выстрел, 2-му же, в случае промаха, разрешено сделать еще один выстрел. Составить закон распределения общего числа попаданий.

А5.28. Из коробки, содержащей 7 окрашенных и 3 неокрашенных шара, извлекаются по 1 шару. Составить закон распределения числа неокрашенных шаров, извлеченных до появления 1-го окрашенного шара, и найти их среднее число. Рассмотреть 2 схемы опыта – извлеченный неокрашенный шар в коробку: а) не возвращается; б) возвращается перед новым извлечением.

А5.29. Три цеха стекольного завода изготовляют продукцию в соотношении 9:8:3. Среди продукции 1-го цеха – 70% термостойкой, среди продукции 2-го цеха – 80%, среди продукции 3-го цеха – 90%. Найти среднее значение числа термостойких изделий среди наудачу взятых 10 изделий.

А 5.30. В ящике лежат 10 теннисных мячей, среди которых 6 новых и 4 играных. Из ящика извлекаются наугад 2 мяча для игры, после чего возвращаются в ящик. После этого из ящика вновь извлекаются 2 мяча для следующей игры. Составить закон распределения числа новых среди взятых во второй раз мячей.

А 5.31. Длительной проверкой установлено, что из каждых 10 двигателей один нуждается в дополнительной регулировке. Составить закон распределения числа нуждающихся в дополнительной регулировке двигателей среди 3 взятых наудачу.

А5.32. В автобусе 4 пассажира. Считается, что каждый из пассажиров с равной вероятностью может сойти на любой из оставшихся 3 остановок. Пусть Х означает число пассажиров, сошедших на 1-й остановке. Написать закон распределения случайной величины Х и найти ее числовые характеристики.

А5.33. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1/4, выжить – с 1/4 и разделиться на две –

с1/2. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от ее "происхождения" происходит то же самое. Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к концу 2-го промежутка времени?

63

А5.34. Всхожесть семян данного растения определяется вероятностью 0,6. Пусть X – число появившихся растений из 5 семян. Найти закон распределения X.

А5.35. Случайная величина X принимает два значения: х1 = 4, х2 = 5, причем M(X) = 4,6. Найти закон распределения X.

А5.36. Случайная величина X имеет закон распределения, определяемый таблицей

Найти закон распределения случайной величины Y = 5Х - 1.

А5.37. Пусть X – сумма очков при двух бросаниях игральной кости. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

А5.38. Случайная величина X принимает значения х1 и х2 с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(Х) = 0,16. Найти значения случайной величины Х.

выбранных. Найти закон распределения X, М(Х) и D(Х).

А 5.40. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой величины.

Блок В

В5.1. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

В5.2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Производится шесть выстрелов. Составить закон распределения числа: а) попаданий; б) непопаданий в цель.

В5.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.

64

В5.4. Обрыв связи произошел на одном из пяти звеньев телефонного кабеля. Монтер последовательно проверяет звенья для обнаружения места обрыва. Составить закон распределения количества обследованных звеньев, если вероятность обрыва связи одинакова для всех звеньев.

В5.5. Вероятность того, что денежный автомат при опускании монеты сработает правильно, равна 0,97. Составить закон распределения числа опусканий монет в автомат до первого правильного срабатывания автомата.

В5.6. Имеется пять различных ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках открыть замок: а) не участвует; б) участвует.

В5.7. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

В5.8. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимость которых 210 и 60 грн. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) один билет; б) два билета. Стоимость билета 3 грн. Убедиться в справедливости свойства математического ожидания для суммы зависимых случайных величин.

В5.9. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число попаданий в мишень при четырех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Вычислить ее математическое ожидание и дисперсию, пользуясь только их определениями, а результаты проверить по формулам этих характеристик для случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

В5.10. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Известны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из станков:

а) для первого станка:

65

Тема 6 Функция распределения случайной величины.

Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности

Функция распределения случайной величины Х выражает вероятность того, что Х примет значение, меньше х:

F (x) = P( X < x) .

Свойства функции распределения: F (-¥) = 0 , F (+¥) = 1 ,

0 £ F (x) £ 1; если x2 > x1 , то F (x2 ) ³ F (x1) .

Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток [a, b] определяется формулой

P(a £ X £ b) = F (b) - F (a) .

Если функция F (x) непрерывна и имеет всюду (кроме, возможно, конечного числа точек) непрерывную производную, то случайную величину Х называют непрерывной, а функцию f (x) = F′(x) назы-

вают плотностью вероятностей случайной величины X.

Имеют место формулы:

x ∞ b

f (x) ³ 0 , F(x) = ∫ f (t) dt, ∫ f (x) dx =1, P(a £ X < b) = ∫ f (x) dx .

−∞ −∞ a

Решение типовых задач Задача 1. Закон распределения величины Х задан таблицей

Найти функцию распределения этой случайной величины и по-

величина не принимает ни одного значения, меньшего -1.

Если -1 < x £ 0 , то в промежуток (-¥; x) попадает 1 значение

случайной величины x = -1 с вероятностью 0,2, следовательно, F (x) = P( X = -1) = 0,2 . Если 0 < x £ 2 , то в промежуток (-¥; x) попадают 2 значения случайной величины, т.е. она может принять значения x = -1 или x = 0 , следовательно,

67

F (x) = P( X = −1) + P( X = 0) = 0,2 + 0,5 = 0,7 .

Если 2 < x < ∞ , то в промежуток (−∞; x) попадают все значе-

ния случайной величины, поэтому

F (x) = P( X = −1) + P( X = 0) + P( X = 2) = 1.

Итак, получаем функцию распределения

Строим график этой функции

Задача 2. Даны независимые случайные величины X и Y

Обозначим X + Y = Z – новая случайная величина, ее закон распределения будет иметь вид

или окончательно

Рассчитаем математические ожидания исходных случайных величин:

M ( X ) = 2 × 0,7 + 4 × 0,3 = 2,6 ; M (Y ) = -1× 0,4 + 0 × 0,1 + 2 × 0,5 = 0,6 ;

M ( X ) + M (Y ) = 2,6 + 0,6 = 3,2 .

По закону распределения Z = X + Y находим

M (Z ) = M ( X + Y ) = 1× 0,28 + 2 × 0,07 + 3 × 0,12 + 4 × 0,38 + 6 × 0,15 = 3,2 .

Следовательно, свойство M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) справедливо. Задача 3. Задана функция распределения случайной величины X:

Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина примет значение от 1 до 2. Найти плотность вероятности случайной величины и дисперсию.

Решение. Вероятность того, что 1 < X < 2 , найдем по форму-

ле P(a < X < b) = F (b) - F (a) . Тогда

P(1 < X < 2) = F (2) - F (1) = 1 - 0,5 = 0,5 .

Плотность вероятности f (x) по определению есть F ′(x) ,т.е.

Задачи для отчета преподавателю

Блок А

А 6.1. Случайная величина Х задана законом распределения

Найти функцию распределения этой случайной величины и построить график. Определить аналитически и показать на графике

P( X < 1) и P(X > 1).

А6.2. Снайпер стреляет до 1-го попадания. Вероятность промаха при одном выстреле равна р. Найти функцию распределения числа промахов.

А6.3. Составить функцию распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

А6.4. Среди поступающих в ОТК приборов 20% имеют отклонения от номинала. Найти функцию распределения числа точно собранных приборов среди 4, поступивших на контроль. Определить вероятность того, что число неточно собранных приборов будет меньше 3.

А6.5. Время ожидания троллейбуса распределено равномерно в интервале (0;5). Найти плотность вероятности времени ожидания, функцию распределения, среднее время ожидания и вероятность того, что пассажир будет ждать троллейбус не более 3 мин.

А6.6. Плотность распределения случайной величины Х задана формулой

б) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал (-1; 2); в) математическое ожидание этой случайной величины.

70

А 6.7. Найти плотность вероятности и функцию распределения времени ожидания поезда метрополитена, зная, что оно равномерно распределено в интервале (0; 2). Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

В задачах А 6.8 – А 6.12 непрерывная случайная величина задана интегральной функцией F (x) . Требуется найти: а) значение

параметра a ; б) дифференциальную функцию f (x) ; в) математи-

ческое ожидание и дисперсию случайной величины X; г) построить графики функций F (x) и f (x) ; д) вероятность того, что случайная

величина Х попадет в интервал (-1; 4).

0 приx£-2,

= × + при- < £

А 6.10. F(x) a (x 2) 2 x 4,

1 приx>4.

Требуется найти: а) значение параметра a ; б) интегральную функцию F (x) ; в) M ( X ) и D( X ) ; г) вероятность того, что 0 < Х < 1/3. Построить графики функций F (x) и f (x) . Принять b равным:

А6.21. Брошены одновременно 2 игральные кости. Случайная величина Х принимает значение 1, если хотя бы на 1 игральной кости выпадает цифра 6; значение 2, если хотя бы на 1 из граней появилась четная цифра, но не 6; значение 0 – в остальных случаях. Написать функцию распределения этой случайной величины и найти ее математическое ожидание.

А6.22. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, случайным образом и без возвращения извлекают 3 шара. Составить функцию распределения случайной величины – числа черных шаров среди взятых. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

А6.23. Для сборки прибора требуется 4 однотипных деталей. Всего имеется 6 деталей, из которых только 5 доброкачественных. Составить функцию распределения случайной величины – числа доброкачественных деталей среди отобранных 4 деталей. Указать вероятность того, что можно будет произвести сборку прибора.

А6.24. Случайная величина Х распределена по закону равнобедренного треугольника в интервале (-3; 3). Ее плотность вероятностей имеет вид, изображенный на рисунке. Найти F(x).

А6.25. В театральной кассе осталось: 3 билета в драматический театр, 5 билетов в театр комедии, 1 билет в оперный театр и 1 билет в театр эстрады. Приобретение покупателем билета в любой из театров равновозможно. Составить закон распределения и найти функцию распределения числа билетов в драматический театр среди четырех билетов, купленных первыми.

А6.26. Функция распределения величины Х имеет вид

Найти закон распределения случайной величины X, M(X) и D(X).

72