2. Правила обработка результатов измерений

Для подтверждения физического закона или определения некоторой физической величины, как правило, необходимо проведение экспериментального исследования. Основным содержанием любого физического эксперимента является выполнение каких-либо измерений. Например, показание измерительного прибора (секундомера, вольтметра и т.п.) может быть прямо связано цепочкой анализа с изучаемой величиной или законом.

Измерение само по себе, без количественной оценки этой погрешности, имеет ограниченную ценность. Такие погрешности часто называют экспериментальными ошибками.

1. Типы экспериментальных ошибок

Экспериментальные ошибки, подразделяются на случайные, систематические и так называемые грубые ошибки, или, иначе, промахи.

Случайные ошибки представляют собой положительные и отрицательные флуктуации (отклонения от среднего значения), которые приводят к тому, что около половины результатов оказываются завышенными, а другая половина – заниженными. Источник случайных ошибок могут быть:

1) ошибки наблюдения – например, ошибки экспериментатора при считывании результата по шкале прибора;

2) влияние окружения – например, непредсказуемые колебания напряжения питания, температуры или механическая вибрация установки. Случайные ошибки, можно оценить методами математической статистики.

Систематические ошибки вызваны причинами, которые связаны с особенностями устройства измерительного средства или прибора. Ошибки такого типа либо постоянно завышают результат измерения, либо постоянно его занижают. Существует четыре основных вида систематических ошибок.

1) Приборные ошибки, обусловленные плохой калибровкой измерительного прибора.

2) Ошибки наблюдения, например, параллакс при считывании показаний по шкале стрелочного измерительного прибора.

3) Экзогенные, т.е. ошибки, связанные с окружающей обстановкой (средой). Например, падение напряжения в цепи питания может быть причиной заниженных результатов измерения токов.

4) Теоретические, обусловленные использованием упрощённой модели системы (явления) или приближенными уравнениями, описывающими систему (явления).

Экспериментатор, как правило, стремится выяснить и, по возможности, устранить систематические ошибки.

Грубые ошибки или промахи обусловлены чаще всего неисправностью средств измерений, неправильным считыванием показаний, резким изменением условий измерений и т.п. При обработке результатов измерений промахи отбрасывают, однако делать это следует с некоторой осторожностью.

2. Статистический анализ случайных ошибок

При проведении серии измерений некоторой физической величины (например, длины, с помощью линейки или силы тока с помощью амперметра) из-за случайных ошибок отдельные значения x₁, x₂ , и т. д. неодинаковы.

Абсолютная погрешность определяет границы интервала, внутри которого с некоторой вероятностью заключено «истинное значение» искомой величины, и она равна взятой по модулю разности между «истинным значением» измеряемой величины и его приближенным значением x_i.

Но так как «истинное значение» измеряемой величины остается неизвестным, то в качестве наилучшего значения искомой величины принимают среднее арифметическое:

(1.1)

где x_i – i-е измеренное значение, a n - общее число измерений. Абсолютная погрешность отдельного i-го измерения запишется тогда так

или, ед. измерения.

Относительной погрешностью _x называется отношение абсолютной погрешности к значениюx_ист, т.е.

.

Относительная погрешность является безразмерной величиной (её выражают или в долях единицы, или в процентах).

Для оценки величины случайной ошибки (погрешности) измерения обычно используют величину - дисперсию измерения (стандартное отклонение)

, (1.2)

где n – общее число измерений.

Если стандартное отклонение мало, то разброс измеренных значений относительно среднего значения является малым, следовательно, точность измерения высокая. Заметим, что стандартное отклонение является всегда положительным и имеет ту же размерность, что и измеренные значения.

Чем больше повторений, тем выше точность измерений. Причина улучшения заключается в том, что положительные и отрицательные ошибки частично компенсируются при усреднении результатов нескольких измерений.

Поэтому в качестве меры погрешности результатов измерений величины x (или неопределенности среднего значения ) принимают стандартное отклонение от среднего S_n, которое часто называют средним квадратичным отклонением или стандартной погрешностью и определяют как

. (1.3)

Абсолютная погрешность x измеряемой величины x при относительно малом количестве измерений (например, 10 - 100) определяется формулой:

, (1.4)

где t_,n – коэффициент (коэффициент Стьюдента), - полная абсолютная погрешность или доверительный интервал, внутри которого находится истинное значение величины. Коэффициент Стьюдента зависит от числа измеренийn и от величины доверительной вероятности  (табл. 1). В соответствии с действующими государственными стандартами рекомендуется при оценке погрешностей пользоваться доверительной вероятностью  = 0,95.

Коэффициенты Стьюдента Таблица 1.1.

тn	α	0,90	0,95	0,98
2		6,31	12,71	31,82
3		2,92	4,30	6,96
4		2,35	3,18	4,54
5		2,13	2,78	3,75
6		2,02	2,57	3,36
7		1,94	2,45	3,14
8		1,90	2,36	3,00
9		1,86	2,31	2,90
10		1,83	2,26	2,82
12		1,78	2,18	2,68

Таким образом, окончательный результат измерений запишется в виде:

, ед. измерений, (1.5)

где x определяется из выражения (1.4). Запись (1.5) означает, что истинное значение величины x с вероятностью  находится в интервале (доверительном интервале) значений от до.