Обработка результатов косвенных измерений

Косвеннымназывают измерение физической величины, при котором искомое значение вычисляют с помощью известной её зависимости от других величин, которые могут быть измерены непосредственно.

Подготовка исходных данных.

Пусть для косвенных измерений физической величины Аиспользуется известная функциональная зависимостьАот ряда других независимых величинx, y, z, b, c, d,..., q,заданная в формеA = f(x, y, z, b, c, d..., q).Среди переменных могут быть величины трех типов:

1)Величины, определяемые прямыми измерениями (например, величиныx, y, z),которые после проведения этих измерений представляются в стандартной форме:

x = x; y = y; z =z.

2) Данные установки (например, величины bиc), т.е. характеристики экспериментальной установки, известные из предыдущих измерений. Эти величины также должны быть заданы в аналогичной форме:

b = b; c = c.

В противном случае считают, что погрешность равна половине последней значащей цифры.

3) Табличные величины (например, величина d) -величины, которые в данном опыте не измеряются, а берутся из таблиц. Табличная величина может быть константой (например,число).В этом случае её нужно брать с такой точностью, чтобы относительная погрешность была значительно меньше относительных погрешностей всех остальных величин, входящих в функциональное выражение величиныА. Если жеd -заданная в табличной форме функция непосредственно измеряемой величины,то ее также нужно представить в стандартной форме:

d = d.

Наилучшим значением величины Апри косвенном её измерении будет

.

Правила расчета погрешностей косвенных измерений.

1. При вычислении погрешностей косвенных измерений:

1. складываются не модули, а квадраты погрешностей, обусловленных независимыми источниками;

2. погрешности, даваемые различными источниками, необходимо вычислять раздельно и обязательно учитывать максимальный вклад в погрешность окончательного результата; рекомендуется отбрасывать те погрешности, которые хотя бы вдвое меньше максимальной.

2. Стандартная погрешность величины Aпринимается равной:

, (12)

где , , ....-частные производные функцииf, вычисляемые при подстановке средних значений соответствующих переменных.

В некоторых случаях удобнее воспользоваться выражением для относительной погрешности :

, (13)

поскольку и так далее.

Выражение (13) удобно использовать в том случае, когда расчётная формула содержит только действия умножения и деления.

Таким образом, для вычисления погрешности косвенных измерений необходимо выполнить следующие операции:

1. Для каждой серии измерений физических величин произвести обработку результатов прямых измерений. При этом для всех измерений должно быть задано одно и то же значение доверительной вероятности.

2. Найти частные производные функции f (или lnf)и их численные значения, после чего определить погрешность А.

3. Записать результат измерения в стандартной форме:

, () (14)

или, используя относительную погрешность,

, (). (15)

Замечание 1. В ряде случаев обработку результатов косвенных измерений проводят отличным от изложенного выше способом. Значение функцииA = f(x, y, z, b, c, d..., q) вычисляют для каждого отдельного измерения, т.е. находят A₁ = f(x₁, y₁, z₁, b₁, c₁, d₁..., q₁), A₂ = f(x₂, y₂, z₂, b₂, c₂, d₂..., q₂) и т.д. Затем обработку величин А₁, А₂, А₃ т.е. нахождение среднего значения , доверительного интервалаА и т.д. проводят также, как и вслучае прямых измерений.

Замечание 2.При нахождении результата косвенных измерений иногда необходимо использовать значения некоторых величин, известные из других измерений. Например, при нахождении ускорения свободного падения при помощи математического маятника, необходимо знать значение числа. Числоявляется не совсем обычной константой, это иррациональное число и, в зависимости от того, сколько знаков после запятой ставим, будет различной точность определения величины ускорения свободного падения. Следовательно, числохарактеризуется некоторой погрешностью, за величину которой принимают половину единицы последнего разряда (если, например,= 3, 14 , то= 0,005). Это замечание относится и к другим постоянным величинам, таким как заряд электрона, постоянная Планка, число Авогадро и т.д.

Пример. Вычислить погрешность измерения площадиSсечения проволоки. ДиаметрDизмеряется микрометром,n=5.

Результаты измерений:D = 3,24 мм; 3,25 мм; 3,23 мм; 3,24 мм; 3,25 мм. Площадь сечения определяется как.

Расчет погрешностей: 1. среднее значение диаметра;

2. погрешность отдельных измерений : =0,002 мм; =0,008 мм; =0,012 мм; =;=.

3. средняя квадратичная погрешность среднего: (_мм)

4. число измерений =5, при ,=2,78.

5. погрешность измерений: = 2,780,00458 = 0,0127 = 0,013 (мм)

6. результат измерения диаметра:

7. среднее значение площади сечения:

8. абсолютная погрешность:

9. окончательный результат вычисления площади сечения проволоки:

, доверительная вероятность=0,95.