![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
1. При ламинарном течении ньютоновской жидкости, согласно соотношениям (3.1), сохраняется только одно из уравнений состояния (2.24), а именно
(3.6)
Из сравнения этого уравнения с решением (3.3) следует дифференциальное уравнение относительно скорости
решение которого при граничном условии v(h) = 0 имеет вид
(3.7)
где 2h - ширина щели.
В результате по формулам (3.5) легко определяются основные характеристики потока:
(3.8)
где b - длина поперечного сечения щели; Rещ = р vср2h/μ – параметр Рейнольдса для плоской щели.
2. При ламинарном течении неньютоновской жидкости Шведова –Бингама, используя соотношения (3.1) в формулах (2.26) и (2.27), получим
(3.9)
где
выбран знак (-), так как
.
Поэтому
система уравнений (2.24)
упрощается
до одного уравнения
(3.10)
где 2h0 – жесткое ядро потока (рис. 22).
Рис. 22. Характерный вид профиля скорости в щели при течении неньютоновской жидкости Шведова – Бингама.
Из сравнения соотношений (3.3) и (3.10), получим уравнение скорости
(3.11)
и формулу для вычисления ядра потока
(3.12)
Интегрируя уравнения (3.11) при условии v(h) = 0, найдем следующее распределение скорости:
(3.13)
Отсюда
следует, что при h0
= h
движение
жидкости происходить не будет,
так
как v(x)
= 0.
Поэтому условием существования движения
является
h0
< h
или, используя формулу (3.12),
Однако
если учесть, что начало движения
рассматриваемой жидкости
обусловлено не динамическим напряжением
сдвига τ0,
а статическим
τ00>
τ0
,
то
условием страгивания покоящейся жидкости
будет
По формулам (3.5) определяются основные характеристики потока, впервые полученные М. П. Воларовичем и А. М. Гуткиным:
(3.14)
где
Видно, что в данном случае кинематические характеристики потока Q, vcp и коэффициент сопротивления λ зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает известные трудности при решении обратной задачи.
Если
исходить из того, что практический
интерес представляют случаи
то,
приняв
получим
(3.15)
где
- обобщенный
параметр Рейнольдса;
приведенная вязкость жидкости
Шведова-Бингама;
-
параметр Сен-Венана для плоской щели.
3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последней системе уравнений (2.24) соотношения (3.1) и (3.9), получим
При сопоставлении этого уравнения состояния с (3.3) приходим к относительно скорости:
(3.16)
Интегрируя это уравнение при граничном условии v(h) = 0, получим распределение скорости
(3.17)
где
В результате интегральные характеристики потока (3.5) будут
(3.18)
где
-обобщенный
параметр Рейнольдса и
— приведенная вязкость жидкости
Освальда-Вейля
для плоской щели. При
n =1 и k = μ формулы (3.17) — (3.18) совпадут с формулами (3.7) —(3.8).
4. При турбулентном режиме течения, когда параметры Rе, Re* или Rе' больше критических значений, решение уравнения движения записывается в виде [сравните с (3.3)]
(3.19)
Касательное
напряжение
в зависимости
от типа жидкости связано
со скоростью сдвига
уравнениями
вида (3.6), (3.10) или
(3.16). Напряжение Рейнольдса
в силу соотношений (2.20), (3.1) и (3.9)
удовлетворяет уравнению Прандтля:
(3.20)
где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h - x, т. е.
s,
(3.21)
где
— константа, определяемая из опыта.
Напряжение
имеет
существенное значение лишь в
непосредственной
близости от стенок канала, т. е. в узкой
области, состоящей
из ламинарного подслоя и буферной зоны,
где ламинарные
и турбулентные законы течения сравнимы
между собой.
В
основной области течения (турбулентное
ядро) можно пренебречь
напряжением
.
Поэтому
после подстановки (3.20) и (3.21)
в (3.19) получим следующее исходное
дифференциальное уравнение:
(3.22)
где
- приведенное значение касательного
напряжения;s1—внешняя
граница буферной зоны.
Прандтль
ввел в уравнение (3.22) упрощение (физически,
вообще говоря, ничем не обоснованное),
положив правую часть уравнения равной
.
Но доказывается, что это упрощение
вноситв
конечный результат весьма небольшую
погрешность.
Если,
кроме того, ввести обозначение для
динамической скорости
на стенке канала
,
то уравнение (3.22) приметвид
Интегрируя
это уравнение при условии
,
получимследующий
универсальный закон распределения
скорости:
(3.23)
В
области, близкой к стенке канала (),
профиль скорости отклоняется от
распределения (3.23). Однако, учитывая,
что
отношение
,
можно в гидродинамических расчетах не
принимать
во внимание профиль скорости в пристенной
области.
Многочисленные экспериментальные исследования показали, что логарифмическое распределение (3.23) достаточно хорошо описывает профили скоростей при турбулентных течениях различных жидкостей в плоских и круглых каналах с гладкими и шероховатыми стенками вплоть до больших значений параметра Рейнольдса (за исключением, разумеется, узких пристенных областей). Различия могут составлять лишь входящие в (3.23) параметры.
Тогда для практически гладких и вполне шероховатых каналов формула (3.23) переписывается в виде
(3.24)
При s = h - получим максимальные значения скоростей
(3.25)
С учетом (3.25) формулы (3.24) можно записать так:
(3.26)
Отсюда путем интегрирования легко получить среднюю по сечению скорость потока
(3.27)
Найдем коэффициент сопротивления по формуле (3.8):
Если здесь воспользоваться формулами (3.27), (3.25) и преобразованием
то получим универсальный закон сопротивления:
для гладкого канала:
(3.28)
для вполне шероховатого канала
(3.29)
Из формул (3.28) и (3.29) следует вывод: для гладких стенок коэффициент сопротивления λ зависит только от параметров Рейнольдса, а для вполне шероховатых — от отношения s0/h.
При
переходном режиме, т. е. когда
выполняется условие
,
коэффициент сопротивления зависит отRе
и s0/h.
Способ его определения в этом случае, основанный на экспериментальных данных. В практических расчетах обычно в формулах (3.24) и (3.25) константу 8,5 заменяют на 9 и соответственно в формуле (3.29) — константу 2,12 на 2,3. Эти константы для каналов с естественной шероховатостью устанавливаются опытным путем.
Примечание.
Все
приведенные в этом параграфе формулы
могут
быть использованы и при расчете
характеристик течения жидкостей по
наклонной плоскости или в длинном лотке
(желобе), у которого ширина b
днища
во много раз больше глубины потока h.
Для этого необходимо принять
и заменить2b
на
b,
где
—
угол наклона плоскости (лотка) к
горизонту.