Производная неявной функции

Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x, считая y – функцией от x, и после этого выразить . касательная плоскость и нормаль к поверхности

 Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x₀, y₀, z₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Геометрический смысл полного дифференциала

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+Dх, у₀+Dу).

Значение к приближённым вычислениям

Применение производной при изучении поведения функции позволяет получить много полезных формул для приближенного вычисления значений функций. Из определения производной следует, что при малых приращениях ∆х аргумента х₀ для функции f можно написать приближенное равенство

f(x₀ + ∆х) ≈ f(x₀) + f'(x₀)∆х.

Геометрически это означает, что вблизи точки x = x₀ мы график функции у = f(х) заменили графиком касательной к графику у = f(х) в точке с абсциссой x = x₀ (рис. 2).

Так, например, получаются приближенные формулы (эффективные для малых ∆х):

1. ⁿ√(1 + ∆х) ≈ 1 + ∆х/n (f(x) = ⁿ√x, x₀ = 1).

2. sin ∆х ≈ ∆х (f(x) = sin x, x₀ = 0).

3. ln (1 + ∆х) ≈ ∆х (f(x) = ln x, x₀ = 1).

Частные производные и дифференциалы высших порядков

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:

Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d²y или d²ƒ(х).

Формула Тейлора.

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

, где R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора.

Экстремум ф.н.п.Необходимые и достаточные условия.

Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): . Если же f (x0, y0) < f (x, y) для всех точек (x, y) из некоторой окрестности точки (x0, y0), отличных от (x0, y0), то функция z имеет локальный минимум ФНП в точке (x0, y0): .

Максимум  и минимум  называют локальными экстремумами ФНП.

Условия экстремум

Необходимое условие экстремума.

Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x³ не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками

Определение числового ряда,частичной суммы и суммы ряда

Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n→∞ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда. Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u1 + u2 + … + u n + …

Если же при n→∞ сумма Sn не имеет предела или

то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.

 Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

S_n = u₁ + u₂ + ... + u _n

или, короче,

Простейшие свойства сходящихся рядов,необходимый признак сходимости.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами:признаки сравнения,Даламбера и Коши.

1°. Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ч.р.Если существует конечный предел справа ,то существует и предел слева, и рядсходится

2°. Если рядсходится и имеет сумму S, то ряд

с = const, сходится и имеет сумму cS.

3°. Если рядысходятся и имеют суммы соответственно, то рядсходится и имеет сумму

Признаки сходимости.

Признак Даламбера: , , если d <1 — ряд сходится, если d >1 — ряд расходится, если d =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя. Признак Коши: , , если c <1 — ряд сходится, если c >1 — ряд расходится, если c =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя. Знакочередующийся ряд: , . Если сходится ряд , то ряд — сходится а б с о л ю т н о. Если ряд расходится, а ряд  сходится, то знакочередующийся ряд — сходится  у с л о в н о. Признак Лейбница: если a_n монотонно убывая стремится к нулю, то ряд  сходится и

Интегральный признак сходимости Коши

Знокочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков. a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + a₅ - ...     

теорема Лейбница

Теорема Лейбница (признак Лейбница) — теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем

Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

1. 

2. 

Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд из модулей его членов расходится

Степенные ряды

Степенные ряды – важный частный случай функциональных рядов – ряды вида

,

где коэффициенты ряда а₀, а₁, … – некоторые постоянные.

Радиус и интервал сходимости

Радиус сходимости

(формула Коши-Адамара),

Интервал сходимости

Понятие дифференциального уравнения,порядок,решение,общее решение

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x), и ее производные у', у", ... , y(n).

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция у = f (х), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Общее решение

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F(x,y,y')=0. (1)

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его следующим образом (предполагая, что f2 (у) не равна 0):

(1').

Считая у известной функцией от х, равенство (1') можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, найдем:

Мы получили соотношение, связывающее решение у, независимое переменное х и произвольную постоянную С, т. е. получили общий интеграл уравнения (1).

Поле направлений

Для дифференциального уравнения y' = f (x, y), правая часть которого f(x, y), и ее частная производная f_y(x, y) непрерывны в некоторой области D,имеет место геометрическая интерпретация, называемая полем направлений. Если через каждую точку (x, y) области D провести некоторый отрезок l(x, y) с угловым коэффициентом f(x, y), то получится геометрическая картина, называемая полем направлений: любая интегральная кривая y = y(x) уравнения y' = f(x, y) в каждой своей точке (x, y(x)) касается отрезка l(x, y).

Уравнения с разделяющимися преременными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

где X(x) и Y(y) — непрерывные функции.

Общий интеграл уравнения задается выражением

Однородные и линейные уравнения

Одноро́дным уравнением n-й степени, называется дифференциальное уравнение вида:

Такое уравнение заменой сводится к алгебраическому уравнению n-ой степени:

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

;

Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение

                                                                                                                        

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

Задача Коши

Задача Коши, x₀, y₀ - начальные данные:

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем x₀, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Теорема существования и единственности д.у. первого порядка

Если уравнение функции f(x) и ее частная производная df/dy непрерывны в некоторой области Д, то данное уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее условию y(x₀)=y₀

В точках плоскости, в которых нарушены условия теоремы Коши, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках терпит разрыв либо функция f(x,y) либо ее производная. Через каждую из таких точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит не одной.

Если линия состоит только из особых точек и является интегральной кривой ДУ, то функция y=φ(x) называется особым решением дифференциального уравнения.

Для того, чтобы найти особое решение ДУ, надо найти линию y=φ(x), в каждой точке которой терпит разрыв функция f(x,y) или ее производная, проверить является ли функция y=φ(x) решением данного уравнения.

.