Лекция 18. Теоремы о среднем значении
.docЛекция 18. Теоремы о среднем значении.
18.1. Теоремы о среднем значении.
Определение 18.1. Функция достигает в точке локального максимума (минимума), если существует окрестность этой точки, на которой выполняется неравенство или для (соответственно или для ). Локальный максимум и локальный минимум называются локальным экстремумом.
☼ Замечание 18.1. Если функция непрерывна на отрезке и достигает на нём максимума (минимума) в точке , то, очевидно, точка c является в то же время точкой локального максимума (минимума) . Другое дело, если максимум (минимум) на достигается в одной из концевых точек отрезка. Такая точка не является точкой локального максимума (минимума) , т.к. не определена в полной окрестности концевых точек (см. рис. 18.1). ☼ |
Рис. 18.1. |
♦ Теорема 18.1 (Ферма1). Пусть функция определена на интервале . Если функция имеет производную в точке и достигает в этой точке локального экстремума, то .
Доказательство. Для определённости будем считать, что имеет в точке c локальный максимум. По определению производной .
Так как для , то при , т.е.
. (18.1)
Если же , то , т.е.
. (18.2)
Из (18.1) и (18.2) вытекает, что . ■
♦ Теорема 18.2 (Ролля2). Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует, по крайней мере одна, точка такая, что .
Доказательство. 1) Если постоянна на , то для всех производная .
2) Будем считать, что непостоянна на . Т.к. непрерывна на , то существует точка , в которой достигает максимума на , и существует точка , в которой достигает минимума на .
Обе точки , не могут быть концевыми точками, иначе
и была бы постоянной на . Следовательно, одна из точек , принадлежит интервалу . Обозначим её . В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, существует, потому что по условию существует для всех точек . Поэтому, по теореме Ферма . ■
☼ Замечание 18.2. Теорема Ролля сохраняет силу также для интервала , лишь бы выполнялось соотношение . ☼ ☼ Замечание 18.3. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции существует точка , касательная в которой параллельна оси Ox. (см. рис. 18.2). ☼ |
Рис.18.2.
♦ Теорема 18.3 (Коши1). Если функции и непрерывны на , дифференцируемы на и в , то существует точка такая, что .
Доказательство. Заметим, что , т.к. иначе по теореме Ролля нашлась бы точка : , чего не может быть по условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию . Функция непрерывна на , дифференцируема на и (проверить!). По теореме Ролля существует точка , в которой . Но . Подставим и получим, что . ■
☼ Замечание 18.4. В формуле Коши необязательно , можно взять . ☼
♦ Теорема 18.4 (Лагранжа2). Пусть функция непрерывна на , имеет производную на . Тогда существует точка для которой .
Доказательство. Введём функцию . Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: 1) непрерывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) , . Следовательно, существует точка : . Но и получаем, что , . ■
☼ Замечание 18.5. Теорему Лагранжа можно доказать как следствие теоремы Коши, взяв .
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем её в виде
. (18.3)
Левая часть равенства (18.3) – это тангенс угла наклона к оси Ox хорды, стягивающей точки и графика функции , а правая часть – тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой . Таким образом, если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе , такая что касательная в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и . |
Рис. 18.3. |
Формула (18.3) называется формулой конечных приращений. Промежуточное значение c удобно записывать в виде , где . Формула Лагранжа:
.
Она верна не только для , но и для . ☼
Пример 18.1. Оценим .
. По теореме Лагранжа
.
♦ Теорема 18.5. 1) Функция , непрерывная на отрезке и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале , не убывает (строго возрастает) на отрезке .
Доказательство. Пусть . По теореме Лагранжа существует точка , для которой . Если , то – функция не убывает. Если , то – функция строго возрастает. ■
♦ 2) Функция , непрерывная на отрезке и имеющая неположительную (отрицательную) производную на интервале , не возрастает (строго убывает) на отрезке .
Доказательство аналогично пункту 1). ■
Пример 18.2. Функция имеет непрерывную производную для .
, .
Следовательно, она (функция) строго возрастает и непрерывно дифференцируема на . Поэтому она имеет обратную однозначную непрерывно дифференцируемую функцию , .
♦ Теорема 18.6. Если функция имеет на интервале производную, равную нулю, то она постоянна на .
Доказательство. По теореме Лагранжа , – фиксированная точка, x – произвольная точка, (или ). Так как , то и для . ■
18.2. Правило Лопиталя.
♦ Теорема 18.7 (1-е правило Лопиталя1). Пусть функции и определены и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки a, и , в . Тогда, если существует , то существует и .
Доказательство. Будем считать, что a – конечное число. Доопределим функции и в точке . Пусть . Тогда эти функции будут непрерывны в точке a. На функции и непрерывны, на дифференцируемы. По теореме Коши существует точка в которой , ,
, (18.4)
при условии, что предел в правой части равенства существует. ■
☼ Замечание 18.6. Может быть так, что существует , но не существует . ☼
Пример 18.3. , поэтому .
Но не существует.
☼ Замечание 18.7. Если выражение представляет собой неопределённость вида и функции и удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то
. ☼
♦ Теорема 18.8 (2-е правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в окрестности точки и , , в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует и .
Доказательство аналогично доказательству теоремы 18.7. ■
☼ Замечание 18.8. Если , то замена приведёт к :
. ☼
Пример 18.4. 1) , .
2) для .
18.3. Раскрытие неопределённостей.
1) Неопределённость вида для выражения вида (, при ) сводится к неопределённости или :
или .
Пример 18.5. для .
2) Неопределённости вида , , для выражения вида сводятся к неопределённости :
;
если , то .
Пример 18.6. . Следовательно,
, откуда .
3) Неопределённость вида для выражения вида (, при ) сводится к неопределённости :
.
Пример 18.7.
.
1 Ферма Пьер (1601-1665) – французский математик.
2 Ролль Мишель (1652-1719) – французский математик.
1 Коши Огюстен Луи (1789-1857) – французский математик.
2 Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик.
1 Лопиталь де Гийом Франсуа Антуан (1661-1704) – французский математик. Правило, носящее его имя, было известно швейцарскому математику Иоганну Бернулли (1667-1748).