3. Основные свойства понятии теории ве­роятностей

2.1. Свойства вероятности

1. Р(Ø) =0, Р(Ω) = 1

2. Для любого случайного события A 0 ≤ Р(А) ≤ 1

3.Если А и В несовместные события, то есть А∩В=Ø, то Р(AUB) = P(A)+P(B)

4.Вероятность противоположного события Р(Ā) = 1 - Р(A)

5.Если А и В - любые события из Ω, то P(AUВ)=Р(А)+Р(В)-Р(AВ)

6.Если Н₁ ,Н₂ ,…, Н_n составляют полную группу событии, то Р(Н₁) +P(H₂)+,…,P(H_n)=

ⁱ⁼¹

2.2. Свойства функции распределения с.в. ξ

1..Множество значений F(x) есть отрезок [0.1], т.е. О ≤ F(x) ≤ 1

2. F(x) не убывает

3. F(x) непрерывна слева

4. F(-∞)-0₁F(+∞) = 1

5.P{a≤ξ≤b}=F(b)-F(a) 6 P{ξ≥x}=1-F(x)

7.Если F(x) непрерывна, то P{ξ=a}=0.

2.3.Свойства ряда распределения

1.p_k=P{ξ=x_k} ≥0 (k=1,2,…)

2.

2.4.Свойства плотности

1. р(х) > О

2.

3.P{a<ξ<b}=

2.5. Свойства распределения дискретного двумерного случайного вектора

1.P_ij>0 (i,j=1,2,…)- где p_ij=P{ξ=x_i,η=y_j}

2.

3. p_i=P{ξ=x_i}=∑_ip_ij; q_j=P(η=y_j)=∑_ip_ij

2.6.Свойства ф.р. двумерного случайного вектора

1. 0≤F_ξ,η(x,y)≤1

2. F_ξ,η (x,y) не убывает по каждой переменной

3. F_ξ,η(x,+∞)= F_ξ, , F_ξ,η(+∞,y)=F_η(y)

4. F_ξ,η(+∞,+∞)=1

5. F_ξ,η(-∞,y) = F_ξ,η (x,-∞)= F_ξ,η(-∞,+∞)=0

2.7.Свойства математического ожидания

1.Если С - постоянная, то М(С)=С

2.M(Cξ)=CM(ξ)

3.M(ξ +ηi)-Mξ + Mη

4.Если ξ и η - независимы, го M(ξη) =MξMη

2.8.Свойство дисперсии

1.D(ξ)≥0

2.Если С-постоянная, то D(C) =0

3.Если D(Cξ)=C²Dξ

4.Если ξ и η независимы, то D(ξ+η)=D(ξ)+D(η), D(ξ-η)=D(ξ)+D(η)

5.Если ξ ₁, ξ₂ ,…,ξ _n независимы то

6.Для любых с.в. ξ и η D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)+2cov(ξ,η)

2.9.Свойства коэффициента корреляции

1.-1≤r≤1

2.Если ξ и η независимы, то r = О

3.Если г = -1, то с.в. ξ и η линейно зависимы, т.е. η=aξ+b, причем a > 0. если

r =1 и а < 0. если r=±1

4.Если с.в. ξ и η линейно зависимы, то r=±1.

2.10.Свойства условного математического ожидания

1.Если С- постоянная, то М(С/ξ)=С

2.M(η₁+η₂/ξ)=M(η₁/ξ)+M(η₂/ξ)

3. Формула полного математического ожидания M{M(η/ξ)}=M(η)

4. M[g(ξ)η/ξ]=g(ξ)M(η/ξ)

4. Основные утверждения и формулы

1. Формула сложения

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

2.Формула умножения.

Р(АВ) = Р(A)Р(В/A) - Р(В)Р(А/В)

3.Обобщенная формула умножения.

P(A _1,A _2,…,A _n)=P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A ₁A ₂)…P(A_n/A ₁A ₂…A_n)

4. Формула полной вероятности

Если события H _1,H _2,…,H _n образуют полную группу событии, то для любого события А:

5. Формула Байеса: Если события H1,H_2,…,H _n образают полную группу событий и P(A)≠ 0, то

6. Формула Бернулли

P_n(k)=P{}=, (k=0,1,..,n)

7.Формула связи между ф.р. и плотностью непрерывной с.в.ξ

p(x)=F’(x)

8. Критерий независимости дискретных с.В.

Для того, чтобы дискретные с.в. ξ₁,ξ₂,…,ξ_n были независимы, не­обходимо и достаточно, чтобы для любых действительных х₁,x₂ ,_…, х_n

P{ξ₁=x₁,ξ₂=x₂,...,ξ_n=x_n}=P{ ξ₁=x₁} P{ ξ₂=x₂}… P{ ξ_n=x_n }

9.Критерий независимости непрерывных с.в.

Для того, чтобы непрерывные с.в.ξ ₁,ξ _{2 ,….,} ξ _n были независимы необходимо и достаточно, чтобы совместная плотность вероятностей была равна произведению плотностей вероятностей с.в. ξ ₁,ξ _{2 ,….,} ξ _n

p _{ξ 1,ξ 2 ,…., ξ n}(x₁,x₂,..,x_n)=p_ξ1,...,p_ξn

10.Формулы для вычисления дисперсии:

a) На основе формулы: D(ξ)=M(ξ-Mξ)²

D(ξ)=∑(x_k-Mξ)²p_k , если ξ-дискретна

б) на основе формулы Dξ=M(ξ)²-|M(ξ)²| , где ξ –дискретна;

Замечание. Здесь p_k=P{ξ=x_k}

11.Числовые характеристики с.в. с заданными распределениями:

а)Если с.в. ξ имеет биноминальное распределение с параметрами (n,p), то M(ξ)=np; D(ξ)=npq

б)Если с.в. ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ, то М(ξ)=D(ξ)=λ.

в)Если ξ~N(a,σ²), то M(ξ)=a, D(ξ)=σ²

12.Неравенство Маркова

Если существует конечное математическое ожидание Mξ, то для любого ξ>0

P{|ξ|≥ε}≤M|ξ|/ε

13.Неравенство Чебышева

Для любой с.в. с конечной дисперсией при любом ε>0

P{|ξ-M(ξ)|≥ε}≤D(ξ)/ε²

14.ЗБЧ в форме Чебышева

Если ξ₁,ξ₂… последовательность попарно независимых с.в. имею­щих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С (D_ξ≤C, k=1,2,…). то эта последовательность с.в. удовлетворяет ЗБЧ. т.е.

15.ЗБЧ в форме Бернулли.

В схеме Бернулли → р, где р - вероятность успехов.

16. Центральная предельная теорема (ЦПТ) для одинаково распределенных с.в.

Пусть ξ1ξ2… последовательность независимых одинаково распре­деленных с. в., имеющих конечные М(ξ) =a², D(ξ_k)=σ² , S_n =∑ξ_k

Тогда при n→∞

Где функция стандартного нормального распределения.

17. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли 0 < р < 1 . то при n →∞

где - плотность стандартного нормального распределения.

18. Интегральная теорема Муавра - Лапласа

Пусть η число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с ве­роятностью успеха 0 < р < I. Тогда при n →∞

где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения.

19.Предельная теорема Пуассона

Пусть в схеме Бернулли n →∞ и p →0 таким образом, что λ=np остается постоянной. Тогда при n →∞

(k=0,1,2,…)

5. Решение типовых примеров и упражне­ния

4.1. Классическое определение вероятности

Для решения задач данного раздела необходимо усвоить такое по­нятие как пространство элементарных исходов (ПЭИ). Особое внима­ние нужно обратить на то. что в данном случае это множество пред­ставляет собой конечное множество равновероятных исходов. Чтобы описать ПЭИ необходимо четко уяснить для себя в чем заключается ве­роятностный эксперимент в данной задаче и представить возможный результат этого эксперимента. Тем самым мы определим элементарные исходы, из которых состоит ПЭИ. После этого в ПЭИ необходимо вы­делить те элементарные исходы, которые благоприятствуют событию. Вероятность которого нужно определить.

При подсчете числа элементарных исходов ПЭИ и благоприятствую­щих исходному событию используются Формулы комбинаторики. Реко­мендуется для усвоения элементов комбинаторики четко различать две принципиально отличные схемы выбора: с возвращением и без возвраще­ния элементов. Если набор элементов, определяющий элементарный ис­ход эксперимента, в принципе может содержать одинаковые элементы, то мы находимся в рамках схемы выбора с возвращением. Если же на­бор одинаковых элементов содержать не может, то данный эксперимент определяет выбор без возвращения. Кроме этого следует еще разли­чать упорядоченные и неупорядоченные наборы. Набор будем считать упорядоченным, если существенен порядок следования элементов вну­три набора. В противном случае он считается неупорядоченным. Если упорядоченность набора не следует непосредственно из условия задачи, необходимо мысленно поменять местами любые два элемента набора и если по смыслу задачи набор не изменился, то он считается неупорядо­ченным.

Принимая во внимание схему выбора и упорядоченность или неупо-рядоченность набора, число способов, которыми можно выбрать k эле­ментов из n, определяются следующей таблицей.

Nk	Ckn+k-1	С возвращением
Akn=n!/(n-k)!	Ckn=n!/k!(n-k)!	Без возвращения
Упоряд.	Неупоряд.	Набор/выбор

Решение типовых примеров

При решении примеров через |Ω| будем обозначать число элементарных исходов ПЭИ, а через число элементарных исходов благоприятствующих событию А.

Пример 1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность вы­падения на двух костях в сумме 7 очков? Чему равна вероятность вы­падения "шестерки" по крайней мере на одной кости?

Решение. Определим эксперимент и его результат, т.е. элементар­ный исход. Эксперимент заключается в бросании двух костей. Резуль­тат эксперимента - пара значений (x₁,x₂). где x₁ - число очков на первой кости. Х2 - число очков на второй кости. Таким образом. ПЭИ состоит из элементарных исходов вида w_i=( x₁,x₂) Так как x₁ и x₂могут принимать любые значения от 1 до 6, то число различных пар по пра­вилу умножения равно 6*6 = 36, т.е. число элементарных исходов ПЭИ |Ω| = 36. Число элементарных исходов можно сосчитать и применял приведенную выше таблицу. Для этого нужно определить какой выбор осуществляется в данной модели (с возвращением или без] и является ли набор упорядоченным. Поскольку возможны исходы (1,1), (2,2) и т.д.. т.е. с одинаковыми элементами, то нужно пользоваться строкой таблицы, которая определяет выбор с возвращением: а так как. напри мер, (1,6) и (6,1) для нашей задачи являются различными исходами, по­скольку определяют число очков на первой и второй кости, то набор упорядочен. Таким образом, находим клетку в таблице, отвечающую упорядоченному набору с возвращением, т.е. |Ω| = 6² = 36.

Обозначим через А = {выпадение на двух костях в сумме 7 очков }, а через В = {выпадение "'шестерки" по крайней мере на одной кости }.

Событию А благоприятствуют исходы (1;6), (6;1), (2;5), (5;2). (3;4). (4:3), т.е. |A| = 6.

По классическому определению вероятности Р(А) =, т.е.Р(А)=6/36=

Событию В благоприятствуют исходы, когда "шестерка выпадает либо на первой кости, либо на второй, либо на обеих одновременно, т.е. (6;1),(6;2) ... (6;6), (1:6), … (5;6). Таких исходов 11. Тогда Р(В) = .

Вероятность события В можно найти также, используя понятие про­тивоположного события. Противоположным событию В является со­бытие В { ни на одной кости не выпала "шестерка" }. Событию В благоприятствуют все исходы w_i=( x₁,x₂) в которых отсутствуют "ше­стерки", т.е. x₁ и x₂ могут принимать любые значения от 1 до 5. По пра­вилу умножения таких исходов будет |B|=5*5=25. Тогда P(B)=25/36

Но по свойству вероятностей Р(В)= 1 - Р(В). Р(В]=1-25/36=

Вывод. Если в задаче при описании события, вероятность которого следует определить присутствуют слова "хотя бы'',”по крайней мере", то очень часто следует вначале найти вероятность противоположного события.

Пример 2. На оптовой базе имеется 100 телевизоров, из которых 5 неисправны. В магазин случайным образом отбирается 10 телевизоров. Найти вероятность что 2 из отобранных телевизоров неисправны.

Решение. Эксперимент заключается в выборе 10 телевизоров из 100. Результат эксперимента w_i=(x₁,x₂,..,x₁₀) любые из 100 телевизоров. Очевидно, в данном случае осуществляется выбор без возвращения и поскольку нас не интересует в какой последовательно­сти выбираются телевизоры, то наборы неупорядочены. Таким образом, общее число исходов определяется числом сочетаний из 100 по 10, т.е.

Обозначим через А = {среди 10 отобранных два неисправных}. Бла­гоприятствующими событию А являются исходы, когда из общего числа 5 неисправных телевизоров взято 2 (это можно сделать C²₅ способами), а остальные 8 телевизоров исправны, т.е. они взяты из общего числа 95 исправных (количество способов C⁸₉₅ число благоприятству­ющих событию А исходов по правилу умножения |А|= C²₅ C⁸₉₅

Искомая вероятность

P(A)=≈0,07

Пример 3. Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

Решение. Эксперимент - извлечение случайным образом трех карт из 52. Результат эксперимента w_i=(x₁,x₂,x₃) - комбинация из трех любых карт из 52 карт. Очевидно, эксперимент определяет неупорядо­ченный выбор без возвращения. Тогда общее число элементарных ис­ходов - это число сочетаний из 52 по 3, т.е. |Ω| — , ПустьА = {выбраны тройка, семерка и туз}. Благоприятствующими событию А исходами являются только комбинации из тройки, семерки и туза. Поскольку в колоде содержится по 4 тройки, семерки и туза различных мастей, то каждую из указанных карт можно выбрать 4 способами. По правилу умножения |A|=4 • 4 • 4 = 4³.

Следовательно, искома.я вероятность

P(A)=

Пример 4. В группе 25 студентов. Найти вероятность того, что дни рождения у всех различны.

Решение. ПЭИ состоит из элементарных исходов w_i=(x₁,x₂,..,x₂₅) где x₁,x₂,..,x₂₅ могут принимать любые значения из 365 дней в году.

Тогда по правилу умножения общее число исходов 365*365… 365 = 365²⁵.

Это же число элементарных исходов можно получить, если пользо­ваться таблицей. Для этого нужно заметить. что среди x₁,x₂,..,x₂₅ могут быть одинаковые даты, следовательно, нужно воспользоваться строкой таблицы, определяющей выбор с возвращением. Поскольку дни рожде­ния связаны с конкретными людьми, то наборы упорядочении. Таким образом, нужно определить число упорядоченных наборов с возвраще­нием из 365 по 25, т.е. |Ω|=365²⁵

Пусть B = {дни рождения у всех 25 студентов различны}. Благоприятствующими событию А будут исходы, в которых x₁,x₂,..,x₂₅ раз­личны. Очевидно они определяют упорядоченные наборы без возвра­щения, общее число которых это число размещений из 365 по 25, т.е. |B| = A²⁵₃₆₅

Таким образом P(B) =

Пример 5. Слово "СТАТИСТИКА" составлено из карточек, на ка­ждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и наудачу раскладывают в ряд. Найти вероятность того, что вновь получится слово "СТАТИСТИКА".

Решение. Эксперимент заключается в случайном расположении 10 букв в ряд. Результат эксперимента (элементарный исход) последо­вательность из 10 букв. Очевидно, множество элементарных исходов ПЭИ определяется числом перестановок из 10 букв, т.е. |Ω|=10!

Пусть A = {получится слово "СТАТИСТИКА"}. Благоприятствую­щими событию А будут исходы, когда получится слово "СТАТИСТИКА''. Некоторые буквы в слове "СТАТИСТИКА" повторяются (С-2 раза. Т - 3 раза, А - 2 раза, И - 2 раза), поэтому возможны перестановки из данных букв, при которых слово не изменится. Число таких перестано­вок определяет число благоприятствующих событию A исходов и равно |A| = 2!3!2!2! = 48.

Таким образом P(A) = 48/10!=

Упражнения.

1. Брошено три игральные кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной из них появится "шестерка".

2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно ка­кая. Наудачу извлеченная из ящика деталь (после перевозки) оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

В цехе работают 10 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 6 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажется 2 женщины.

4.1.4. В конверте среди 100 фотокарточек находится разыскиваемая.

Из конверта наудачу извлечены 10 фотокарточек. Найти вероятность

того, что среди них окажется нужная.

4.1.5. При наборе телефонного номера абонент забыл три последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры разные.

Найти вероятность того, что номер набран правильно.

6. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии наугад выбирается 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

7. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы годы.

8. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что: а) все пассажиры выйдут на и этаже, б) все пассажиры выйдут одновременно; в) все пассажиры выйдут на разных этажах.

9. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Опреде­лить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

4.1.10. Общество из 20 человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

11. Из колоды в 52 карты наугад выбирают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

12. Каждая из букв К,Н,О,Э,О,М,С,Т,И написана на отдельной карточке. Карточки раскладываются в произвольном порядке. Найти вероятность, что при этом образуется слово "ЭКОНОМИСТ".

13. Телефонный номер абонента состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что все цифры номера различны.

14. 10 команд спортсменов по жребию разбиваются на две под группы по о команд. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

15. Группа состоит из четырех мужчин и восьми женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке по три человека в каждой группе будет мужчина.

16. 9 человек рассаживаются наудачу в три вагона. Найти вероятность того, что: а) в каждый вагон сядут по три человека; б) в первый - 5; во-второй - 3; в третий - 1 человек.

4.2. Геометрические вероятности

Прежде чем приступить к решению задач на геометрическую веро­ятность, нужно четко усвоить, что в данном случае нахождение вероятности возможно

только тогда, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области ( длине , площади , о6ъем у ).

Решение типовых примеров.

Пример 1. Поезда метро идут в данном направлении с интервалом 1 мин. Пассажир в случайный момент времени приходит на станцию метро. Определять вероятность того, что пассажиру придется ждать поезда не более 10 сек.

Решение. Эксперимент заключается в случайном приходе пассажира в пределах интервала I мин. Таким образом, ПЭИ рассматриваемого эксперимента состоит из точек интервала длительностью 1 мин., так как в данном случае нет никаких оснований считать какой-нибудь один момент прихода пассажира в интервале между поездами более вероят­ным, чем любой другой. Событие А, состоящее в том, что пассажир ожидает поезда меньше 10 сек. состоит из точек интервала длительно­стью 1 мин, отстоящих от его конца меньше, чем на 10 сек. Поэтому, исходя из геометрического определения вероятности.

Пример 2. На конвейере происходит сборка изделий из двух комплек­тующих, поступающих независимыми потоками из двух цехов. Поступ­ления комплектующих равновозможны в любые промежутки времени длины 30 мин. Конвейер будет остановлен, если разность между мо­ментами поступлений комплектующих будет более 5 минут. Определить вероятность того, что конвейер не будет остановлен.

Решение. Пусть х и у - моменты поступления комплектующих из пер­вого и второго цехов соответственно. По условию задачи: 0 < х < 30 и О < у < 30. Таким образом, множество всех возможных исходов данного эксперимента - множество точек квадрата, площадью S=30*30=900. Пусть А = { конвейер не будет остановлен }. Конвейер будет работать нормально, если разность между моментами поступления комплектую­щих не будет превышать 5 мин, т.е. событие А состоит из точек (х,у) квадрата, для которых |х – у| < 5. Данная область лежит между пря­мыми х-у =5 и у-х = 5. Ее площадь S= S - (30 — 5)² = 900 — 25² = 900 - 625 = 275.

Поэтому Р(А) = 275/900=

Упражнения.

4.2.1. В точке С, положение которой на телефонной линии А В длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние не меньше l.

4.2.2. На отрезке длиной L наудачу выбраны две точки. Какова ве­роятность, что расстояние между ними будет меньше kL, где 0 < k < 1.

4.2.3 На отрезке AВ длины L наудачу поставлены две точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М, чем к точке А.

4.2.4. Какова вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных чисел, каждое из которых не больше четырех будет не меньше пяти.

4.2.5.На плоскости проведены параллельные прямые, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.

4.2.6.Внутри круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правиль­ного треугольника.

4.2.7.Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если время стоянки первого парохода один час, а, второго два часа.

4.2.8. На пол. разграфленный параллельными прямыми на полосы ши­рины L бросается наудачу игла длины 1 (l < L). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

4.2.9. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуры пропорциональна площади этой фигуры.

4.2.10. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, при­ чем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительности Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < Т). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

4.3. Условная вероятность, Теоремы умножения и сложения вероятностей

Решение задач данного раздела требует прежде всего умения обра­щаться с событиями, четко представлять как одни события связаны с другими. Основными понятиями здесь являются понятия совместности и зависимости событий, которые не следует путать.

Решение типовых "примеров.

Пример 1. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6. а вто­рой - с вероятностью 0.7. Первый делает 2 выстрела по цели, а второй - 3 выстрела. Найти вероятность того, что ни одна пуля не попала в цель.

Решение. Пусть A = {ни одна нуля не попала в цель}. A₁ = {попадание в цель первым стрелком при одном выстреле}, A₂ = {попадание в цель вторым стрелком при одном выстреле}. Тогда A = Ā₁Ā₁Ā₂Ā₂Ā₂ . Так как первый и второй стрелки стреляют независимо друг от друга, Р(А) = Р(А₁А₁А₂А₂А₂} - Р(А₁)Р(А₁)Р(А₂)Р(А₂)Р(А₂) = (1-0,6)²(1 -О,7)³ = 0,4²0_:3³ = 0,16-0,027= 0,004.

Пример 2. Имеется две партии изделий брак среди которых соста­вляют 3 % и 5 % соответственно. Из обоих партий наудачу извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что оба изделия будут бракованные или оба годные.

Решение. Пусть A = { оба изделия бракованные или годные }, В = { оба изделия годные },С = { оба изделия бракованные }. Тогда А = В U С и так как события В и С несовместные, то Р(А) — Р(В) 4 Р(С) = 0,97 -0,95 + 0,03 -0,05 = 0,9215 + 0,0015 = 0, 923

Пример 3. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называются валет, дама или король)?

Решение. Пусть А = {фигура любой масти или карта пиковой масти), В {фигура любой масти}, С ={фигура пиковой масти}. Тогда А= В U С. Но события В и С совместны, т.к. в колоде имеются фигуры пиковой масти.

Следовательно, Р(А) - Р(В U С) - Р(В) + Р(С)-Р(ВС).

Поскольку в колоде из 52 карт имеется 12 фигур и 13 карт пиковок масти, то Р( В) = 12/52; Р(С) = 13/52 .

Так как события A и В независимы, то Р(AВ) = Р(А)Р(B).

Таким образом Р(А) = 12/52+13/52-12/52*13/*52=3/13*1/4+1/4=11/26

Пример 4. Вероятность того, что в течение одной смены возникает неполадка станка равная 0,05. Какова возможность того, что не про­изойдет ни одой неполадки за три смены?

Решение. Пусть А = { не произойдет ни одной неполадки за три смены }, a B_i = { в i-й смене не произойдет неполадка },i =1,2,3. То­гда A=B₁B₂B₃. Так как возникновение неполадки- не зависит от смены, то события B_1,B_2,B₃ являются независимыми. Следовательно. Р(A) = Р(В₁) Р(В₂)Р(В_з)=(1 - 0,05)³ - 0,95³ ≈ 0,857.

Пример 5. Партия из 100 деталей, среди которых 5 бракованных, подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии

является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой.

Решение. Пусть А={ партия деталей не принята }. a B_k = {к-я проверенная деталь доброкачественная} k=1,2,3,4,5. Будем искать ве­роятность противоположного события Ā = { партия деталей принята }. Очевидно,Ā=B₁B₂B₃B₄B₅.Следовательно,P(А)=Р(В₁В₂ВзВ₄В₅}=P(B₁)P(B₂/B₃)P(B₃/B₁B₂)P(B₄/B₁B₂B₃)Р(В₅/В₁В₂В₃В₄}. Вероят­ность события P(B₁)=95/100, т.к. всего деталей 100. а пригодных 95. После осуществления события B₁ деталей остается 99. среди кото­рых пригодных 94. по этому Р(В₂/ В₁) =94/99. Аналогично, Р(Вз/ B₁В₂) =93/98, Р(В₄/ B₁В₂B3)=92/97, Р(В₅/ B₁B₂B₃B₄)=91/96

Таким образом,Р(A)=1- Р(Ā)95*94*93*93*92*91/100*99*98*97*96≈0,77. Тогда Р(А)= 1 - Р(Ā) =

1 -0, 77 = 0,33.

4.3.1. Два стрелка для которых вероятности попаданий в мишень равны соответственно 0.7 и 0,8 производят по одному выстрелу. Опре­делить вероятность хотя бы ид пот о попадания в мишень

4.3.2. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления со­бытия. Определить вероятность того, что придется производить че­твертый опыт.

4.3.3. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной равна 0,7.При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. Па первом станке изготовлены две детали, а на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.

4.3.4. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью не меньшей 0.9. хотя бы один раз выпала шестерка.

4.3.5. Вероятность того, что в результате четырех независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, равна 1/2. Определить веро­ятность появления события при одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной.

4.3.6. При выборочном контроле продукции вероятность того, что первое выбранное контролером изделие будет доброкачественным равна 2/3. Если первое выбранное изделие доброкачественное, контролер выбирает второе изделие. Вероятность того, что оба выбранных изделия будут доброкачественными равна 0,5. Определить вероятность того, что второе изделие будет доброкачественным.

4.3.7 Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее началу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.

4.3.8. В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы: Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

4.3.9. Студент пришел на зачет зная, 24 из 30 вопросов. Какова вероятность

сдать зачет если после отказа отвечать. На вопрос преподава­тель задает еще один вопрос.

10. Вероятность для данного спорет мена улучшить свои преды­дущий рекорд с одной попытки равна р. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой рекорд, если разрешается делать две попытки.

11. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тог. у которого раньше появится герб. Определить вероятность выигрыша для каждого игрока.

12. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый равна 0,95, второй - 0,9. Найти вероятность того, что при ава­рии сработает только один сигнализатор.

13. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,33. Найти вероятность поражения цели при одном вы стреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,9.

14. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет только два изделия высшего сорта,

4.5.15.Студент разыскивает нужную ему книгу в трех библиотеках. Вероятность нахождения ее в первой, второй, третьей библиотеке соот­ветственно равны 0,6; 0,7: 0,8. Найти вероятность того, что: а) студент найдет нужную книгу только в одной библиотеке; б) студент найдет нужную книгу хотя бы в одной библиотеке.

4.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Чтобы успешно решать задачи этого раздела, нужно научиться пра­вильно подбирать систему несовместных событий (гипотез) {Н1,Н2,...,-Н_n} так, чтобы зависимость интересующего нас события А от гипотез Н_k была предельно ясна и вычисление условных вероятностей Р(А/H_k) было бы достаточно просто. При этом следует всегда проверять, чтобы система гипотез {Н1,Н2,...,Н_n} была полной.

Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н₁),Р(Н₂),…, P(H_n)а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого собы­тия условные вероятности гипотез Р(Н_k/А) вычисляются по формуле Байеса.

Решение типовых примеров

Пример 1. Имеется два одинаковых ящика с шарами: в первом о белых шаров и 3 черных, а во втором 7 белых и 4 черных шара. Из первого ящика во второй перекладывают не глядя два шара. После этого из второго ящика берут шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Пусть А – { выбор белого шара из второго ящика после перекладывания двух из первого}. Очевидно, это событие зависит от того, какие шары переложены во второй ящик. Поэтому выдвигаем сле­дующие гипотезы: H₁ = { переложены два белых шара, }. H₂ = { перело­жены два черных шара, а H₃ - { переложены один белый и один черный шары ). События H₁,H₂,H₃ - несовместные и образуют полную группу. Вероятности гипотез найдем, используя классическое определение веро­ятности:

P(H₁)= = , P(H₂)= = , P(H₃)= =

убеждаемся. что Р(A₁) + P(A₂)+Р(A₃) = 1, что является характер­ным для полной группы событии. Находим теперь условные вероятности P(A/K), k=1,2,3 при условии, что гипотеза H_k произошла. Если про­изошло событие H₁, то во втором ящике будет 9 белых и 4 черных шара и вероятность выбрать белый из второго ящика Р(А/Н₁)=9/13. Анало­гично, Р(А/Н₂)=7/13 ,Р(A/Hз) = 8/13. По формуле полной вероятности

P(A)=10/28*9/13=3/28*7/13+15/28*8/13=33/52

Пример 2. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если брак в каждой партии составляет соответственно 5, 4 и 2 %

Решение. Пусть А = {выбрана бракованная деталь}. Очевидно, со­бытие А зависит от того, из какой партии взята эта деталь. Поэтому в качестве гипотез выберем следующие события: Н_i - {деталь взята из i-й партии}, i=1, 2,3. События несовместны и составляют полную группу. Так как, деталь равновероятно мы можем взять из любой из трех пар­тии, то P(H_i) - Р(H₂) - Р(H₃) =1/3. Поскольку брак в этих партиях составляет соответственно 5, 4 и 2 %, то P(A/H_i) = 0,05, Р(А/Н₂) = 0,04, Р(,A/H_з) = 0,02. Тогда по формуле полной вероятности:

P(A)=1/3*0,05+1/3*0,04+1/3*0,02

Пример 3. Из 18 стрелков 5 попадает в мишень с вероятностью 0.8, 7 с вероятностью 0,7, 4 - с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. Найти вероятность того, что стрелок принадлежит к первой группе из 5 стрелков,

Решение. Пусть A = {наудачу выбранный стрелок в мишень не попал}. Так как событие А уже произошло, то очевидно, нам нужно с помощью формулы Баиеса найти условную вероятность гипотезы. Событие А зависит от того, к какой группе принадлежал выбранный стрелок, поэтому в качестве гипотез выбираем следующие: H_i = (выбранный стрелок принадлежит i-й группе},i=1,2,3,4. Так как первой группе принадле­жит 5 из 18 стрелков, то P(H₁) = 5/18. Аналогично, Р(H₂) = Р(H₃) = Р(H₄) = 2/18. Поскольку стрелки из первой группы попадают в ми­шень с вероятностью 0,8. то P(A/H_i)= 0,2. Аналогично, Р(А/H₂) = 0,3. Р(А/H₃)=0,4.

Р( А/ H₄) = 0,5. По формуле полной вероятности Р( А) = 5/18*0,2+7/18*0,3+4/18*0,4+2/18*0,5=19/60. В задаче нам следует найти условную вероятность р(H₁/A). По формуле Байеса:

P(H₁/A) = = =

Пример 4. Из партии в 100 изделий случайным образом выбраны 10 изделий, которые оказались доброкачественными. Найти вероятность того, что все изделия в партии доброкачественны, если известно, что число бракованных изделии на 100 штук равно возможно от 0 до 3.

Решение. Пусть А = {10 изделий, выбранных из 100 доброкачественных в качестве гипотез выдвигаем предположения о возможном числе бра­кованных изделий среди 100, т.е. H₁ = { среди 100 изделий нет брако­ванных }, H₂ - { среди 100 изделий 1 бракованное }, H₃ = { среди 100 изделий 2 бракованных }, H₄ — { среди 100 изделий 3 бракованных }. Поскольку все гипотезы равновозможны, то P(H₁) = Р(H₂) = Р(H₃) = Р(H₄)

В задаче требуется определить P(H₁/A). Вначале найдем Р(А/H_i), i = 1,2,3,4. Если имеет место гипотеза H₁ , то P(A/Hi) = 1. Если имеет место гипотеза H₂ ,т.е. среди 100 изделий одно бракованное, то Р( A/H₂) = =0,9 Аналогично, Р(A/H₃) = ≈0,81. Р(A/H₄) =≈ 0.73.

По формуле данной вероятности Р(А) = 1/4+1/4*0,9+1/4*0,81+1/4*0,73 = 0,83

По формуле Байеса Р(H₁/A) = = = 0,29

Упражнения.

1. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

4.4.2.В двух урнах находится соответственно 10 и 15 белых шаров и 6 и 4 черных. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух наудачу берется один. Найти вероятность того, что этот план белый.

4.4.3. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых соответственно равны 0.5: 0,6; 0,7; 0,8; 0.9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

4.4.4. В сосуд, содержащий n шаров опушен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны?

4.4.5. В ящике находится 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся 3 мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры новые.

4.4.6.Имеется 10 одинаковых урн. из которых в 9 находится 5 белых и 2 черных шара, а в одной 7 белых и 3 мерных шара. Извлеченный из случайно взятой урны шар оказался белым. Какова вероятность, что шар извлечен из последней урны.

4.4.7. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Цель не поражена, вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0,7 для третьего 0,9. Найти вероятность того, что выстрелы произведены вторым стрелком.

4.4.8. Из полного набора костей домино (28 штук) наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приста­вить к первой.

4.4.9. Некто заблудившийся в лесу вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятность выхода из леса за 1 час для различных дорог равны 0,6; 0,3; 0,2; 0.1; 0.1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из теса через час?

4.4.10. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, кото­рый был убит одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь; убит третьим охотником, если вероятности попадания для них соответ­ственно равны 0,6: 0,2: 0,1.

4.4.11. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на ко­тором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машины равна 0.3: для легковой машины эта вероятность равна 0,6. К бензоколонке для заправки подъехала машина. Найти вероятность, что эта машина легковая.

4.4.12. Три стрелка произвели залп, причем две пули попали в цель. Найти вероятность того, что в цель, попали 1 и 2 стрелки, если вероятность попадания в цель первым, вторым и третьим соответственно равны 0,6;0,7;0,8

4.4.13. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25 %., вторая 35 %, третья - 40 % всех изделии. В их продукции брак составляет 3,2 и 1 % соответственно.

а) Какова вероятность, что случайно выбранный болт дефектный;

б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Ка­кова вероятность того, что он произведен первой машиной?

4.4.14. В правом кармане имеется 3 монеты по 20 копеек и 4 монеты по 3 копейки, а в левом - 6 монет по 20 копеек и 3 монеты по 3 копейки. Из правого кармана в левый наудачу перекладывают пять монет. Опре­делить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 20 копеек, если монета берется наудачу.

14. Два автомата производят детали, которые поступают на конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом авто­мате 0,07. а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше первого. Наудачу взятая с конвейра деталь оказалась не­ стандартной. Найти вероятность того, что ее изготовили на первом автомате.

4.5. Повторные испытания. Формула Бернулли.

Для успешного решения задач данного раздела следует прежде всего четко представлять себе, что такое испытания Бернулли и можно ли использовать формулу Бернулли в той или иной задаче. Особое вни­мание необходимо обращать на сохранение от испытания к испытанию постоянной вероятности события, которое принято за успех. В случае, когда число испытаний велико, вместо формулы Бернулли применяю! приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Решение типовых примеров

Пример 1. 30 % изделий некоторого предприятия это продукция высшего сорта. Потребитель приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того, что половина из них высшего сорта?

Решение. Пусть А = { 3 изделия из 6 высшего сорта}. Приобрете­ние 6 изделий можно считать последовательностью независимых испы­таний, в каждом из которых возможны два исхода: приобретение из­делия высшего сорта или нет. При этом, если за успех мы примем У — { приобретение изделия высшего сорта}, то р = Р(У) = 0,3 и эта вероятность остается неизменной. Поэтому для решения данной за­дачи мы можем применить формулу Бернулли. Событие А равносильно тому, что в б испытаниях 3 раза будет успех, поэтому P(A) = P₆{µ = 3} =C0,3³0,7³ ≈ 0,185

Упражнения.

4.5.1 Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход парии исключен): три партии из четырех или пять из восьми?

4.5.2. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий будет два бракованных.

4.5.3. Вероятность рождения мальчика 0,515, девочки о, 465. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не более четырех девочек.

4.5.4. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретал 8 облигаций, выиграет больше половины из них?

4.5.5. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся машины содержит:

а) ровно две пятерки;

б) не менее трех пятерок.

4.5.6. За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8. если вероятность того, что любая деталь бра­ кованная, равна 0.01.

4.5.7. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0.4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

4.5.8. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью равной 0,8. Посеяно 20 семян. Найти наименьшее число всходов и соответствующую вероятность.

4.5.9. Вероятность изделия стандартным при каждом ис­пытании равна 0.8. Сколько нужно проверить изделий, чтобы наивероятнейшее число стандартных изделий было равно 20?

10. Событие В наступает в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В. если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3 и прове­дено 5 независимых опытов.

4.5.11. Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,2. Вероятность появление другого события В зависит от числа появлений события А: при одно­ кратном появлении А эта вероятность равна 0,1; при двухкратном - 0,3 при трехкратном 0,7. Если событие А не имело место ни разу, то со бытие В невозможно. Определить наиболее вероятное число появлений события А, если событие В имело место.

4.5.12. (Задача Банаха). Для прикуривания гражданин пользовало двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку. Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Каково вероятность, что во второй коробке при этом k спичек, если вначале i каждой коробке было по n спичек.

4.5.13. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 801 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов.

4.5.14. На факультете 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

4.5.15. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что взятых на исследование 1100 изделии выбраковано будет не больше 17.

4.5.16. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность тоги, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0.515.

4.5.17. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих не­ зависимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0.8 всего рабочего времени. Ка­кова вероятность того, что в произвольный момент времени окажутся включенными: а) менее 50 станков; б) от 70 до 86 станков?

4.6. Случайные величины

Прежде, чем приступить к решению задач данного раздела, необ­ходимо твердо усвоить понятие с.в. и ее законов распределения: ряда распределения, функции распределения и ее свойств, плотности вероят­ностей. Кроме этого нужно четко знать, что представляют собой и как вычисляются такие числовые характеристики с.в. как математическое ожидание и дисперсия.

Решение типовых примеров.

Пример 1. Из партии в 25 изделий, среди которых 6 бракованных. выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их качества. По­строить ряд распределения и функцию распределения числа бракован­ных изделий, содержащихся в выборке. Найти вероятность того, что число бракованных изделий в выборке будет не меньше одного, но не больше 3. Найти среднее число и дисперсию числа бракованных изделии.

Решение.

Обозначим через ξ - число бракованных изделий в выборке. Очевидно, ξ может принимать значения 0,1,2,3,4 т.е. с. в. ξ является дискретной. Чтобы построить ряд распределения, нужно найти P(ξ=k), k =0,1,2,3,4. Поскольку выбирается 4 изделия из 25, среди которых 6 бракованных, то

P(ξ=k) = ,k=0,1,2,3,4.

Для различных k получаем: p₁ = Р{ξ = 0) = 0.31}; p₂=Р{ξ = 1} = 0.45; p₃=Р{ξ =2} = 0.2; р₄ =Р{ξ = 3] = 0.03: р5 = Р{ξ = 4} = 0.001.

По свойствам ряда распределения сумма наиленной вероятностей должна

быть равна 1.

Действительно p1+p2+p3+p4+p5 =0,31+0,459+0,2+0,03+0,001 =1.

Таким образом, ряд распределения с.в. ξ имеет вид:

ξ	0	1	2	3	4
P	0,31	0,459	0,2	0,03	0,001

Решение.

1. c. в. ξ непрерывна и для нее р(х) = F^’(x) Следовательно

0, если x<2

p(x) = 2x-4, если 2≤x≤3

0, если x>3

б)Вероятность попадания с.в. ξ интервал (2,5;3,5) можно найти, иcпользуя свойства ф.р. или свойства плотности, т.е.

Р{2,5 < ξ < 3, 5} = F_ξ(3,5) – F_ξ (2,5) =1-0.5² = 0, 75.

Или P{2,5<ξ<3,5} = == = (x-2)² | = 1- 0,5² = 0,75.

в) Найдем математическое ожидание и дисперсию, используя формулы для их вычисления в случае непрерывной с. в.

Mξ ===(x³-2x²)|=

Mξ²= = =

Dξ=Mξ²-(Mξ)²=-=

Пример 3. Случайная величина ξ имеет плотность распределения

0, при x≤0

P(x) = asinx, при 0<x≤П

0, при x>П

Найти : а) коэффициент а; 6) функцию распределения сл.в. ξ; в) вероятность того, что в результате испытания с.в. ξ примет значение, заключенное в интервале (0,).

Решение.

а) Коэффицент а найдем из условия =1. В нашем случае или –acosx|=2a=1 отсюда следует a=

б) Найдем теперь функцию распределения, учитывая, что F_ξ(x) =

Найдем теперь функцию распределения, принимал во внимание, что F_ξ=P{ξ<x}. Поскольку ф.р. зависим от х. го для ее нахождения будем рассматривать х с учетом значении, которые принимает данная случайная величина ξ.

Если x≤0, то F_ξ=0. Действительно значений, меньших нуля с.в. ξ не принимает. Следовательно, при х < О F_ξ = Р{ξ < х}= 0. Если 0 < х ≤ 1, то F_ξ(x)=0,31, так как в этом случае ξ может принять значение 0 с вероятностью 0,31.

Если 1 < х ≤ 2. то F_ξ(x) = 0.31 + 0,459 = 0,769, так как с.в. ξ может принять значение 0 с вероятностью 0,31 или значение 1 с вероятностью 0,459. Аналогично, если 2 < х ≤ 3. то F_ξ(x) = 0,31+0,459 + 0,2 = 0,969 Если 3 < х≤4, то F_ξ(x)= 0,999. И, наконец, если х > 4, то F_ξ(x) = 1, т.к. все значения сл.в. меньше х, т.е. событие Р{ξ < х} в этом случае является достоверным. Таким образом, искомая ф.р. имеем вид:

0 при х < 0,

0,31 при 0 < x< 1,

0,769 при 1<х≤2, F_ξ= 0,969 при 2<х≤3, 0,999 при 3 < х ≤ 4,

1, при х > 4,

Найдем вероятность того, что число бракованных изделий в выборке будет меньше одного, по больше трех, т.е. P{1≤ξ≤3} Для этого воспользуемся формулой P{a≤ξ≤b}=F_ξ(b)-F_ξ(a), найденными рядом распределения и ф.р. с.в. ξ: P{1≤ξ≤3}= P{1≤ξ≤3}+P{ξ=3}=F_ξ(3)-F(1)+P{ξ=3}=0,069-0,31+0,03=0,689

Используя формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии дискретной с.в.получим:

Mξ= 0 * 0.31 + 1*0,459 + 2*0,2 + 3*0,03 + 4*0,001 = 0,953

Mξ²= 1*0,459 + 2² -0,2 + 3² -0,03 + 4²*0,001 = 1,545

Dξ = Мξ²-(Mξ)² = 1,545 – (0.953)² = 0,637

Пример 2. Случайная величина ξ задана функцией распределения:

0, если x<2

F_ξ(x) = (x-2)², если 2≤x≤3

1, если x>3

Найти :

а) плотность вероятности р(х):

б) вероятность попадания с.в. ξ в интервал (2,5; 3,5);

в)математическое ожидание и дисперсию с.в. ξ.

Решение.

а) с. в. ξ - непрерывна и для нее р(х) = F^\(x) следовательно,

o, если x<2

p(x) = 2x-4, если 2≤x≤3

0, если x>3

б) Вероятность попадания с. в. ξ интервал (2,5: 3,5) можно найти, используя свойства ф.р. или свойства плотности, т.е.

Р{2,5 < ξ < 3,5} – F_ξ(3,5) – F_ξ (2, 5) =1-0,5² = 0,75.

Или P{2,5<ξ<3,5}=

в) Найдем математическое ожидание и дисперсию, используя формулы для их вычисления в случае непрерывной с. в.

Mξ===

Mξ²==

Dξ=Mξ²=(Mξ)²=

Пример 3. Случайная величина ξ имеет плотность распределения

o, при x≤2

p(x) = asinx , при 0<x≤П

0, если x>П

Найти :

а) коэффициент а;

б) функцию распределения с.в. ξ;

в) вероятность того, что в результате испытания с.в. ξ примет значение. заключенное в интервале (0,)

Решение. а) Коэффицент а найдем из условия =1. В нашемслучае или –acosx|=2a следовательно a=

Найдем теперь функцию распределения, учитывая, что F_ξ(x) =

Если x≤0, то F_ξ=

Если 0<x≤П, то F_ξ=+=-

Если x>П, то F_ξ(x)= =+

Таким образом,

0, если x≤0

F_ξ = , если 0<x≤П

1, если x>П

в) Найдем вероятность того, сто с.в. ξ примет значение, заключенное в интервале(0,П)

P{0<ξ<}=

Пример 4. Дискретная с.в. ξ имеет ряд распределения

ξ	-2	-1	0	1	2
P	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Построить ряд распределения с.в. η = ξ² + 1.

Решение^ Используя функциональную зависимость между с.в. ξ и η, найдем возможные значения с.в. η:

Таким образом, возможные значения c.в. η - 1,2,5 Найдем теперь вероятность того, что η примет данные значения. С.в. г/ примет значение 1, когда ξ примет значение 0., т.е. Р{η = 1} = Р{ξ = 0} =0,3. С.в. η примет значение 2, когда с.в. ξ примет значение -1 или 1, т.е. {η = 2} = {ξ=-1}U{ξ=1} причем события {ξ=-1} и {ξ=1} несовместны. Поэтому P{η=2}=P{{ξ=-1}U{ξ=1}=P{ξ=1}+P{ξ=1}=0,2+0,3=0,5

Аналогично, P{η=5}=P{{ξ=-2}U{ξ=2}}=P{ξ=-2}+P{ξ=2}=0,1+0,1=0,2

Таким образом ряд распределения с.в. η имеет вид:

η	1	2	5
P	0,3	0,5	0,2

Пример 5. Случайная величина ξ распределена по нормальному за­кону с плотностью вероятности

P_ξ(x)=

Решение. Т.к. η=e^ξ то, очевидно, множество возможных значений с. в. η есть множество положительных действительных чисел. Исходя из этого, при х≤ 0 F_ξ(x)=P{η< х}= 0. Найдем теперь ф.р. с. в. η для

x > О

F_η(х) - Р{η < х} = Р{c^ξ < х} = Р{ξ < lnx} = F_ξ(lnx). Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим

F_η’(x)=F_η’(lnx)

Р_η(х)= p_ξ(lnx).Подставляя в это равенство выражение для плотности с.в. ξ с аргументом lnх, получим для положительных значений х:

P_η(x)=

Таким образом, получили закон распределения с.в. η:

, если x>0

P_η(x) =

0, если x≤0

Замечание. Распределение с.в.η называется логарифмически нормальным распределением.

Пример 6. Автомат штампует детали. Контролируется длина де­тали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина) 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется больше 55 мм.

Решение. Пусть ξ- длина наудачу взятой детали. Поскольку факти­ческая длина находится в пределах от 32 до 68 мм, то Р{32 < ξ < 68}=1.

По условию ξ распрелделена нормально с математическим ожиданием 50 мм. т.е. ξ~N(50,σ²). При нахождении вероятностей, связанных c нормально распределенной с.в., обычно, пользуются таблицами стан­дартного нормального распределения. Используя свойства нормального распределения, получим P{32 < ξ < 68) = Р{< <}= P{-<<=Ф()}-Ф()=2Ф()-1, где Ф(x)-функция стандартного нормальною распределения. По условию задачи 2Ф( ) — 1 =1 след. Ф( ) = 1. По таблицам стандартного нормального распределения находим значение аргумента, отвечающее значению функции 1, получим: =5 след.σ=3,6 Теперь найдем вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется больше 55 мм. т.е.

P(ξ>55)=1-P(ξ≤55)=1-P{}=1-P{}=1-Ф()=1-0,9177=0,0823

Упражнения.

4.6.l. Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попа­дания равна 0,6.

4.6.2. В партии деталей 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Пост роить ряд распределения и функцию распределения числа нестандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожи­дание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.

4.6.3.Охотник, имеющий пять патронов, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует всех патронов. Построить ряд распределения, функцию распределения и найти математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при любом выстреле равна 0,4.

С.в. ξ принимает значения 1,2,3 с вероятностью . Написать выражение и построить график ф.р. с.в. ξ.

4.6.5. В партии из 6 деталей 4 стандартных. Составить закон рас­пределения числа стандартных деталей среди трех отобранных.

4.6.6 Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пир. Пока один из них не попадает. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов. если вероятность попадания для первого равна 0.3, а для второго 0.6.

4.6.7. Функция распределения с.в. ξ задана формулой F(x)= A+Barctgx( -∞< х < ∞}. Найти: а) постоянные А и В: 6) плотность вероятности p(x); в) вероятность того, что с.в. ξ попадпет в отрезок [-1;1]

4.6.8. Функция распределения случайного времени безотказной ра­боты радиоаппаратуры имеет вил: F(t) = 1-e(t≥0). Найти: а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т; б) плотность вероятности; в) математическое ожидание времени безотказ­ной работы.

4.6.9. Случайная величина ξ задана функцией распределения

0, при x≤2

F(x) = 0,5x-1, при 2<x≤4

1, при x>4

Найти: а) вероятность того, что с.в. ξ примет значение не меньше 5; 6) математическое ожидание и дисперсию с.в. ξ.

4.6.10. Случайная величина ξ задана функцией распределения

0, при x≤0

F(x) = x², при 0<x≤1

1, при x>1

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний с.в. ξ ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

4.6.11. Плотность непрерывной с.в. ξ равна

0, при x≤1

F(x) = x-, при 1<x≤2

0, при x<2.

Построить функцию распределения и начертить ее график.

4.6.12. Плотность распределения непрерывной с.в. ξ в интервале (0, ) равна р(х) = csin2x, вне этого интервала р(х) = 0.

Найти: а) постоянный параметр с; б) функцию распределения с.в. ξ: в) математическое ожидание и дисперсию с.в. ξ.

4.6.13. Плотность распределения непрерывной с.в. ξ в интервале (-,) равна р(х) = cos²x, вне этого интервала р(х) = 0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях с.в. ξ ровно два раза примет значение, заключенное в интервале (0. ).

4.6.14.Задана плотность распределения с.в. ξ

0, при x≤

F(x) = 3sinx3x, при <x≤

0, при x>.

Найти функцию распределения с.в. ξ и ее среднее значение.

4.6.15.Дискретная с.в. ξ имеет ряд распределения.

ξ	1	3	5
P	0,4	0,1	0,5

Построить ряд распределения с.в. η=5ξ.

4.6.16. Дискретная с.в. имеет ряд распределения

ξ
P	0,2	0,7	0,1

Построить ряд распределения η=cosξ.

4.6.17. С.в. ξ распределена равномерно в интервале (,). Найти плотность распределения с. в. η = sinξ

4.6.18. C.в. имеет показательное распределение с плотностью p(x)=e^-x, x>0. Найти функцию распределения и плотность с.в.η=e^-ξ.

4.6.19. Математическое ожидание и дисперсия с.в, ξ равны соответственно 10 и 2. Найти математическое ожидание и дисперсию с.в. η=5-3ξ

4.6.20. Доказать, что дисперсия числа, появлении успеха при одно кратном проведении опыта не превосходит .

4.6.21. Найти математическое ожидание и дисперсию:

а) числа очков, выпадающих при бросании одной игральной кости;

б) суммы очков, выпадающих при бросании n игральных костей.

4.6.22. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено,40 билетов, причем вероятность выигрыша равна 0,05.

4.6.23. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклоне­ние нормально распределенной с.в. ξ соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что с.в. ξ попадет в интервал (15; 25).

4.6.24. с.в. ξ имеет стандартное нормальное распределение. Что больше: Р{-0,5≤ξ≤1} или Р{1≤ξ ≤2}?

4.6.25. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания под­чинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением т = 20л. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

4.6.26.. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически и их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

4.6.27. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика от проектного размера но абсолютной величины меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина .диаметра ша­рика распределена нормально со средним (отклонением σ = 0. 1 мм. найти сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

4.6.28. С. в. ξ распределена, нормально с математическим ожиданием а=10. Вероятность попадания с.в. ξ интервал (10,20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания с. в. ξ в интервал (0,10)?