Лекция №2С-3 Сопротивление материалов новая

ТЕОРЕМА КАСТИЛЬЯНО

Pi Pi fi

Приращения потенциальной энергии (вертикальная заштрихованная полоса)

dWi dUi Pi dfi

Полная работа (потенциальная энергия)

Wi Ui 0fi Pi dfi

Вводится понятие приращения дополнительной работы (дополнительной энергии)

dWi* dUi* fi dPi

горизонтальная заштрихованная полоса

21

•Полная дополнительная работа (дополнительная

энергия) найдётся интегрированием

Wi* Ui* 0Pi fi dPi

Wi* Wi Pi fi

В случае, если на упругую систему действуют n сил, то полный дифференциал дополнительной потенциальной энергии принимает вид

22

Если dPi ≠ 0, а все остальные приращения сил равны нулю, то получаем

dU * U * dPi Pi

учитывая dWi* dUi* fi dPi

fi U *

Pi

то есть частная производная от дополнительной энергии U* по обобщённой силе Pi равна обобщённому перемещению fi, соответствующему этой силе (теорема Кастильяно).

23

Для линейных систем имеем U * U

fi U Pi

Частная производная от потенциальной энергии упругой деформации U по обобщённой силе Pi равна соответствующему обобщённому перемещению fi.

24

Формула, выражающая существо теоремы Кастильяно, в случае плоского поперечного изгиба принимает вид

Величины Pi и x взаимно независимы, поэтому операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами

Множитель dx/2EIz не зависит от силы Pi, поэтому

производим дифференцирование сложной функции

25

Пример

Консольная балка АВ длиной l нагружена силой F на свободном конце В. Определить вертикальное перемещение yB сечения В.

Сила F и перемещение yB образуют комбинацию

обобщённая сила – обобщённое перемещение.

26

Пример

Балка АВ на двух шарнирных опорах длиной l нагружена на конце В парой сил с моментом М0. Определить угол поворота φВ сечения В.

Величины М0 и φВ представляют собой комбинацию обобщённая сила – обобщённое перемещение.

Так как обобщённая сила – это параметр, характеризующий уравновешенную группу сил, то следует выразить реакции через М0 из уравнений равновесия.

27