Лекция №2С-3 Сопротивление материалов новая
.pdf
Теорема взаимности перемещений
ij ji
Перемещение, создаваемое обобщённой силой Pj = 1 по направлению Pi, численно равно перемещению, создаваемому обобщённой силой Pi = 1 по направлению Pj
1 P=1 |
2 |
Перемещение первого |
||
|
|
|
|
сечения под действием |
|
|
|
y21 |
силы, приложенной во |
|
|
|
втором сечении, равно |
|
|
y12 |
перемещению второго |
||
|
сечения под действием |
|||
P=1 |
той же силы, но |
|
|
|
приложенной в первом |
|
сечении. |
11
ТЕОРЕМА КЛАПЕЙРОНА
|
|
B |
|
|
|
|
|
Сила P1 совершает работу на |
|||
|
|
2 |
|
|
|
||||||
2 |
|
f22 |
|
|
|
|
перемещении f , а сила P |
– на |
|||
|
f21 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
y |
f |
перемещении f . |
|
|
||
|
B1 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
B |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
B |
|
f11f12 B f1 |
1 Pf |
1 P f |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
M0=P1 |
|
2 1 1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
F=P2 |
|
|
|
|
|
|
Полная работа внешних сил (и потенциальная энергия системы) составляет
W U 12 P1 f1 12 P2 f2
12
Обобщим на случай, когда на систему действуют n сил
U W |
1 |
P1 f1 ... |
1 |
Pi fi ... |
1 |
Pn fn |
1 |
n Pi fi |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
i 1 |
Потенциальная энергия упругой деформации линейно упругой системы равна полусумме произведений действующих обобщённых сил на
соответствующие обобщённые перемещения.
13
Обобщенные силы и обобщенные перемещения
|
|
c |
M0 |
|
|
|
|||
|
|
|
||
Ma |
b |
|
F |
с |
A |
|
B |
С |
|
|
||||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
yB B1 С1
Ra
14
• По теореме Клапейрона
W U 12FyB 12M0 C
Пусть усилия зависят от одного параметра
F P
M o aP
W U 12PyB 12aP C 12P yB a C
Обозначим |
f vB C |
WU 12 Pf
Р– обобщённая сила, f – обобщённое перемещение
15
• уравнения равновесия дают
RA P |
M A bP aP |
|
F P
M0 aP
В качестве обобщённой силы можно принять любой
параметр, характеризующий уравновешенную группу сил; при этом обобщённым перемещением надлежит
считать другой множитель, входящий в выражение
работы (потенциальной энергии).
16
Пример
К раме в точках А и В приложены две равные и противоположно направленные силы F. Эти силы действуют по одной прямой АВ.
Точка А перемещается вверх и направо (перемещения yA и uA), точка В – налево (перемещение uB). Работа обеих сил равна
W U 12 FuA 12 FuB 12 F uA uB
параметр F – обобщённая сила, то сумму (uA + uB) = f следует считать обобщённым перемещением.
Таким образом, в данном случае величина f представляет собой сближение точек приложения сил F.
17
Пример
По концам С и В балки приложены равные и противоположно направленные пары М0. Концевые сечения С и В поворачиваются на углы φС и φВ.
Работа обеих пар равна
W U 12 M 0 C 12 M 0 B 12 M 0 C B
Если параметр М0 – обобщённая сила, то сумма (φС + φВ) = f – это обобщённое перемещение, то есть взаимный поворот сечений С и В.
18
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
•Выражения для бесконечно малого приращения работы и бесконечно малого приращения потенциальной энергии
dW F x dx |
dW dU Pdf |
Пусть к системе приложены обобщённые силы
P1,P2,...,Pi ,...,Pn
каждой из которых соответствует своё обобщённое перемещение
f1, f2,..., fi ,..., fn
19
•Полный дифференциал потенциальной энергии
упругой деформации имеет вид
dU |
U |
df |
|
U |
df |
|
... |
U |
df |
|
... |
U |
df |
|
|||
f |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
f |
2 |
|
2 |
|
f |
i |
i |
|
f |
n |
n |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если dfi≠ 0, а все остальные равны нулю, то
dU U dfi fi
учитывая dU Pi dfi
Pi U fi
то есть обобщённая сила равна частной производной от потенциальной энергии упругой деформации по соответствующему обобщённому перемещению (теорема
Лагранжа). |
20 |