Задание №8

Выполняя п. 6 и 7 , исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения (выражения (7), (12), (13)) при наличии возмущения левой части системы.

Вывод: При внесении возмущений типа Р оценка ErrEst([P]) более точна чем ErrEst([M]), при любом возмущении Р ErrEst([M]) дает несоответствующий реальной ошибке результат так как каждый из способов оценки ошибки решения даёт более точный результат для «своего» типа возмущения. ErrEst(cond) даёт точную оценку ошибки только при малых возмущениях. При больших возмущениях ErrEst(cond) дает отличия от реальной ошибки на несколько порядков.

Задание №9

Применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4 итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.

Тип	Обусловл.	Метод решения	Спектральный радиус	Количество итераций
1	1.175*101	Якоби	0	4
	1.175*101	Гаусса-Зейделя	0	4
4	1.307*101	Якоби	6.454*10-1	63
	1.307*101	Гаусса-Зейделя	9.424*10-1	424
6	5.756*101	Якоби	0	2
	5.756*101	Гаусса-Зейделя	0	2
13	1.191*107	Якоби	5.21	-
	1.191*107	Гаусса-Зейделя	2.58	-

Вывод: Для матриц хорошо обусловленных решение было найдено за конечное число итераций с заданной точностью. За конечное число итераций решение было найдено при спектральном радиусе меньше 1, что подтверждает теорему сходимости стационарного метода, также эксперимент показал, что скорость сходимости итерационного процесса увеличивается с уменьшением спектрального радиуса.

Задание №10

Провести исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя.

Тип матрицы	Метод решения	Спектральный радиус	Количество итераций
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1	Якоби	0	4
	Гаусса-Зейделя	0	2
3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 7	Якоби	0	2
	Гаусса-Зейделя	0	2
62 56 34 49 46 39 52 54 57 43 47 41 65 35 61 38	Якоби	3.260	-
	Гаусса-Зейделя	1.390	-

Вывод: За одинаковое количество итераций для диагональной матрицы оба метода решили задачу. Метод Гаусса-Зейделя для нижней треугольной матрицы решил задачу за меньшее число итераций, чем метод Якоби, так как метод Гаусса-Зейделя представляет матрицу в виде суммы нижней треугольной, верхней треугольной и диагональной матриц. Т.к. радиус сходимости оказался больше 1 для произвольной матрицы (без доминирования) решения найдено не было.