- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
- •Свойства непрерывных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.
- •Равномерная непрерывность функций.
- •Непрерывность и разрывы монотонной функции.
- •Существование и непрерывность обратной функции.
Равномерная непрерывность функций.
Определение. Функция f(x), определенная на промежутке Х, называется равномерно непрерывной на промежутке Х, если
>0 δ=δ() x1,х2: |x1-x2|<δ |f(х1)-f(x2)|<
Примеры. 1) f(x)=x, x(-;+)
Т.к. |f(х1)- f(x2)=х1-х2, то
>0 δ=δ() x1,х2: |x1-x2|<δ=|f(х1)-f(x2)|<
2) f(x)=sin х, x(-;+)
Выше показали, что |sin x1-sin x2||x1-x2|
3) f(x)=х2, x[-1,1]
|f(х1)- f(x2)=х1-х2х1+х22х1-х2
>0 δ=x1,х2: |x1-x2|<δ=|f(х1)-f(x2)|2х1-х2<
4) f(x)=х2, x(-;+) – не является равномерно непрерывной.
Отрицание равномерной непрерывности:
Тогда, пусть ,,-→0,n→
5) f(x)=не является равномерно непрерывной на промежутке (0,1].
Возьмем х1=, х2=. Тогда
Теорема Кантора. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.
Доказательство. Допустим противное, т.е. функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], но неравномерно непрерывна на нем, т.е.
Это означает, что найдется хотя бы одно 0>0, которому не отвечает никакое >0 в смысле определения равномерной непрерывности
В этом случае, какое бы число >0 ни взять, найдутся в промежутке [a,b] такие два значения х и х, что
Возьмем последовательность положительных чисел такую, что {n}→0, n→.
Тогда
Последовательность {xn} – ограничена (т.к. ее значения находятся внутри отрезка). По лемме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность ,k, [a,b].
Т.к. (т.к., аn→0, n→), то и последовательность ,k.
Рассмотрим разность f()-f(). Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна и в точке, т.е.f()-f()→f()-f()=0,k.
Получили противоречие с условием , следовательно, допущение неверно и функция равномерно непрерывна. Ч.т.д.
Непрерывность и разрывы монотонной функции.
Пусть функция f(x) определена и монотонна на промежутке Х.
Теорема 1. Монотонная функция может иметь в Х точки разрыва только 1-го рода.
Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает и с – точка разрыва (c – не является левым концом промежутка Х). Слева от с функция f(x) возрастает, следовательно f(x)f(с) х>c.(Картинка).
Т.о. монотонная функция f(x) является ограниченной (числом f(с)) По теореме о пределе монотонной функции, f(x) имеет конечный предел слева:
f(с-0)=f(с)
Если f(с-0)=f(с), то слева в точке с функция f(x) непрерывна. В противном случае – с – точка разрыва 1-го рода.
Аналогично доказывается, что в каждой точке с промежутка Х, не являющейся его правым концом, справа тоже либо имеет место непрерывность, либо разрыв 1-го рода.
Существование и непрерывность обратной функции.
Определение. Пусть функция f:A→B.
1) Если х1≠х2 f(x1)≠f(x2), то отображение f называется инъекцией.
2) Если f(A)=B или такое, чтоy=f(x), то отображение f действует на В (отображение «на»).Такое отображение также называется сюръекцией.
Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между А и В.
Можно определить новую функцию: f-1:B→A, x=f-1(y)–обратная функция, относительно f.
Теорема (б.д.).
Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(a), q=f(b), причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке [p,q].
Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для строго убывающих функций:
Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(b), q=f(а), причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке [p,q].
Замечание 2. Справедливы также следующие утверждения.
Утверждение 1.
Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p=,q=, причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке (p,q)
Утверждение 2.
Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p=,q=, причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке (p,q).
Замечание 3. Некоторые из чисел a,b,p,q могут быть несобственными.
Непрерывность элементарных функций (продолжение).
1. y=arcsin x
Рассмотрим функцию x=sin y. Эта функция определена и непрерывна на всей осей, а на промежутке она ещё и строго возрастающая. Значит, рассматривая ее для у, можно применить к ней теорему для обратной функции. По теореме об обратной функции, функция y=arcsin x будет определена на промежутке [-1;1] и будет строго возрастающей и непрерывной на этом промежутке. (График)
2. y=arcсоs x
Рассмотрим функцию x=соs y. Эта функция определена и непрерывна на всей осей, а на промежутке [0;] она ещё и строго убывающая. Значит, рассматривая ее для у[0;], можно применить к ней теорему для обратной функции. По теореме об обратной функции, функция y=arccos x будет определена на промежутке [-1;1] и будет строго убывающей и непрерывной на этом промежутке.
3. y=arctg x
Рассмотрим функцию x=tg y. Эта функция определена на промежутке , строго возрастает и непрерывна. Имеем,.
Рассматривая функцию x=tg y для у, приходим к выводу, что функция y=arctg x определена, непрерывна и строго возрастает на промежутке (-,+).
4. y=arcсtg x
Рассмотрим функцию x=сtg y. Эта функция определена на промежутке (0,), строго убывает и непрерывна. Имеем ,.
Рассматривая функцию x=сtg y для у(0,), приходим к выводу, что функция y=arсctg x определена, непрерывна и строго убывает на промежутке (-,+).
5. Логарифмическая функция (a>0, a≠0)
Функция является обратной дляпоказательной функции х=ау, у(-,+).
а) Пусть а>1. В этом случае функция х=ау – строго возрастающая и непрерывная на промежутке (-,+). Имеем ,.
Следовательно, если a>1, то функция определена, непрерывна и строго возрастает в промежутке (0,+).
б) Пусть 0<а<1. В этом случае функция х=ау – строго убывающая и непрерывная на промежутке (-,+).
Имеем ,.
Следовательно, если 0<а<1, то функция определена, непрерывна и строго убывает в промежутке (0,+).
6. Общая степенная функция у=хr, где r – любое вещественное число (rR).
В качестве определения общей степенной функции у=хr при любом вещественном r и х(0,+) принимаем выражение: y=xr=er ln x, х(0,+).
Имеем y=eu, где u=r ln x r. Видим, что функция у=хr, х(0,+), где r – любое вещественное число, будет непрерывна на промежутке (0,+) как суперпозиция непрерывных функций.